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广西壮族自治区贵港市平南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）
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这是一份广西壮族自治区贵港市平南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，满分120分）
注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确）
1．在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，5，7C．5，7，9D．6，8，10
3．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（ ）
A．12B．6C．4D．3
5．正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）．
A．6B．10C．8D．12
6．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（ ）
A．3B．4C．D．5
8．如图，平分，于点E，，F是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
9．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形
10．如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
11．如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（ ）米，却踩伤了花草．
A．1B．1.5C．2D．3
12．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ．
14．如图，在中，，，，则的长为 ．
15．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m．
16．菱形的两条对角线相交于点，已知cm，cm，则菱形的面积为 ．
17．如图所示，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是 ．
18．如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或预算少骤）
19．计算：
20．如图，已知，垂足C是的中点，．求证：．
21．（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：和点，．
求作：点，使点到的两边距离相等，且到，两点的距离也相等．
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
（温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑）
22．如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．
(1)求AC的长．
(2)求图中阴影部分图形的面积．
23．如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．
(1)求证：；
(2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
24．如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
25．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
26．综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是 ；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为 ，线段的数量关系是 ．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．
1．C
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【详解】∵在中，，，
∴．
故选：C．
2．D
【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】解：A、，则不能构成直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，则不能构成直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，则不能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、，则能构成直角三角形，故D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
4．B
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CDAB12＝6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键．
5．D
【分析】结合题意，根据正多边形的外角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵正多边形的一个外角的度数为30°
又∵正多边形的外角和为：
∴正多边形的边数为：
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形外角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
6．D
【分析】关键平行四边形的性质解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
7．C
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，运用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴，
故选：C．
8．A
【分析】过D点作于H，根据角平分线的性质得，再利用垂线段最短得到，然后对各个选项进行判断即可.
【详解】过D点作于H，
平分，，，
∴，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形．
【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
10．A
【分析】先由勾股定理求出，由中位线定理得到，，再由角平分线和平行线的性质得到，则，即可得到的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查了中位线定理、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键．
11．C
【分析】此题考查勾股定理的应用，解题关键是理解题意，利用勾股定理求出斜边后还需要继续求出多走的部分．
根据勾股定理求出斜边的长，然后求出两直角边和与斜边的差即可．
【详解】解：如图所示，
在中，已知，，
，
所以他们仅仅少走了．
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．连接，根据矩形的性质，得到，利用三角形的面积，运用垂线段最短计算即可．
【详解】连接，
∵菱形的对角线相交于点O，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，最小，故最小，
∵菱形，，且，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
13．8
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为8．
14．5
【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可．
【详解】解：在中，，，，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查含的直角三角形的性质，熟记相关结论是解题关键．
15．12
【分析】以梯子的长度为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12．
【点睛】本题考查了勾股定理，明确梯长的长度是直角三角形的斜边是解题的关键．
16．
【分析】画出图形，先利用菱形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用菱形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
四边形是菱形，
，
cm，cm，
，
，
则菱形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
17．24
【分析】利用勾股定理，进行计算即可解答．
【详解】解：由勾股定理可得：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
正方形的边长的平方，
正方形的面积，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及中位线定理，连接，根据题意可得，由即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵M、N分别是的中点
∴
∵E是上的动点，
∴
∵
∴
∴
∴长的最大值是：．
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里边的．由此即可得答案．
【详解】解：原式
．
20．见解析
【分析】利用证明即可解决问题．
【详解】证明：∵，
∴，
∵C是中点，
∴，
在和中，
，
∴（）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
21．（1）这个多边形的边数是8；（2）见解析
【分析】本题考查了多边形内角与角的关系，角平分线与线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用多边形内角和公式与外角和为建立方程求解即可；
（2）先作出的平分线，然后作出线段的垂直平分线，两线相交于点P，即可求解．
【详解】解：（1）解：设这个多边形是边形，由题意得
解得
答：这个多边形的边数是8．
（2）解：如图，点即为所求．
22．(1)AC＝5
(2)24
【分析】（1）由勾股定理直接计算即可；
（2）先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再计算面积即可．
【详解】（1）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
由勾股定理，得：AC＝＝＝5；
∴AC的长为5．
（2）∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴图中阴影部分图形的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点并能够正确区分它们的应用是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：在和中，
，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)25
【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即的值为25．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
26．(1)正方形；；．
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（）由正方形的性质及折叠的性质可得出答案；
（）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：操作一：∵四边形是矩形，
∴，
将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
操作二：由折叠得，，
∴，
设相交于点，如图，
由折叠可知，，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：，理由如下：
如图，将顺时针旋转得到，
由旋转的性质可得，，，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
即三点在同一直线上，
由（1）中结论可得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
根据旋转的性质可得，，
由()中的结论可证，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
（考试时间：120分钟，满分120分）
注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确）
1．在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，5，7C．5，7，9D．6，8，10
3．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（ ）
A．12B．6C．4D．3
5．正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）．
A．6B．10C．8D．12
6．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（ ）
A．3B．4C．D．5
8．如图，平分，于点E，，F是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
9．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形
10．如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
11．如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（ ）米，却踩伤了花草．
A．1B．1.5C．2D．3
12．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ．
14．如图，在中，，，，则的长为 ．
15．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m．
16．菱形的两条对角线相交于点，已知cm，cm，则菱形的面积为 ．
17．如图所示，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是 ．
18．如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或预算少骤）
19．计算：
20．如图，已知，垂足C是的中点，．求证：．
21．（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：和点，．
求作：点，使点到的两边距离相等，且到，两点的距离也相等．
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
（温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑）
22．如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．
(1)求AC的长．
(2)求图中阴影部分图形的面积．
23．如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．
(1)求证：；
(2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
24．如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
25．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
26．综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是 ；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为 ，线段的数量关系是 ．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．
1．C
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【详解】∵在中，，，
∴．
故选：C．
2．D
【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】解：A、，则不能构成直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，则不能构成直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，则不能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、，则能构成直角三角形，故D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
4．B
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CDAB12＝6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键．
5．D
【分析】结合题意，根据正多边形的外角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵正多边形的一个外角的度数为30°
又∵正多边形的外角和为：
∴正多边形的边数为：
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形外角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
6．D
【分析】关键平行四边形的性质解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
7．C
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，运用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴，
故选：C．
8．A
【分析】过D点作于H，根据角平分线的性质得，再利用垂线段最短得到，然后对各个选项进行判断即可.
【详解】过D点作于H，
平分，，，
∴，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形．
【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
10．A
【分析】先由勾股定理求出，由中位线定理得到，，再由角平分线和平行线的性质得到，则，即可得到的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查了中位线定理、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键．
11．C
【分析】此题考查勾股定理的应用，解题关键是理解题意，利用勾股定理求出斜边后还需要继续求出多走的部分．
根据勾股定理求出斜边的长，然后求出两直角边和与斜边的差即可．
【详解】解：如图所示，
在中，已知，，
，
所以他们仅仅少走了．
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．连接，根据矩形的性质，得到，利用三角形的面积，运用垂线段最短计算即可．
【详解】连接，
∵菱形的对角线相交于点O，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，最小，故最小，
∵菱形，，且，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
13．8
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为8．
14．5
【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可．
【详解】解：在中，，，，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查含的直角三角形的性质，熟记相关结论是解题关键．
15．12
【分析】以梯子的长度为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12．
【点睛】本题考查了勾股定理，明确梯长的长度是直角三角形的斜边是解题的关键．
16．
【分析】画出图形，先利用菱形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用菱形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
四边形是菱形，
，
cm，cm，
，
，
则菱形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
17．24
【分析】利用勾股定理，进行计算即可解答．
【详解】解：由勾股定理可得：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
正方形的边长的平方，
正方形的面积，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及中位线定理，连接，根据题意可得，由即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵M、N分别是的中点
∴
∵E是上的动点，
∴
∵
∴
∴
∴长的最大值是：．
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里边的．由此即可得答案．
【详解】解：原式
．
20．见解析
【分析】利用证明即可解决问题．
【详解】证明：∵，
∴，
∵C是中点，
∴，
在和中，
，
∴（）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
21．（1）这个多边形的边数是8；（2）见解析
【分析】本题考查了多边形内角与角的关系，角平分线与线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用多边形内角和公式与外角和为建立方程求解即可；
（2）先作出的平分线，然后作出线段的垂直平分线，两线相交于点P，即可求解．
【详解】解：（1）解：设这个多边形是边形，由题意得
解得
答：这个多边形的边数是8．
（2）解：如图，点即为所求．
22．(1)AC＝5
(2)24
【分析】（1）由勾股定理直接计算即可；
（2）先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再计算面积即可．
【详解】（1）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
由勾股定理，得：AC＝＝＝5；
∴AC的长为5．
（2）∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴图中阴影部分图形的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点并能够正确区分它们的应用是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：在和中，
，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)25
【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即的值为25．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
26．(1)正方形；；．
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（）由正方形的性质及折叠的性质可得出答案；
（）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：操作一：∵四边形是矩形，
∴，
将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
操作二：由折叠得，，
∴，
设相交于点，如图，
由折叠可知，，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：，理由如下：
如图，将顺时针旋转得到，
由旋转的性质可得，，，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
即三点在同一直线上，
由（1）中结论可得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
根据旋转的性质可得，，
由()中的结论可证，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
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