2024年辽宁省抚顺市望花区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年辽宁省抚顺市望花区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.关于x的一元二次方程x2−4x−7=0的一次项系数是( )
A. 1B. 2C. −4D. −7
2.一元二次方程是x2+x=0的根的是( )
A. x1=0，x2=1B. x1=1，x2=−1
C. x1=0，x2=−1D. x1=x2=−1
3.若抛物线y=(x+4)2−1平移得到y=x2，则必须( )
A. 先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B. 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C. 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D. 先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
4.正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就( )
A. 沿顺时针方向旋转了45∘B. 沿逆时针方向旋转了45∘
C. 沿顺时针方向旋转了90∘D. 沿逆时针方向旋转了90∘
5.下列一元二次方程有两个相等的实数根的是( )
A. x2−2x+1=0B. x2−2x−1=0C. x2+x+1=0D. x2+x−1=0
6.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x−3)2(a≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步(两步=10尺)时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为( )
A. x2+102=(x+1)2B. (x+1)2+102=x2
C. x2+102=(x−4)2D. (x−4)2+102=x2
9.如图，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点C，点D的坐标为(0,−1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为( )
A. 1+ 2
B. 1− 2
C. 2−1
D. 1− 2或1+ 2
10.如图，在平面直角坐标系中，射线OB是第一象限的角平分线，线段OB=2 2，将△OAB绕原点顺时针旋转，每次旋转45∘，则第2023次旋转结束后，点B对应点的坐标为( )
A. (−2,−2)
B. (2,2)
C. (0,−2 2)
D. (0,2 2)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+x+k2−4=0有一个根是0，则k的值是______.
12.如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转______度形成的．
13.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112(x−10)(x+4)，则铅球推出的距离OA=______m.
14.如图，在平面直角坐标系中，点A(a,b)，连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90∘得到OB.则点B的坐标为______.(用字母a，b表示)
15.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=−19(x−6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是______.
16.如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的小路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100m2，则小路的宽为______.
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)用配方法解方程：x2−4x+1=0；
(2)用公式法解方程：5x2−3x=x+1.
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,3).
(1)平移△ABC，得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为(3,−1)，请画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)将△ABC以点(0,2)为旋转中心旋转180∘后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心P点的坐标.
19.(本小题8分)
台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
20.(本小题8分)
许多数学问题源于生活.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图①)、可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点.点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称.OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米.
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离.
21.(本小题8分)
(1)操作发现：
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.现将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90∘，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，如图所示则∠AB′B=______；
(2)解决问题：
如图2，在等边△ABC内有一点P，且PA=2,PB= 3,PC=1，如果将△BPC绕点B逆时针旋转60∘得出△ABP′，求∠BPC的度数和PP′的长.
22.(本小题8分)
网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在某一销售平台上进行直播销售某种产品.已知该产品的成本价为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系，下表记录的是有关数据：
经销商发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg.
(1)求出日销售量y与销售单价x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)设公司销售该产品的日获利为m(元)，当销售单价定为多少时，销售这种产品的日获利m最大？最大利润为多少元？
23.(本小题8分)
▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90∘，得到EF，连接BF.
(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45∘时，如图①，求证：AE+EC=BF；
(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45∘时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135∘时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在(1)、(2)的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.
24.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx−6交x轴于A(2,0)，B(−6,0)两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上的动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求QA+QO的最小值；
(3)过点Q作QP//AC交抛物线的第三象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S=S1+S2，当S=152时，求点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：关于x的一元二次方程x2−4x−7=0的一次项系数是−4，
故选：C.
根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找一次项系数带着前面的符号．
2.【答案】C
【解析】【分析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【解答】
解：∵x2+x=0，
∴x(x+1)=0，
则x=0或x+1=0，
解得：x1=0，x2=−1，
故选：C.
3.【答案】B
【解析】解：抛物线y=(x+4)2−1的顶点坐标为(−4,−1)，
y=x2的顶点坐标为(0,0)，
抛物线y=(x+4)2−1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y=x2.
故选：B.
确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
4.【答案】C
【解析】解：(12−9)×30∘
=3×30∘
=90∘.
答：钟表的分针从走到了12.分针顺时针方向旋转了90度．
故选：C.
钟面上指针转动的方向就是顺时针，分针走一大格是30∘，从9到12走了3大格，据此即能求解．
本题考查了生活中的旋转现象，解决本题的关键在于知道分针走一大格是30∘.
5.【答案】B
【解析】解：A、Δ=22−4×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不合题意；
B、Δ=22−4×1=0，方程有两个相等的实数根，所以B选项合题意；
C、Δ=12−4×1=−30，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不合题意．
故选：B.
分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−(−4)± 362×5=4±610，
∴x1=1，x2=−15.
【解析】(1)先把左边的1移项到右边成−1，再配方，两边同时加(−2)2，左边得到完全平方，再画出两个一元一次方程进行解答；
(2)先化成一般式找到a、b、c，计算b2−4ac判定根的情况，最后运用公式x=−b± b2−4ac2a即可求解．
本题主要考查了运用配方法、公式法解一元二次方程，运用公式法解方程时，要先把方程化为一般式，找到a、b、c的值，然后用b2−4ac判定根的情况，最后运用公式x=−b± b2−4ac2a即可求解．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，B1点坐标为(0,0)；
(2)如图，△A2B2C2即为所求，B2坐标为(4,2)；
(3)连接A1A2、B1B2、C1C2交于一点，该点为旋转中心P，其坐标为(2,1).

【解析】(1)先作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可，根据图形写出点B1的坐标；
(2)先作出点A、B、C旋转后的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接即可，根据图形写出点B2的坐标；
(3)根据图形得出旋转中心P点的坐标即可．
本题主要考查了平移、旋转作图，求旋转中心，解题的关键是作出对应点的位置．
19.【答案】解：(1)设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
3000×(1+x)2=4320，
解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)，
答：捐款增长率为20%.
(2)4320×(1+20%)=5184元．
答：第四天该单位能收到5184元捐款．
【解析】(1)解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×(1+每次增长的百分率)2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
(2)第三天收到捐款钱数×(1+每次增长的百分率)=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×(1+每次降价的百分率)2=第三天收到捐款钱数．
20.【答案】解：(1)根据题意，点C(0,1)，A(2,0.6)，B(−2,0.6)，
设抛物线解析式为：y=ax2+1，将A(2,0.6)坐标代入解析式得：4a+1=0.6，
解得：a=−0.1，
抛物线解析式为：y=−0.1x2+1.
(2)设直线OA解析式为y=kx，将A(2,0.6)坐标代入得，0.6=2k，解得k=0.3，
∴直线OA解析式为：y=0.3x，
联立函数解析式：y=0.3xy=−0.1x2+1，
解得：x=−5y=−1.5，或x=2y=0.6(不符合题意舍去)，
∴点F坐标为(−5.−1.5)
抛物线的对称轴是y轴，∴点E的坐标为(5,−1.5)，
∴EF=5−(−5)=10.
【解析】(1)待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
21.【答案】45∘
【解析】解：(1)∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转90∘，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，
∴AB′=AB，∠BAB′=90∘，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B=45∘；
故答案为：45∘；
(2)∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60∘，
∵△BPC绕点B逆时针旋转60∘得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP= 3，∠PBP′=60∘，△BPC≌△BP′A，
∴△BPP′为等边三角形，
∴∠BP′P=60∘，PP′=BP= 3，
在△APP′中，∵AP′=1，PP′= 3，AP=2，
∴AP′2+PP′2=AP2，
∴△APP′为直角三角形，∠AP′P=90∘，
∴∠BP′A=∠AP′P+∠BP′P=90∘+60∘=150∘，
∵△BPC≌△BP′A，
∴∠BPC=∠BP′A=150∘.
答：∠BPC的度数为150∘，PP′的长为 3.
(1)根据旋转的性质得到AB′=AB，∠BAB′=90∘，则可判断△ABB′为等边三角形，从而得到∠AB′B=45∘；
(2)根据旋转的性质得到AP′=CP=1，BP′=BP= 3，∠PBP′=60∘，△BPC≌△BP′A，则△BPP′为等边三角形，所以∠BP′P=60∘，PP′=BP= 3，再利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠AP′P=90∘，然后计算出∠BP′A=150∘，从而得到∠BPC的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和勾股定理及其逆定理．
22.【答案】解：(1)设：y与x之间的函数解析式为y=kx+b.
将(10,4000)和(11,3900)代入函数表达式得：
10k+b=400011k+b=3900，解得：k=−100b=5000，
∵销售单价不低于成本价且不高于32元/kg，
则6≤x≤32，
∴y与x之间的函数解析式为：y=−100x+5000(6≤x≤32)；
(2)由题意得：m=(x−6)(−100x+5000)
=−100(x−28)2+48400，
∵−100O′A(在三角形中，两边之和大于第三边)，
∴QA+QO的最小值为O′A= (−6−2)2+(−6)2=10.
(3)过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M.连接PC.
∵QP//AC，
∴S△PAQ=S△PCQ(同底等高)，
∴S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB−SRt△BOC.
设点P(m,12m2+2m−6)，
∴S梯形PCOM=12(MP+OC)⋅OM=12(−12m2−2m+6+6)(−m)=−12m(−12m2−2m+12)，
SRt△PMB=12MP⋅BM=12(−12m2−2m+6)(m+6)=12(m+6)(−12m2−2m+6)，
SRt△BOC=12OB⋅OC=12×6×6=18.
∴S=S1+S2=−12m(−12m2−2m+12)+12(m+6)(−12m2−2m+6)−18=152，解得m=−1或−5.
∴P(−1,−152)或(−5,−72).
【解析】(1)A(2,0)，B(−6,0)代入y=ax2+bx−6，利用待定系数法解答即可；
(2)作点O关于直线BC的对称点坐标为O′，求出O′的坐标，并证明Q′A为QA+QO的最小值，求出Q′A即可；
(3)过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M.连接PC.设点P(m,12m2+2m−6)，由于QP//AC，故S△PAQ=S△PCQ(同底等高)，从而得到S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB−SRt△BOC，用P点坐标将各项表示出来，从而求出m的值，进而求得P点坐标．
本题考查二次函数的性质、图象上坐标特点和解析式的求法等内容，解答过程非常复杂，要求有极强的计算能力和思维能力．x(元/kg)
10
11
12
y(kg)
4000
3900
3800