黑龙江省大庆市第六十九中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省大庆市第六十九中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在实数、、0、、、、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．下列3个数能成为勾股数的是（ ）
A．6，8，9B．1，，C．7，15，17D．5，12，13
4．若，这两个不同点在关于的一次函数图象上，且随增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若点和点关于轴对称，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线（m为常数，且）．当m变化时，下列结论正确的有（ ）
①当时，图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小；③直线必过定点；④坐标原点到直线的最大距离是
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
二、填空题（每题3分，共24分）
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．已知是关于的一次函数，则 ．
13．的算术平方根为 ．
14．如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ．
15．若点在第一、三象限角平分线上，则 ；
16．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则这个三角形第三边的长为 ．
17．如图，在等腰直角△ABC中．，，∠BAC的平分线交BC于点D，点E为AB边的中点，点F和G分别是AD和AE上动点，则的最小值是
18．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．

三、解答题（共66分）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．已知y-3与4x-2成正比例，且当x=1时，y=5.
（1）求y与x的函数关系式;
（2）求当x=-2时的函数值.
21．已知点．
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)若点在第一象限，轴，且，求点Q的坐标．
22．（1）已知，一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数；
（2）已知a是的小数部分，b是的整数部分，求的值．
23．如图，将矩形沿折叠，使点恰好落在边的中点上，点落在处，交于点．若．
(1)求线段的长；
(2)求线段的长．
24．已知一次函数的图象经过点，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，求的值．
25．如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．

(1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离；
(2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
26．如图，，．
(1)求的长度；
(2)作，并求的面积．
27．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
28．如图，直线AB的表达式为，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为，点C在线段上，交y轴于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若，求点C的坐标．
(3)若与的面积相等，在直线上有点P，满足与的面积相等，求点P坐标．
1．B
【分析】本题考查了无理数的识别，算术平方根，立方根，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，，
在实数、、0、、、、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数有、、（相邻两个1之间的0依次增加1个），共3个，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查平面内点到坐标轴的距离，根据平面内点到轴距离等于纵坐标绝对值，到轴距离等于横坐标绝对值求解即可得到答案；
【详解】解：∵点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且点在第三象限，
∴，，
∴这个点的坐标是：，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得．
【详解】解：A：，，，故6、8、9不是勾股数，不符合题意；
B：与不是整数，故1、、不是勾股数，不符合题意；
C：，，，故7、15、17不是勾股数，不符合题意；
D：，，，故5、12、13是勾股数，符合题意；
故选D．
4．C
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质可得，解之即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数中，随增大而减小，
∴，
解得，
故选：．
5．D
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】点A（a−2，3）和点B（−1，b＋5）关于x轴对称，
得a−2＝-1，b＋5＝-3．
解得a＝1，b＝−8．
则点C（a，b）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出a−2＝-1，b＋5＝-3是解题关键．
6．A
【分析】本题考查一次函数的图像，分和两种情况分类讨论进行解题即可.
【详解】当时，一次函数图象经过一、三、四象限，
当时，一次函数图象经过一、二、四象限，
故选A.
7．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据有一个内角是直角的三角形是直角三角形、勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键．根据三角形内角和等于度求出三角形内角的度数，即可判定A、C；根据勾股定理的逆定理判定B、D，即可得出答案．
【详解】解：A、，则，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，可得，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，则，，
∴，
∴，
∴则不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，设，则，，则，即，
根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
和异号，
∵，
∴，，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高分别为,
∴
即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是，
故选：C．
10．B
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：当时，，
此时一次函数，经过一、三、四象限，故①正确；
对于直线（m为常数，且）来说，当时，即时，y随x的增大而增大；故②错误；
当时，，
∴直线必过定点；故③正确；
设原点到直线的距离为d，
∵由③知直线必过定点，
设点，
∴，
∴坐标原点到直线的最大距离是．故④正确．
∴正确的有：①③④，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
11．
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
12．
【分析】本题考查的是一次函数的定义，熟记定义是解本题的关键，由定义可得，，从而可得答案．
【详解】解：函数是关于x的一次函数，
则，，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
14．48
【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵正方形的边长分别为4和8，
∴
∵是直角三角形，
∴
∴正方形的面积．
故答案为：48．
15．4
【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等，即可解答．
【详解】解：点在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等，
，
解得．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
16．4或##或4
【分析】根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意5可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论．
【详解】解：当3，5是两条直角边时，
第三边；
当3是直角边，5是斜边时，
第三边．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用分类讨论的数学思想求解．
17．
【分析】如图，作点G关于AD的对称点，可得点在AC上，FG＝，当点E、F、三点共线且时，取最小值，作⊥AC，则为的最小值，然后根据等腰三角形的判定和性质结合直角三角形斜边中线的性质得出答案．
【详解】解：如图，作点G关于AD的对称点，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴点在AC上，
∴FG＝，
∴，
∴当点E、F、三点共线且时，取最小值，
如图，作⊥AC，则为的最小值，
∵△ABC是等腰直角三角形，点E为AB边的中点，
∴CE⊥AB，∠CAE＝45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵⊥AC，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，直角三角形斜边中线的性质，根据轴对称的性质得出点E、F、三点共线且时，取最小值是解题的关键．
18．或或
【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可．
【详解】解：当时，，
∴点A的坐标为，
当时，，解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，
以和为腰，为底，则，
∴，
∴P的坐标为；
以和为腰，为底，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
∴，
∴P的坐标为，
以和为腰，为底，点O是的中点，
∴，
∴P的坐标为，

综上所述，P的坐标为或或．
【点睛】利用全等与勾股定理求点的坐标和线段长度，然后分类讨论即可．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，实数的运算．
（1）先算算术平方根，再算加减即可；
（2）先算算术平方根，零指数幂，绝对值，再算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
20．（1）y=4x+1（2）-7
【分析】（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当x=1时，y=5代入求出k的值；
（2）把x=-2代入（1）中的解析式进行计算即可．
【详解】（1）设y-3=k（4x-2）（k≠0），
把x=1，y=5代入，得
5-3=k（4×1-2），
解得k=1，
则y与x之间的函数关系式是y=4x+1；
（2）由（1）知，y=4x+1．
当x=-2时，y=4×（-2）+1=-7．
即当x=-2时的函数值是-7．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的特征，两点之间的距离．熟练掌握平面直角坐标系中点坐标的特征，两点之间的距离是解题的关键．
（1）由点P在x轴上，可得，可求，则，进而可得点P的坐标；
（2）由轴，且点Q的横坐标是3，可得，可求，则，点P的坐标为，由，可知，，由点Q在第一象限，可确定点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵点P在x轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为．
（2）解：∵轴，且点Q的横坐标是3，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为．
∵，
∴，，
又∵点Q在第一象限，
∴点Q的坐标为．
22．（1），36；（2）
【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，熟练掌握含义列出方程是解题的关键．
（1）根据一个正数的平方根互为相反数列方程求解即可；
（2）根据无理数的估算列出关于a、b的方程求值，再计算即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
解得，
，，
这个正数为；
（2），
，
的整数部分为2，
的小数部分为，
a是的小数部分，
，
，
，
的整数部分为4，
是的整数部分，
，
．
23．(1)5
(2)3
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质．
（1）设，则，在中，，得，解出即可；
（2）连接，设，则，在中，，在中，，则，解出即可．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∵点为边的中点，
∴
在中，，
∴，
解得，
∴；
（2）连接，设，
在矩形中，，
∴，，
∴，
依据折叠的性质可知，，，
∵点为边的中点，
∴
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
24．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的几何变换，熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将代入，即可求出的值．
【详解】（1）解：设一次函数表达式为，
∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）一次函数的图象平移后的解析式为，
将点代入，得，
解得．
25．(1)爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形，爆破点处到公路的距离为720米；
(2)公路有危险而需要封锁，420米．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得米；
（2）根据720米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】（1）解： 在中，米，米，米，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
如图，过C作于D．
∵，
∴
（米）．
答：爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形；爆破点处到公路的距离为720米；
（2）解：公路有危险而需要封锁．
理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交于点E，F，连接，，

由于720米米，故有危险，
因此段公路需要封锁．
∴米，
∴
（米），
故米，
则需要封锁的路段长度为420米．
26．(1)14
(2)图见解析，84
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积的计算．
（1）在中，直接用勾股定理求解即可；
（2）过点作于点，分别在中，在中用勾股定理表达出，建立等式，求出，进而求出的面积．
【详解】（1）解：在中，
∴；
（2）如图，过点作于点，
∴，
设，则
在中，，
由勾股定理可得，，
在中，，
由勾股定理可得，，
∴
解得，，
∴
∴（舍去负的值）
∴．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先将每一项分母有理化，然后合并即可；
（3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）
故答案为：
（2）解：原式=
；
（3），
，
，即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
28．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）分别令，令，即可求解；
（2）过点C作于点F，根据，可得，从而得到点C的横坐标为2，即可求解；
（3）设点C的坐标为，根据与的面积相等，可得，从而得到点C的坐标为，再求出直线的解析式，然后根据与的面积相等，分点P在射线上和点P在射线上两种情况进行求解即可
【详解】（1）解：令，则，
令，则，
解得：，
∴点；
（2）解：如图，过点C作于点F，
∵，
∴，
∵点D坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴点F的坐标为，
即点C的横坐标为2，
当时，，
∴点C的坐标为；
（3）解：设点C的坐标为，
∵与的面积相等，
∴，即，
∴，
即，
解得：，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当点P在射线上时，
如图，连接，

∵与的面积相等，
∴点O和点到距离相等，此时，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴点的坐标为．
当点P在射线上时，设点的坐标为，
∵点D的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，
∵，与的面积相等，
∴，
即，
解得，
此时，
∴点的坐标为，
综上可知，点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、求一次函数图象交点坐标、等腰三角形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论是解题的关键．