2024年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（4月份）（含详细答案解析）

这是一份2024年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（4月份）（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序.经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游1.35亿人次，同比增长155.3%，数据“1.35亿”用科学记数法表示为( )
A. 1.35×108B. 1.35×107C. 0.135×108D. 13.5×107
2.如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，从左面观察该几何体，看到的形状图为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算中正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (a3)4=a7C. a6a3=a2D. a5+a5=2a5
5.若关于x的方程x2+bx+36=0有两个相等的实数根，则b的值是( )
A. 12B. −12C. ±12D. ±6
6.若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. k>0B. b=2
C. y随x的增大而增大D. 当x=3时，y=0
7.我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60∘，∠BAC=50∘，当∠MAC为度时，AM//BE.( )
A. 15B. 65C. 70D. 115
8.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是( )
A. 8
B. 7
C. 4
D. 3
9.明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤(注：明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语).设共有x两银子，则可列方程为( )
A. 7x−4=5x+8B. x−47=x+85C. 7x+4=5x−8D. x+47=x−85
10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，AC=5，∠CAB=90∘，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于12AF的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC=2：3，则BC的长为( )
A. 2 6B. 3 5C. 8D. 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围为______.
12.把点A(2,−3)先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是______.
13.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是______.
14.考察函数y=−4x的图象，当y≥−1时，x的取值范围是______.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=4 2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ，当∠ADQ=90∘时，AQ的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(π+1)0+2−2−12sin30∘+|− 9|；
(2)化简：(a+1−3a−1)÷a2+4a+4a−1.
17.(本小题8分)
3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元.
(1)求香樟树和桂花树的单价；
(2)现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？
18.(本小题9分)
第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动．为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整：
【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲：40，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60
乙：70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80
【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据：
(说明：成绩中优秀为80≤x≤100，良好为60≤x<80，合格为40≤x<60.)
【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示：
【得出结论】
(1)【分析数据】中，乙学校的众数a=______.
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是______校的学生；(填“甲”或“乙”)
(3)根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数；
(4)根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．(从平均分、中位数、众数中至少选两个不同的角度说明推断的合理性)
19.(本小题8分)
某单位准备购买一种水果，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该水果在两家超市的标价均为13元/千克.甲超市购买该水果的费用y(元)与该水果的质量x(千克)之间的关系如图所示；乙超市该水果在标价的基础上每千克直降3元.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)现计划用290元购买该水果，选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些？
20.(本小题8分)
如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动.此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30∘，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37∘，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上.
(1)求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度(结果保留根号)；
(2)求教学楼BC的高度(结果取整数)(参考数据： 3≈1.73，sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75).
21.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE⊥AB；
(2)若tan∠BDE=12，CF=3，求DF的长．
22.(本小题12分)
【建立模型】
(1)在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D和点E，求证：△ADC≌△CEB，请你写出证明过程：
【类比迁移】
(2)勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题；
如图2，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段AC绕点C顺时针旋转90∘得到线段CB，反比例函数y=kx的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
【拓展延伸】
(3)创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：
如图3，一次函数y=−3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线y=−x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAC=45∘时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标.
23.(本小题12分)
【问题初探】
(1)在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形ABCD中，∠A=90∘，∠C=45∘，BD平分∠ABC，求证：AB+AD=BC.
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=AB，连接DE，将线段AB，AD，BC的数量关系转化为DE与CE的数量关系；
②如图3，乐琪同学从BD平分∠ABC这个条件出发，想到将△BDC沿BD翻折，所以她延长线段BA到点F，使FB=CB，连接FD，发现了∠F与∠ADF的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
(2)李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请你解答.
如图4，△ABC中，∠A=90∘，平面内有点D(点D和点A在BC的同侧)，连接DC，DB，∠D=45∘，∠ABD+2∠ABC=180∘，求证： 2BD+ 2AB=CD.
【学以致用】
(3)如图5，在(2)的条件下，若∠ABD=30∘，AB=1，请直接写出线段AC的长度.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：1.35亿=135000000=1.35×108.
故选：A.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B.
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
4.【答案】D
【解析】解：A、a3⋅a2=a5，所以A选项不正确；
B、(a3)4=a12，所以B选项不正确；
C、a6a3=a3，所以C选项不正确；
D、a5+a5=2a5，所以D选项正确．
故选：D.
根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方法则对B进行判断；根据同底数幂的除法法则对C进行判断；根据合并同类项对D进行判断．
本题考查了同底数幂的除法：am÷an=am−n(m、n为正整数，m>n).也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项．
5.【答案】C
【解析】解：∵关于x的方程x2+bx+36=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4×36=0，
解得：b=±12.
故选：C.
根据一元二次方程根的判别式即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由图象可得，
k<0，故选项A错误，不符合题意；
b=2，故选项B正确，符合题意；
y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；
当x=3时，y>0，故选项D错误，不符合题意；
故选：B.
根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB//l，CD//l，
∴AB//CD，
∴∠BCD=∠ABC=60∘，
∵∠BAC=50∘，
∴∠ACB=180∘−∠BAC−∠ABC=70∘，
∴当∠MAC=∠ACB=70∘时，AM//BE，
故选：C.
根据已知易得：AB//CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD=∠ABC=60∘，再利用三角形内角和定理可得∠ACB=70∘，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC=∠ACB=70∘时，AM//BE，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB=90∘，
根据勾股定理，得：OB= AB2−OA2= 52−32=4，
∴BD=2OB=8，
故选：A.
9.【答案】D
【解析】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得：x+47=x−85
故选：D.
根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤，得出等式即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．
10.【答案】B
【解析】解：根据作图过程可知：
PQ是AF的垂直平分线，
∴AE=EF，AB=FB，
∵AE：EC=2：3，AC=5，
∴AE=2，EC=3，
∴FC= 32−22= 5.
∵AB2+AC2=BC2
即BF2+25=(BF+ 5)2
解得BF=2 5
∴BC=BF+FC=3 5.
则BC的长为3 5.
故选：B.
根据作图过程可得PQ是AF的垂直平分线，再根据已知条件即可求得AE、EC的长，根据勾股定理即可求解．
本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
11.【答案】x≥3
【解析】解：∵二次根式 x−3在实数范围内有意义，
∴x−3≥0，解得x≥3.
故答案为：x≥3.
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是关键．
12.【答案】(−3,1)
【解析】解：将点A(2,−3)向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标为(2−5,−3+4)，即(−3,1)，
故答案为：(−3,1).
让点A的横坐标减5，纵坐标加4即可得到平移后点B的坐标．
本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
13.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率是39=13，
故答案为：13.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的有3种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】x≥4或x<0
【解析】解：由题意，∵k=−4<0，
∴当x>0时，y随着x的增大而增大，
∵当y=−1时，x=4，
又当x<0时，y>0，
∴当y≥−1时，x≥4或x<0，
故答案为：x≥4或x<0.
依据题意，首先根据反比例函数的比例系数确定其增减性，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象的知识，解题的关键是根据反比例函数的比例式确定其增减性，难度不大．
15.【答案】5或 41
【解析】解：如图：
∵∠ACB=90∘，AC=BC=4 2，
∴AB= 2AC=8，
∵点D为AB的中点，
∴CD=AD=12AB=4，∠ADC=90∘，
∵∠ADQ=90∘，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ=CP=CQ′=1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ=CD−CQ=3，
∴AQ= AD2+DQ2=5，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′=CD+CQ′=5，
∴AQ= AD2+DQ′2= 42+52= 41，
综上所述：当∠ADQ=90∘时，AQ的长为5或 41，
故答案为：5或 41.
分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=1+14−12×12+3
=1+14−14+3
=4；
(2)原式=(a+1)(a−1)−3a−1⋅a−1(a+2)2
=a2−4a−1⋅a−1(a+2)2
=a−2a+2.
【解析】(1)分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)设桂花树每棵x元，香樟树每棵y元．
由题意可得：2x+y=2403x+2y=390，
解得：x=90y=60，
答：桂花树每棵90元，香樟树每棵60元；
(2)设桂花树a棵，则香樟树(40−a)棵．
由题意可得：90a+60(40−a)≤3300，
解得：a≤30，
∴a的最大值为30，
答：学校最多可以购买30棵桂花树．
【解析】(1)设桂花树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，由购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元列出二元一次方程组，求解即可；
(2)设桂花树a棵，则香樟树(40−a)棵，由总费用不超过3300元，列出不等式解，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
18.【答案】70 甲
【解析】解：(1)乙学校竞赛得分出现次数最多的是70分，共出现6次，因此众数是70，即a=70；
故答案为：70；
(2)甲学校的中位数是60，而乙学校的中位数是70，
由于小明的竞赛是70分，在学校排名属中游略偏上，所以小明是甲学校的学生，
故答案为：甲；
(3)400×720=140(人)，
答：乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的大约有140人；
(4)乙校，理由如下：
乙校的平均分高于甲校的平均分．
(1)根据众数的定义即可得出答案；
(2)根据两个学校竞赛成绩的中位数进行判断即可；
(3)根据乙学校成绩在80分及以上的人数所占的百分比，估计总体的优秀所占的百分比，进而计算相应的人数即可；
(4)比较两个学校的平均数、中位数的大小，进而得出结论．
本题考查中位数、平均数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提．
19.【答案】解：(1)当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=kx(k≠0)，
把(5,65)代入解析式得：5k=65，
解得k=13，
∴y1=13x；
当x>5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=mx+n(m≠0)，
把(5,65)和(10,110)代入解析式得5m+n=6510m+n=110，
解得m=9n=20，
∴y1=9x+20，
综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1=13x(0≤x≤5)9x+20(x>5)；
(2)在甲商店购买：9x+20=290，
解得x=30，
∴在甲商店290元可以购买30千克水果；
在乙商店购买：10x=290，
解得x=29，
∴在乙商店290元可以购买29千克，
∵30>29，
∴在甲商店购买更多一些．
【解析】(1)用待定系数法，分段求出函数解析式即可；
(2)把y=290分别代入解析式，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
20.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠A=30∘，DE=30m，
∴AE= 3DE=30 3(m)，
∵AB=60m，
∴BE=AB−AE=(60−30 3)m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为(60−30 3)m；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF//DG，
∴∠DCF=∠CDG=37∘，
在Rt△DCF中，DF=CF⋅tan37∘≈(60−30 3)×0.75=(45−22.5 3)m，
∴EF=DE−DF=30−(45−22.5 3)=22.5 3−15≈24(m)，
∴BC=EF=24m，
∴教学楼BC的高度约为24m.
【解析】(1)在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF//DG，从而可得∠DCF=∠CDG=37∘，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)连接OD，
∵EF切⊙O于点D，
∴OD⊥EF，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠OCD，
∴∠ABC=∠ODC，
∴AB//OD，
∴DE⊥AB；
(2)连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠B+∠BDE=90∘，∠B+∠1=90∘，
∴∠BDE=∠1，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2.
又∵∠BDE=∠3，
∴∠2=∠3.
∴△FCD∽△FDA，
∴FCFD=CDDA，
∵tan∠BDE=12，
∴tan∠2=12，
∴CDDA=12，
∴FCFD=12，
∵CF=3，
∴FD=6.
【解析】(1)连接OD，由EF为圆O的切线，利用切线的性质得到OD与EF垂直，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB=AC，根据等边对等角得到另一对角相等，等量代换可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得出OD与AB平行，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；
(2)连接AD，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查了切线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图1，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠ACD+∠CAD=90∘，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠CAD=∠BCE，
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
(2)如图2，过点B作BG⊥x轴于点G，
则∠CGB=∠AOC=90∘，
∴∠ACO+∠CAO=90∘，
∵将线段AC绕点C顺时针旋转90∘得到线段CB，
∴AC=CB，∠ACB=90∘，
∴∠ACO+∠BCG=90∘，
∴∠CAO=∠BCG，
∴△ACO≌△CBG(AAS)，
∴OA=CG，OC=BG，
∵直线y=−3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点C，
∴A(0,3)，C(1,0)，
∴OA=3，OC=1，
∴CG=3，BG=1，
∴OG=OC+CG=1+3=4，
∴B(4,1)，
将B(4,1)代入y=kx，得1=k4，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
(3)如图3，过点C作CE⊥AC，且CE=AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点F，
则∠CFE=∠ACE=∠AOC=90∘，
∴∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠ECF=90∘，
∴∠CAO=∠ECF，
∴△ACO≌△CEF(AAS)，
∴OA=CF=3，OC=EF=1，
∴OF=OC+CF=1+3=4，
∴E(4,1)，
设直线AE的解析式为y=kx+b，将E(4,1)，A(0,3)代入得：4k+b=1b=3，
解得：k=−12b=3，
∴直线AE的解析式为y=−12x+3，
联立方程组得y=−12x+3y=−x2+2x+3，
解得：x1=0y1=3(舍去)，x2=52y2=74，
∴点P的坐标为(52,74).
【解析】(1)利用AAS证明△ACD≌△CBE即可；
(2)过点B作BG⊥x轴于点G，则∠CGB=∠AOC=90∘，由旋转得：AC=CB，∠ACB=90∘，利用AAS可证得△ACO≌△CBG，得出OA=CG，OC=BG，OG=OC+CG=1+3=4，进而求得B(4,1)，代入y=kx，即可求得答案；
(3)过点C作CE⊥AC，且CE=AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点F，则∠CFE=∠ACE=∠AOC=90∘，证得△ACO≌△CEF(AAS)，得出E(4,1)，运用待定系数法可得直线AE的解析式为y=−12x+3，联立方程组即可求得答案．
本题是反比例函数和二次函数综合题，考查了待定系数法，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，本题涉及知识点较多，综合性较强，是常考的中考数学压轴题．
23.【答案】(1)证明：如图3，延长线段BA到点F，使FB=CB，连接FD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠CBD，
在△FBD和△CBD中，
FB=CB∠FBD=∠CBDBD=BD，
∴△FBD≌△CBD(SAS)，
∴BF=BC，∠F=∠C=45∘，
∵∠DAF=∠BAD=90∘，
∴∠ADF=∠F=45∘，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AB+AF=BF，
∴AB+AD=BC.
注：方法不唯一，如：
证明：如图2，在BC上截取BE=AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠ABD，
在△EBD和△ABD中，
EB=AB∠EBD=∠ABDBD=BD，
∴△EBD≌△ABD(SAS)，
∴ED=AD，∠BED=∠A=90∘，
∴∠CED=90∘，
∴∠C=45∘，
∵∠EDC=∠C=45∘，
∴ED=EC，
∴EC=AD，
∴AB+AD=EB+EC=BC.
(2)证明：如图4，作CL⊥DB交DB的延长线于点L，则∠L=∠A=90∘，
∵∠D=45∘，
∴∠LCD=∠D=45∘，
∴CL=DL，
∵∠ABD+∠ABC+∠LBC=180∘，∠ABD+2∠ABC=180∘，
∴∠ABD+∠ABC+∠LBC=∠ABD+2∠ABC，
∴∠LBC=∠ABC，
在△LBC和△ABC中，
∠LBC=∠ABC∠L=∠ABC=BC，
∴△LBC≌△ABC(AAS)，
∴LB=AB，
∵CD= CL2+DL2= 2DL= 2BD+ 2LB，
∴ 2BD+ 2AB=CD.
(3)解：线段AC的长度是2+ 3，
理由：∵∠ABD+2∠ABC=180∘，∠ABD=30∘，
∴30∘+2∠ABC=180∘，
∴∠ABC=75∘，∠ACB=15∘，
在AC上取一点H，连接BH，使BH=CH，则∠HBC=∠ACB=15∘，
∴∠AHB=∠HBC+∠ACB=30∘，
∵AB=1，
∴BH=CH=2AB=2，
∴AH= BH2−AB2= 22−12= 3，
∴AC=CH+AH=2+ 3，
∴线段AC的长度是2+ 3.
【解析】(1)延长线段BA到点F，使FB=CB，连接FD，可证明△FBD≌△CBD，得BF=BC，∠F=∠C=45∘，而∠DAF=∠BAD=90∘，所以∠ADF=∠F=45∘，则AD=AF，即可推导出AB+AD=AB+AF=BF=BC；另一种证明方法是：在BC上截取BE=AB，连接DE，可证明△EBD≌△ABD，得ED=AD，∠BED=∠A=90∘，再证明∠EDC=∠C=45∘，则ED=EC=AD，则AB+AD=EB+EC=BC；
(2)作CL⊥DB交DB的延长线于点L，则∠L=∠A=90∘，所以∠LCD=∠D=45∘，则CL=DL，再证明△LBC≌△ABC，得LB=AB，由CD= CL2+DL2= 2DL= 2BD+ 2LB，得 2BD+ 2AB=CD；
(3)由∠ABD+2∠ABC=180∘，∠ABD=30∘，求得∠ABC=75∘，∠ACB=15∘，在AC上取一点H，连接BH，使BH=CH，则∠HBC=∠ACB=15∘，求得∠AHB=30∘，则BH=CH=2AB=2，所以AH= BH2−AB2= 3，即可求得AC=CH+AH=2+ 3.
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、类比与转化数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．分数(分)
40≤x<60
60≤x<80
80≤x<100
甲学校
2人
12人
6人
乙学校
3人
10人
7人
学校
平均分
中位数
众数
甲学校
68
60
60
乙学校
71.5
70
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