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2024年江苏省连云港市灌云县中考数学二模试卷（含详细答案解析）
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这是一份2024年江苏省连云港市灌云县中考数学二模试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−15的相反数是( )
A. 5B. −5C. 15D. −15
2.中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为( )
A. B. C. D.
3.若a<2 2A. 2B. 5C. 6D. 12
4.下列计算正确的是( )
A. m3+m2=m5B. m6÷m2=m3C. (m3)2=m9D. m3⋅m2=m5
5.如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=kx的图象经过点Q，若S△BPQ=14S△OQC，则k的值为( )
A. −12
B. 12
C. 16
D. 18
6.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI=35∘，则∠OBC的度数为( )
A. 15∘
B. 17.5∘
C. 20∘
D. 25∘
7.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60∘.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为( )
A. 1.8
B. 2.4
C. 3
D. 3.2
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，∠A=60∘，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90∘后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60∘后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是( )
A. 14π+2 3B. 23π+ 3C. 512π+ 3D. 13π+2 3
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.在函数y=1x+2中，自变量x的取值范围是______.
10.因式分解：2m2−8=______.
11.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE//BC，交AC于点E.若AD=2，BD=3，则AEAC的值是______.
12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______.
13.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150∘的扇形，则该圆锥的母线长为______.
14.若关于x的方程x2+kx+2=0没有实数根，则k的值可以是______.(只填一个即可)
15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC=5，BE=4，∠B=45∘，则AB的长为______.
16.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD=31∘，则∠A+∠C=______ ∘.
17.如图，AB=3，BD⊥AB，AC⊥AB，且AC=1.点E是线段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD于点F，则BF的长的最大值是__________.
18.正方形ABCD的边长是6，点E是DC边延长线上一点，连接EB，EA，过点A作AF⊥AC，交EB的延长线于点F，AE= 2BE，则AF的长为______.
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
(1)计算： 12−2cs30∘+| 3−2|+2−1.
(2)解不等式组：3(x−1)<25x+32>x，并写出所有整数解.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：x2+xx2−2x+1÷(x+1)2x2−1−x−3x−1，其中x= 3+1.
21.(本小题10分)
为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量(单位：kW⋅h)进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
(1)该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第______组内；
(2)估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有多少户．
22.(本小题10分)
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源.某天小华、小丽两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览.
(1)甲选择C景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的概率.
23.(本小题10分)
如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的点(不与A，C重合)，连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F.连接BF交AC于点G，BE=AD.
(1)求证：∠FEC=∠FCE；
(2)试判断线段BF与AC的位置关系，并说明理由.
24.(本小题10分)
中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本.
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
25.(本小题10分)
如图，在电视背景墙上，银幕投影区域的下沿B距离地面的高度BC为72cm，投影区域的上沿A距离地面228厘米.小明为了获得最大的投影效果，将投影仪镜调整到影像达到银幕投影区域的上下沿.经测量，此时投影仪镜头D到上沿A的仰角为17.7∘，到下沿B的俯角为11.3∘，求此时镜头D到地面的距离.(参考数据：tan11.3∘≈0.2，tan17.7∘≈0.32)
26.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE= 2，求图中阴影部分的面积(结果保留π).
27.(本小题10分)
【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE.
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90∘.连接BD，CE.请直接写出BDCE的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90∘，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE.
(1)求BDCE的值；
(2)延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值．
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线x=1交抛物线于点M，过点M作MC⊥y轴于点C，连接BC，已知点A的坐标为(−1,0).
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，其中−1①若∠POA=∠QBO，请求此时点Q的坐标；
②在线段BC上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
根据相反数的定义，即可解答．
【角度】
解：−15的相反数是15.
故选：C.
2.【答案】B
【解析】解：从左边观看立体图形可得，左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B.
从左边观看立体图形即可得到．
本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
3.【答案】C
【解析】解：∵4<8<9，
∴2< 8<3，即2<2 2<3.
∴a=2，b=3.
∴ab=6.
故选：C.
依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；
故选：D.
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
5.【答案】C
【解析】解：∵PB//OC(四边形OABC为正方形)，
∴△PBQ∽△COQ，
∴S△BPQS△OQC=(PBOC)2=14，
∴PB=PA=12OC=3.
∵正方形OABC的边长为6，
∴点C(0,6)，点P(6,3)，直线OB的解析式为y=x①，
∴设直线CP的解析式为y=ax+6，
∵点P(6,3)在直线CP上，
∴3=6a+6，解得：a=−12，
故直线CP的解析式为y=−12x+6②．
联立①②得：y=xy=−12x+6，
解得：x=4y=4，
∴点Q的坐标为(4,4).
将点Q(4,4)代入y=kx中，得：
4=k4，解得：k=16.
故选：C.
由PB//OC可得出△PBQ∽△COQ，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=PA=12OC，结合正方形OABC的边长为6可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
6.【答案】C
【解析】解：连接IC，IB，OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI=35∘，
∴∠BAC=2∠CAI=70∘，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=140∘，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×(180∘−∠BOC)=12×(180∘−140∘)=20∘，
故选：C.
连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠CAI=70∘，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=140∘，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠C=60∘，
∴∠CAD+∠ADC=120∘，
∵∠ADE=60∘.
∴∠BDE+∠ADC=120∘，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ADDE=ACDB，
∵BD=4DC，
∴设DC=x，
则BD=4x，
∴BC=AC=5x，
∴AD2.4=5x4x，
∴AD=3，
故选：C.
先证∠CAD=∠BDE，再根据∠B=∠C=60∘，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题知，
∵AB=4，∠A=60∘，
∴S扇形ABF=60⋅π⋅42360=83π.
在Rt△ABC中，
sinA=BCAB，
∴BC=2 3.
同理可得，AC=2.
∴S△ABC=12×2×2 3=2 3.
∵S扇形BCE=90⋅π⋅(2 3)2360=3π，
∴S阴影=S扇形CBE−(S扇形ABF−S△ABC)=3π−(83π−2 3)=13π+2 3.
故选：D.
先用扇形ABF的面积减去△ACB的面积，再用扇形CBE的面积减去上面的计算结果即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算及旋转的性质，熟知旋转的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键．
9.【答案】x≠−2
【解析】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠−2.
故答案为x≠−2.
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析函数解析式可得关系式x+2≠0，解得答案．
本题考查求解析法表示的函数的自变量取值范围，注意当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0.
10.【答案】2(m+2)(m−2)
【解析】解：2m2−8
=2(m2−4)
=2(m+2)(m−2)，
故答案为：2(m+2)(m−2).
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11.【答案】25
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=ADAD+DB，
∵AD=2，BD=3，
∴AEAC=25.
故答案为：25.
根据DE//BC，得到△ADE∽△ABC，得到AEAC=ADAB=ADAD+DB，结合AD=2，BD=3计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
12.【答案】301(1+x)2=500
【解析】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：301(1+x)2=500.
故答案为：301(1+x)2=500.
设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】【分析】
主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得．
【解答】
解：10π=150π⋅R180，
∴R=12.
故答案为12.
14.【答案】0(答案不唯一)
【解析】解：根据题意得Δ=k2−4×2<0，
即k2<8，
所以k可以取0.
故答案为：0(答案不唯一).
利用根的判别式的意义得到k2<8，然后写出一个满足不等式的k的值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及线段的和差.
设MN交BC于点D，连接EC，由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，即得
BE=CE=4，由等腰三角形的性质可得∠ECB=∠B=45∘，从而根据三角形的外角性质求得∠AEC=90∘，进而在Rt△ACE中由勾股定理可求得AE=3，最后根据线段的和差即可求得AB的长.
【解答】
解：如图，设MN交BC于点D，连接EC.
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE=4，
∴∠ECB=∠B=45∘，
∴∠AEC=∠ECB+∠B=90∘，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2−CE2= 52−42=3，
∴AB=AE+BE=3+4=7.
16.【答案】211
【解析】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCE=180∘，
∵∠ECD=∠EBD=31∘，
∴∠A+∠BCD=180∘+31∘=211∘.
故答案为：211.
连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCE=180∘，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ECD=∠EBD=31∘，然后求解即可．
本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理，作出辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
17.【答案】94
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
设AE=x，则BE=3−x，根据垂直的定义得到∠A=∠CEF=∠B=90∘，求得∠C=∠BEF，根据相似三角形的性质得到ACBE=AEBF，求得BF=−x2+3x，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】
解：设AE=x，则BE=3−x，
∵BD⊥AB，AC⊥AB，CE⊥EF，
∴∠A=∠CEF=∠B=90∘，
∴∠C+∠AEC=∠AEC+∠BEF=90∘，
∴∠C=∠BEF，
∴△AEC∽△BFE，
∴ACBE=AEBF，
∴13−x=xBF，
∴BF=−x2+3x，
∴当x=−32×(−1)=32时，BF最大值=−(32)2+3×32=94，
故BF的长的最大值是94，
故答案为：94.
18.【答案】2 2
【解析】解：过点F作FG⊥AB于点G，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠D=∠BCD=90∘，∠CAB=45∘，AB//CD，
设CE=a，则DE=CE+CD=a+6，
在Rt△BCE中，BC=6，CE=a，
由勾股定理得：BE2=BC2+CE2=62+a2，
在Rt△ADE中，DE=a+6，AD=6，
由勾股定理得：AE2=AD2+DE2=62+(a+6)2，
∵AE= 2BE，
∴AE2=2BE2，
∵62+(a+6)2=2(62+a2)，
整理得：a2−12a=0，
解得：a1=12，a2=0(不合题意，舍去)
∴CE=a=12，
∵AF⊥AC，∠CAB=45∘，
∴∠FAG=45∘，
∴△AFG为等腰直角三角形，
设AG=b，则FG=b，BG=AB−AG=6−b，
∵AB//CD，
∴∠FBG=∠BEC，
又∵∠FGB=∠BCE=90∘，
∴△FBG∽△BEC，
∴FG：BC=BG：CE，
即b：6=(6−b)：12，
解得：b=2，
∴AG=FG=2，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF= AG2+FG2=2 2.
故答案为：2 2.
过点F作FG⊥AB于点G，设CE=a，则DE=CE+CD=a+6，在Rt△BCE中由勾股定理得：BE2=62+a2，在Rt△ADE中由勾股定理得：AE2=62+(a+6)2，由AE= 2BE得62+(a+6)2=2(62+a2)，解得a=12，则CE=a=12，证△AFG为等腰直角三角形，设AG=b，则FG=b，BG=AB−AG=6−b，证△FBG和△BEC相似得FG：BC=BG：CE，即b：6=(6−b)：12，由此得b=2，则AG=FG=2，然后利用勾股定理即可求出AF的长．
此题主要考查了正方形的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程求线段的长是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2 3−2× 32+2− 3+12
=2 3− 3+2− 3+12
=52；
(2)解不等式3(x−1)<2得：x<53，
解不等式5x+32>x得：x>−1，
∴不等式组的解集为：−1∴不等式组的整数解为：0、1.
【解析】(1)先求出绝对值、三角函数值、负整数次幂、和二次根式，再算加减；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的解法和有理数的运算是解题的关键．
20.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)2÷(x+1)2(x+1)(x−1)−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2÷x+1x−1−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2⋅x−1x+1−x−3x−1
=xx−1−x−3x−1
=3x−1，
当x= 3+1时，
原式=3 3= 3.
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)2;
(2)50+100200×10000=7500(户)，
答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有7500户．
【解析】解：(1)∵有200个数据，
∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
故答案为：2；
(2)见答案.
本题考查了中位数，用样本估计总体，频数(率)分布表，正确的理解题意是解题的关键．
(1)根据中位数的定义即可得到结论；
(2)根据题意列式计算即可得到结论．
22.【答案】13
【解析】解：(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择C景点的结果有1种，
∴甲选择C景点的概率为13.
故答案为：13.
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的结果有：(A,B)，(B,A)，(B,B)，(B,C)，(C,B)，共5种，
∴小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的概率为59.
(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择C景点的结果有1种，利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DCB=90∘，
∵BE=AD，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=∠DCB=90∘，
∴∠FEC=∠FCE；
(2)解：BF⊥AC.
理由：∵∠FEC=∠FCE，
∴EF=CF，
∵BE=BC，
∴BF垂直平分CE，
即BF⊥AC.
【解析】(1)根据矩形的性质可得AD=BC，∠DCB=90∘，根据BE=AD证得BC=BE，求出∠BEC=∠BCE，根据EF⊥BE可得∠BEF=∠DCB=90∘，进而证得∠FEC=∠FCE；
(2)根据∠FEC=∠FCE证得EF=CF，进而证得BF垂直平分CE.
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．
24.【答案】解：(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，
根据题意得：60034x−600x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴34x=34×40=30.
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，
根据题意得：80−m≥12m，
解得：m≤1603.
设购买这两种图书共花费w元，则w=30×0.8m+40×0.8(80−m)，
∴w=−8m+2560，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤1603，且m为正整数，
∴当m=53时，w取得最小值，此时80−m=80−53=27.
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解析】(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入34x中，即可求出《孙子算经》的单价；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥CM于点F，
∵AC⊥CM，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF=CE，
∵AC=228cm，BC=72cm，
∴AB=156cm，
设AE=xcm，则BE=(156−x)cm，
在Rt△ADE中，DE=xtan17.7∘≈x0.32，
在Rt△BDE中，DE=156−xtan11.3∘≈156−x0.2，
∴x0.32=156−x0.2，
解得x=96，
∴DF=CE=AC−AE=228−96=132(cm)，
答：此时镜头D到地面的距离为132cm.
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥CM于点F，设AE=xcm，则BE=(156−x)cm，在Rt△ADE中，DE=xtan17.7∘≈x0.32，在Rt△BDE中，DE=156−xtan11.3∘≈156−x0.2，根据等量关系列出方程x0.32=156−x0.2，解出x即可解答问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
26.【答案】(1)证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠OAD=∠B=45∘，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO=45∘，
∴∠AOD=90∘，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE=∠EOF=12∠DOF=45∘，
∴∠OEB=180∘−∠EOF−∠B=90∘，
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
(2)解：∵OE⊥BC，∠B=45∘，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE=OE=x，则OB= 2x，
∴AB=x+ 2x，
∵AB= 2BC，
∴x+ 2x= 2( 2+x)，
解得x=2，
∴S阴影=S△OEB−S扇形OEF=12×2×2−45×π×22360=2−π2.
【解析】(1)连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；
(2)根据S阴影=S△OEB−S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
27.【答案】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60∘，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
【类比探究】解：BDCE= 22；
【拓展提升】解：(1)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90∘，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(2)由(1)得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=sin∠BAC=BCAC=45.
【解析】【问题呈现】证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
【类比探究】证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
解：BDCE= 22；
证明过程如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2= 22，∠DAE=∠BAC=45∘，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 22；
【拓展提升】(1)先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
(2)在(1)的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
28.【答案】解：(1)由题意得：x=1=−b−20=−1−b+c，
解得：b=2c=3，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)由抛物线的表达式知，点B、M的坐标分别为：(3,0)、(1,4)，则点C(0,4)，
设点P(m,−m2+2m+3)，则点Q(m+1,−m2+4)，
①由点BQ的坐标得，直线BQ的表达式为：y=−(m+2)(x−3)，
∵∠POA=∠QBO，则BQ//OP，
则直线OP的表达式为：y=−(m+2)x，
联立上式和抛物线的表达式得：−x2+2x+3=−(m+2)x，
解得：x=m+4− (m+4)2+122=xP=m，
解得：m=−34，
则点Q的坐标为：(14,5516)；
②存在，理由：
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−43x+4，
当CD为对角线时，
由中点坐标公式得：t=m+m+1−43t+4+4=−m2+2m+3−m2+4，
解得：m=7− 556(不合题意的值已舍去)；
当CP或CQ角线时，
同理可得：m=t+m+1−m2+2m+3+4=−43t+4−m2+4或m+1=m+t−m2+4+4=−m2+2m+3−43t+4，
解得：m=76(舍去)；
综上，m=7− 556.
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①证明BQ//OP，得到直线OP的表达式为：y=−(m+2)x，联立上式和抛物线的表达式得：−x2+2x+3=−(m+2)x，解得：x=m+4− (m+4)2+122=xP=m，即可求解；
②当CD为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当CP或CQ角线时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中(2)，确定BQ//OP是本题解题的关键．组别
用电量分组
频数
1
8≤x<93
50
2
93≤x<178
100
3
178≤x<263
34
4
263≤x<348
11
5
348≤x<433
1
6
433≤x<518
1
7
518≤x<603
2
8
603≤x<688
1
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
1.−15的相反数是( )
A. 5B. −5C. 15D. −15
2.中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为( )
A. B. C. D.
3.若a<2 2
4.下列计算正确的是( )
A. m3+m2=m5B. m6÷m2=m3C. (m3)2=m9D. m3⋅m2=m5
5.如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=kx的图象经过点Q，若S△BPQ=14S△OQC，则k的值为( )
A. −12
B. 12
C. 16
D. 18
6.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI=35∘，则∠OBC的度数为( )
A. 15∘
B. 17.5∘
C. 20∘
D. 25∘
7.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60∘.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为( )
A. 1.8
B. 2.4
C. 3
D. 3.2
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，∠A=60∘，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90∘后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60∘后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是( )
A. 14π+2 3B. 23π+ 3C. 512π+ 3D. 13π+2 3
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.在函数y=1x+2中，自变量x的取值范围是______.
10.因式分解：2m2−8=______.
11.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE//BC，交AC于点E.若AD=2，BD=3，则AEAC的值是______.
12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______.
13.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150∘的扇形，则该圆锥的母线长为______.
14.若关于x的方程x2+kx+2=0没有实数根，则k的值可以是______.(只填一个即可)
15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC=5，BE=4，∠B=45∘，则AB的长为______.
16.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD=31∘，则∠A+∠C=______ ∘.
17.如图，AB=3，BD⊥AB，AC⊥AB，且AC=1.点E是线段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD于点F，则BF的长的最大值是__________.
18.正方形ABCD的边长是6，点E是DC边延长线上一点，连接EB，EA，过点A作AF⊥AC，交EB的延长线于点F，AE= 2BE，则AF的长为______.
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
(1)计算： 12−2cs30∘+| 3−2|+2−1.
(2)解不等式组：3(x−1)<25x+32>x，并写出所有整数解.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：x2+xx2−2x+1÷(x+1)2x2−1−x−3x−1，其中x= 3+1.
21.(本小题10分)
为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量(单位：kW⋅h)进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
(1)该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第______组内；
(2)估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有多少户．
22.(本小题10分)
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源.某天小华、小丽两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览.
(1)甲选择C景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的概率.
23.(本小题10分)
如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的点(不与A，C重合)，连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F.连接BF交AC于点G，BE=AD.
(1)求证：∠FEC=∠FCE；
(2)试判断线段BF与AC的位置关系，并说明理由.
24.(本小题10分)
中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本.
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
25.(本小题10分)
如图，在电视背景墙上，银幕投影区域的下沿B距离地面的高度BC为72cm，投影区域的上沿A距离地面228厘米.小明为了获得最大的投影效果，将投影仪镜调整到影像达到银幕投影区域的上下沿.经测量，此时投影仪镜头D到上沿A的仰角为17.7∘，到下沿B的俯角为11.3∘，求此时镜头D到地面的距离.(参考数据：tan11.3∘≈0.2，tan17.7∘≈0.32)
26.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE= 2，求图中阴影部分的面积(结果保留π).
27.(本小题10分)
【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE.
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90∘.连接BD，CE.请直接写出BDCE的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90∘，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE.
(1)求BDCE的值；
(2)延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值．
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线x=1交抛物线于点M，过点M作MC⊥y轴于点C，连接BC，已知点A的坐标为(−1,0).
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，其中−1
②在线段BC上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
根据相反数的定义，即可解答．
【角度】
解：−15的相反数是15.
故选：C.
2.【答案】B
【解析】解：从左边观看立体图形可得，左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B.
从左边观看立体图形即可得到．
本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
3.【答案】C
【解析】解：∵4<8<9，
∴2< 8<3，即2<2 2<3.
∴a=2，b=3.
∴ab=6.
故选：C.
依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；
故选：D.
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
5.【答案】C
【解析】解：∵PB//OC(四边形OABC为正方形)，
∴△PBQ∽△COQ，
∴S△BPQS△OQC=(PBOC)2=14，
∴PB=PA=12OC=3.
∵正方形OABC的边长为6，
∴点C(0,6)，点P(6,3)，直线OB的解析式为y=x①，
∴设直线CP的解析式为y=ax+6，
∵点P(6,3)在直线CP上，
∴3=6a+6，解得：a=−12，
故直线CP的解析式为y=−12x+6②．
联立①②得：y=xy=−12x+6，
解得：x=4y=4，
∴点Q的坐标为(4,4).
将点Q(4,4)代入y=kx中，得：
4=k4，解得：k=16.
故选：C.
由PB//OC可得出△PBQ∽△COQ，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=PA=12OC，结合正方形OABC的边长为6可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
6.【答案】C
【解析】解：连接IC，IB，OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI=35∘，
∴∠BAC=2∠CAI=70∘，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=140∘，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×(180∘−∠BOC)=12×(180∘−140∘)=20∘，
故选：C.
连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠CAI=70∘，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=140∘，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠C=60∘，
∴∠CAD+∠ADC=120∘，
∵∠ADE=60∘.
∴∠BDE+∠ADC=120∘，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ADDE=ACDB，
∵BD=4DC，
∴设DC=x，
则BD=4x，
∴BC=AC=5x，
∴AD2.4=5x4x，
∴AD=3，
故选：C.
先证∠CAD=∠BDE，再根据∠B=∠C=60∘，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题知，
∵AB=4，∠A=60∘，
∴S扇形ABF=60⋅π⋅42360=83π.
在Rt△ABC中，
sinA=BCAB，
∴BC=2 3.
同理可得，AC=2.
∴S△ABC=12×2×2 3=2 3.
∵S扇形BCE=90⋅π⋅(2 3)2360=3π，
∴S阴影=S扇形CBE−(S扇形ABF−S△ABC)=3π−(83π−2 3)=13π+2 3.
故选：D.
先用扇形ABF的面积减去△ACB的面积，再用扇形CBE的面积减去上面的计算结果即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算及旋转的性质，熟知旋转的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键．
9.【答案】x≠−2
【解析】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠−2.
故答案为x≠−2.
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析函数解析式可得关系式x+2≠0，解得答案．
本题考查求解析法表示的函数的自变量取值范围，注意当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0.
10.【答案】2(m+2)(m−2)
【解析】解：2m2−8
=2(m2−4)
=2(m+2)(m−2)，
故答案为：2(m+2)(m−2).
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11.【答案】25
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=ADAD+DB，
∵AD=2，BD=3，
∴AEAC=25.
故答案为：25.
根据DE//BC，得到△ADE∽△ABC，得到AEAC=ADAB=ADAD+DB，结合AD=2，BD=3计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
12.【答案】301(1+x)2=500
【解析】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：301(1+x)2=500.
故答案为：301(1+x)2=500.
设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】【分析】
主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得．
【解答】
解：10π=150π⋅R180，
∴R=12.
故答案为12.
14.【答案】0(答案不唯一)
【解析】解：根据题意得Δ=k2−4×2<0，
即k2<8，
所以k可以取0.
故答案为：0(答案不唯一).
利用根的判别式的意义得到k2<8，然后写出一个满足不等式的k的值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及线段的和差.
设MN交BC于点D，连接EC，由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，即得
BE=CE=4，由等腰三角形的性质可得∠ECB=∠B=45∘，从而根据三角形的外角性质求得∠AEC=90∘，进而在Rt△ACE中由勾股定理可求得AE=3，最后根据线段的和差即可求得AB的长.
【解答】
解：如图，设MN交BC于点D，连接EC.
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE=4，
∴∠ECB=∠B=45∘，
∴∠AEC=∠ECB+∠B=90∘，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2−CE2= 52−42=3，
∴AB=AE+BE=3+4=7.
16.【答案】211
【解析】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCE=180∘，
∵∠ECD=∠EBD=31∘，
∴∠A+∠BCD=180∘+31∘=211∘.
故答案为：211.
连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCE=180∘，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ECD=∠EBD=31∘，然后求解即可．
本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理，作出辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
17.【答案】94
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
设AE=x，则BE=3−x，根据垂直的定义得到∠A=∠CEF=∠B=90∘，求得∠C=∠BEF，根据相似三角形的性质得到ACBE=AEBF，求得BF=−x2+3x，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】
解：设AE=x，则BE=3−x，
∵BD⊥AB，AC⊥AB，CE⊥EF，
∴∠A=∠CEF=∠B=90∘，
∴∠C+∠AEC=∠AEC+∠BEF=90∘，
∴∠C=∠BEF，
∴△AEC∽△BFE，
∴ACBE=AEBF，
∴13−x=xBF，
∴BF=−x2+3x，
∴当x=−32×(−1)=32时，BF最大值=−(32)2+3×32=94，
故BF的长的最大值是94，
故答案为：94.
18.【答案】2 2
【解析】解：过点F作FG⊥AB于点G，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠D=∠BCD=90∘，∠CAB=45∘，AB//CD，
设CE=a，则DE=CE+CD=a+6，
在Rt△BCE中，BC=6，CE=a，
由勾股定理得：BE2=BC2+CE2=62+a2，
在Rt△ADE中，DE=a+6，AD=6，
由勾股定理得：AE2=AD2+DE2=62+(a+6)2，
∵AE= 2BE，
∴AE2=2BE2，
∵62+(a+6)2=2(62+a2)，
整理得：a2−12a=0，
解得：a1=12，a2=0(不合题意，舍去)
∴CE=a=12，
∵AF⊥AC，∠CAB=45∘，
∴∠FAG=45∘，
∴△AFG为等腰直角三角形，
设AG=b，则FG=b，BG=AB−AG=6−b，
∵AB//CD，
∴∠FBG=∠BEC，
又∵∠FGB=∠BCE=90∘，
∴△FBG∽△BEC，
∴FG：BC=BG：CE，
即b：6=(6−b)：12，
解得：b=2，
∴AG=FG=2，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF= AG2+FG2=2 2.
故答案为：2 2.
过点F作FG⊥AB于点G，设CE=a，则DE=CE+CD=a+6，在Rt△BCE中由勾股定理得：BE2=62+a2，在Rt△ADE中由勾股定理得：AE2=62+(a+6)2，由AE= 2BE得62+(a+6)2=2(62+a2)，解得a=12，则CE=a=12，证△AFG为等腰直角三角形，设AG=b，则FG=b，BG=AB−AG=6−b，证△FBG和△BEC相似得FG：BC=BG：CE，即b：6=(6−b)：12，由此得b=2，则AG=FG=2，然后利用勾股定理即可求出AF的长．
此题主要考查了正方形的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程求线段的长是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2 3−2× 32+2− 3+12
=2 3− 3+2− 3+12
=52；
(2)解不等式3(x−1)<2得：x<53，
解不等式5x+32>x得：x>−1，
∴不等式组的解集为：−1
【解析】(1)先求出绝对值、三角函数值、负整数次幂、和二次根式，再算加减；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的解法和有理数的运算是解题的关键．
20.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)2÷(x+1)2(x+1)(x−1)−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2÷x+1x−1−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2⋅x−1x+1−x−3x−1
=xx−1−x−3x−1
=3x−1，
当x= 3+1时，
原式=3 3= 3.
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)2;
(2)50+100200×10000=7500(户)，
答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有7500户．
【解析】解：(1)∵有200个数据，
∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
故答案为：2；
(2)见答案.
本题考查了中位数，用样本估计总体，频数(率)分布表，正确的理解题意是解题的关键．
(1)根据中位数的定义即可得到结论；
(2)根据题意列式计算即可得到结论．
22.【答案】13
【解析】解：(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择C景点的结果有1种，
∴甲选择C景点的概率为13.
故答案为：13.
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的结果有：(A,B)，(B,A)，(B,B)，(B,C)，(C,B)，共5种，
∴小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的概率为59.
(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择C景点的结果有1种，利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及小华、小丽两人中至少有一人选择B景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DCB=90∘，
∵BE=AD，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=∠DCB=90∘，
∴∠FEC=∠FCE；
(2)解：BF⊥AC.
理由：∵∠FEC=∠FCE，
∴EF=CF，
∵BE=BC，
∴BF垂直平分CE，
即BF⊥AC.
【解析】(1)根据矩形的性质可得AD=BC，∠DCB=90∘，根据BE=AD证得BC=BE，求出∠BEC=∠BCE，根据EF⊥BE可得∠BEF=∠DCB=90∘，进而证得∠FEC=∠FCE；
(2)根据∠FEC=∠FCE证得EF=CF，进而证得BF垂直平分CE.
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．
24.【答案】解：(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，
根据题意得：60034x−600x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴34x=34×40=30.
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，
根据题意得：80−m≥12m，
解得：m≤1603.
设购买这两种图书共花费w元，则w=30×0.8m+40×0.8(80−m)，
∴w=−8m+2560，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤1603，且m为正整数，
∴当m=53时，w取得最小值，此时80−m=80−53=27.
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解析】(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入34x中，即可求出《孙子算经》的单价；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥CM于点F，
∵AC⊥CM，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF=CE，
∵AC=228cm，BC=72cm，
∴AB=156cm，
设AE=xcm，则BE=(156−x)cm，
在Rt△ADE中，DE=xtan17.7∘≈x0.32，
在Rt△BDE中，DE=156−xtan11.3∘≈156−x0.2，
∴x0.32=156−x0.2，
解得x=96，
∴DF=CE=AC−AE=228−96=132(cm)，
答：此时镜头D到地面的距离为132cm.
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥CM于点F，设AE=xcm，则BE=(156−x)cm，在Rt△ADE中，DE=xtan17.7∘≈x0.32，在Rt△BDE中，DE=156−xtan11.3∘≈156−x0.2，根据等量关系列出方程x0.32=156−x0.2，解出x即可解答问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
26.【答案】(1)证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠OAD=∠B=45∘，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO=45∘，
∴∠AOD=90∘，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE=∠EOF=12∠DOF=45∘，
∴∠OEB=180∘−∠EOF−∠B=90∘，
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
(2)解：∵OE⊥BC，∠B=45∘，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE=OE=x，则OB= 2x，
∴AB=x+ 2x，
∵AB= 2BC，
∴x+ 2x= 2( 2+x)，
解得x=2，
∴S阴影=S△OEB−S扇形OEF=12×2×2−45×π×22360=2−π2.
【解析】(1)连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；
(2)根据S阴影=S△OEB−S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
27.【答案】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60∘，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
【类比探究】解：BDCE= 22；
【拓展提升】解：(1)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90∘，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(2)由(1)得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=sin∠BAC=BCAC=45.
【解析】【问题呈现】证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
【类比探究】证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
解：BDCE= 22；
证明过程如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2= 22，∠DAE=∠BAC=45∘，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 22；
【拓展提升】(1)先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
(2)在(1)的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
28.【答案】解：(1)由题意得：x=1=−b−20=−1−b+c，
解得：b=2c=3，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)由抛物线的表达式知，点B、M的坐标分别为：(3,0)、(1,4)，则点C(0,4)，
设点P(m,−m2+2m+3)，则点Q(m+1,−m2+4)，
①由点BQ的坐标得，直线BQ的表达式为：y=−(m+2)(x−3)，
∵∠POA=∠QBO，则BQ//OP，
则直线OP的表达式为：y=−(m+2)x，
联立上式和抛物线的表达式得：−x2+2x+3=−(m+2)x，
解得：x=m+4− (m+4)2+122=xP=m，
解得：m=−34，
则点Q的坐标为：(14,5516)；
②存在，理由：
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−43x+4，
当CD为对角线时，
由中点坐标公式得：t=m+m+1−43t+4+4=−m2+2m+3−m2+4，
解得：m=7− 556(不合题意的值已舍去)；
当CP或CQ角线时，
同理可得：m=t+m+1−m2+2m+3+4=−43t+4−m2+4或m+1=m+t−m2+4+4=−m2+2m+3−43t+4，
解得：m=76(舍去)；
综上，m=7− 556.
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①证明BQ//OP，得到直线OP的表达式为：y=−(m+2)x，联立上式和抛物线的表达式得：−x2+2x+3=−(m+2)x，解得：x=m+4− (m+4)2+122=xP=m，即可求解；
②当CD为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当CP或CQ角线时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中(2)，确定BQ//OP是本题解题的关键．组别
用电量分组
频数
1
8≤x<93
50
2
93≤x<178
100
3
178≤x<263
34
4
263≤x<348
11
5
348≤x<433
1
6
433≤x<518
1
7
518≤x<603
2
8
603≤x<688
1
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
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