2024年中考第三次模拟考试题：数学（成都卷）（解析版）

这是一份2024年中考第三次模拟考试题：数学（成都卷）（解析版），共24页。试卷主要包含了如图，在中，点，点在对角线上，分解因式，已知点，在反比例函数的图象上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．表示（ ）
A．的倒数B．的相反数C．7的倒数D．7的相反数
【答案】A
【分析】本题考查了倒数，相反数，根据倒数的定义即可得到答案
【详解】解：∵，∴表示的倒数，故选：A
2．据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量，其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：8050亿；故选C．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式计算并判定A；根据积的乘方计算并判定B；根据积的乘方和单项式乘以单项式法则、同底数幂相乘法则、负整指数幂运算法则计算并判定C；根据用平方差公式计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式，单项式乘以单项式法则，积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘、负整指数幂的运算法则．熟练掌握幂的运算法则，完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
4．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图，如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数为（ ）
A．6小时B．7小时C．8小时D．9小时
【答案】B
【分析】本题考查求众数，根据出现次数最多的是众数结合频数分布直方图直接求解即可得到答案．
【详解】解：由图像得，7出现的次数是次最多，故选：B．
5．如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加下列选项中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定定理；根据平行四边形的性质可得，，则，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，
A.添加条件，不能根据证明，故该选项不正确，不符合题意；
B.已知，不能证明，故该选项不正确，不符合题意；
C.添加条件，则，即，根据证明，故该选项正确，符合题意；
D.添加条件，不能证明，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C．
6．在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余米，问木头长多少米？若设木头长为x米，绳子长为y米，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，故选A．
7．全国重点文物保护单位羑里城位于安阳市汤阴县城北八华里美、汤两河之间的空旷原野上，是《周易》 的发源地．3000年前殷纣王关押周文王姬昌7年之处，是文王据伏羲八卦推演出64卦384爻，即 “文王拘而演《周易》”之圣地，也是有史可据、有址可考的中国历史上第一座监狱．古都安阳为弘扬中原文化，特在某街心公园建造一八卦迷宫阵，其外形是正八边形，如图．若正八边形相对的两边和之间的距离是8米，则所建八卦迷宫阵的正八边形的边长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及平行线分线段成比例、解直角三角形等知识，正确的做出辅助线是解题关键．
延长，交于点M，运用平行线分线段成比例得比例式即可解得．
【详解】解：延长，交于点M，
由题可知：，，
，
，，
即，，，，
，，，解得，故答案为：C．
8．已知二次函数经过点，下列结论正确的是（ ）
A．当时，随的增大而增大B．二次函数图象与轴交于点
C．D．当或时，
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象与性质逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，故A错误；
当时，，∴二次函数图象与轴交于点，故B错误；
∵抛物线过点，∴，即，∴，故C错误；
∵抛物线经过点，对称轴为直线，∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵抛物线的开口向下，∴当或时，函数图象位于x轴下方，即，故D正确；故选：D．
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式因式分解，即得答案．
【详解】．故答案为：．
10．已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：反比例函数，∵，∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，，，∴或，
∴满足条件的m的值可以为4，故答案为：4（答案不唯一）．
11．点与点关于轴对称，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题是关键是熟练掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：依题意得：，，故答案为：1
12．如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且，，以点O为位似中心，在第一象限内将放大，使相似比为，则点B的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．作于E，利用三角函数求出点B的坐标为：，根据相似比为即可求解．
【详解】解：作于E，则，
∵，，∴，
∴，∴点B的坐标为：，
∵以点O为位似中心，在第一象限内将放大，使相似比为，
点B的对应点的坐标为：，即，故答案为：．
13．如图，．分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧−两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】由作图步骤可得为等边三角形，，然后得到，根据勾股定理列式，并代入数据计算即可；
【详解】解：由分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，
得：，为等边三角形，，
由以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，
得：，，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形以及等边三角形的性质与判定、解直角三角形等知识点，尺规作图的准确理解是解题关键．
三、解答题 （本大题共5小题，共48分.其中：14题12分，15-16题每题8分，17-18题每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（1）计算：；（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解不等式组的方法是解题的关键．（1）依次利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零指数幂进行化简，再相加减即可；（2）分别解每一个不等式，求出解集公共部分即可．
【详解】解：（1）
（4分）
；（6分）
（2）
解①得：；（8分）
解②得：，（10分）
故不等式组的解集为：．（12分）
15．某中学开展专家讲座，帮助学生合理规划周末使用手机的时间，并在讲座前后对本校学生周末手机使用时间情况进行随机抽样调查，制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
(1)在讲座开展前抽取的学生中周末使用时长在哪个区间的人数最多？占抽取人数的百分之几？
(2)该校共有学生1500人，请估计讲座开展后全校周末使用手机8小时以上的学生人数；
(3)小军认为，活动开展后的样本中周末使用手机6小时以上的人数与讲座前相比变化不大，所以讲座并没有起到效果．请结合统计图表，对小军分析数据的方法及讲座宣传活动的效果谈谈你的看法．
【答案】(1)小时，(2)60人(3)见解析
【分析】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．（1）观察统计图即可得出周末使用手机时长的区间，然后用频数除以总数即可；（2）用1500乘以抽样中周末使用手机8小时以上的占比即可求解；（3）据样本容量的差异性即可判定小军分析是否合理，通过计算宣传活动前后“使用手机时长6小时”的百分比即可比较得出结论．
【详解】（1）解∶ 在开展前周末手机使用时长为小时的同学最多．
（人） ，
在讲座开展前抽取的学生中周末使用时长在小时区间的人数最多，占抽取人数的；（2分）
（2）解∶ （人）
（人）
由样本估计总体，全校讲座开展后周末使用手机8小时以上大约有60人；（5分）
（3）解∶因为忽略了两次样本容量的差异，所以小军分析的方法不合理，
样本中周末使用手机时长6小时以上的人数由下降为，所以此次讲座宣传活动是有效果的．（8分）
16．某次台风来袭时，一棵大树（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得，大树被折断部分和地面所成的角，米．
(1)求大树的根部到折断后的树干的距离；
(2)求这棵大树原来的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
【答案】(1)米(2)10米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）过A点作于点E，用三角函数和勾股定理解求出即可；
（2）通过角度计算证明是等腰直角三角形，推出，，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：如图，过A点作于点E，
∵，即，（1分）
在中，，∴，（2分）
∴，∴，
即大树的根部到折断后的树干的距离为米；（3分）
（2）解：∵，∴，（4分）
∵，，∴，（5分）
∴，
又∵，∴，（6分）
∴是等腰直角三角形，∴，∴，（7分）
∴，
∴这棵大树原来的高度约为10米．（8分）
17．已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．
(1)如图①，若，求的大小和的长；
(2)如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识，
（1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解；（2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：连接．切于点，，即．（1分）

是的直径，，．（2分）
．．（3分）
．．．（4分）
在中，．（5分）
（2）解：连接．，，是等边三角形．（6分）
．同（1）可得， ，．（7分）
，．即，
又是的直径，．（8分）
是等边三角形，，．（9分）
在中，．．（10分）
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，对角线，相交于点D，将正方形绕点O逆时针旋转α（）得正方形，点的对应点分别是，函数的图象记为图象G．
(1)当，时，点恰好在图象G上，求k的值；
(2)当点同时在图象G上时，点横坐标为4，求k的值；
(3)点P为x轴上一动点，当时，图象G过点D，且的值最小时，，求k的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由旋转得：，，过点过点作于K，可得，再运用待定系数法即可求得k的值；（2）过点作于K，过点作轴于G，交于E，作轴于F，过点作轴于H，设，， ，先证明，可得：，，表示，再求得，根据点，同时在图象G上，可得，由，可得，，即可求得答案； （3）设设正方形的边长为b，则，，，），作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，过点作轴于K，过点B′作轴于F，作轴交于E，则四边形是矩形，，，，，可得，可求得，即可求得答案．
【详解】（1）∵当，时，正方形绕点O逆时针旋转α（）得正方形，
∴，，过点作于K，如图，（1分）

∴，，∴，
将代入，得，∴；（2分）
（2）如图，过点作于K，过点作轴于G，交于E，作轴于F，过点作轴于H，设，则， ，
∵四边形是正方形，∴，，
由旋转得，，，D′是正方形的中心，（3分）
∴，，∵，∴，
∴，∴，
∴，，∴，
∵，∴四边形是矩形，∴，，（4分）
∵点B′横坐标为4，∴，∴，∵， ∴，
∴，，∴，
∵点同时在图象G上， ∴，∴，
∴，∴，解得：或，（5分）
当时， 不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；∴k的值为；（6分）
（3）设正方形的边长为b，则，，，，
当时，，设，，
∵，∴，∴，∴，（7分）
作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时，的值最小，
如图，过点A′作轴于K，过点B′作轴于F，作轴交于E，
则四边形是矩形，，，，
由（2）知：，∴，，（8分）
∴，，∴，
∵，∴，∵，∴，（9分）
∴ ，即，解得：，
∵正方形的对角线相交于点D，∴，
把代入，得，∴．（10分）
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．已知a、b为一元二次方程的两个不等实数根，则的值是 ．
【答案】1
【分析】先将分式化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解．
【详解】解：，
∵a、b为一元二次方程的两个不等实数根，∴，
∴原式，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程，两根之和为，两根之积为．
20．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：

可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到）．
【答案】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键．根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可．
【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318，相交的概率为0.318；
，，，解得：，故答案为：0.318；3.14
21．如图，已知正的边长为，把正绕着它的中心O旋转，当旋转至正的位置，其中，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的旋转不变性，易知图中的6个小直角三角形都全等，则图中阴影部分的面积为圆的面积减去一个正三角形的面积，再减去3个小直角三角形的面积即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：根据圆的旋转不变性，易知图中的6个小直角三角形都全等，则图中阴影部分的面积为圆的面积减去一个正三角形的面积，再减去3个小直角三角形的面积．
如图1，连接、、，延长交于点P，
则、、 分别平分等边三角形的顶角，且，
，为等边三角形，，，
∴，∴，
设、交于点Q，连接，延长交于点N，则，
∵，∴四边形为矩形，∴，∴，
∵，，，∴，∴．
如图2，在中，过点Q作，交于点M，，，，
设，则，∴，解得：，则，
在中，，则，，
，，，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆与多边形，等边三角形的性质，旋转的性质．解直角三角形，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22．如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、点（A、点在第一象限），点在反比例函数上（点在第二象限），过点作轴的垂线交的图象于点，过点作轴的垂线交的图象于点，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则 ，四边形的面积为 ．
【答案】 12
【分析】设，，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，可得，求得，再证得，可得，求得，再利用三角函数定义和三角形、梯形面积公式即可求得答案．
【详解】设，，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，如图，
，两点关于原点中心对称，．轴，且点在反比例函数上，．
点A是的中点，点的坐标为．
点在反比例函数图象上，，整理，得：①，
，．，，即，②，
联立①②，得，解得：，，，，
，，，，，．
，四边形是矩形，．
，．，，
，，，即，，
；；
故答案为：，12．
【点睛】本题为反比例函数与几何的综合．考查关于原点成中心对称的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，二元一次方程组的应用，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，求角的正切值等知识，综合性强，为压轴题．正确的作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．
23．如图，在中，，．是上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接．当取得最小值时，值为 ．

【答案】
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，作于，于，令，则，，设，通过证明，得到，
，即可得到点，，从而得到点，表示出，即可得到当时，最小，最后分别求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，作于，于，

由旋转的性质可得：，，在中，，，
，令，则，，
，
，，，，
在和中，，，，
设，则，
，点，，
是的中点，，，
当，即时，最小，，，
，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、平面直角坐标系的坐标的特征、二次函数的最值，熟练掌握三角形全等的判定与性质、旋转的性质、平面直角坐标系的坐标的特征、二次函数的最值，添加适当的辅助线，是解题的关键．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.其中：24题题8分，25题题10分，26题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．某车床加工车间计划加工A，B两种零件共100个，全部加工完后，A零件共需费用900元，B零件共需费用400元，A零件比B零件每个多需费用5元．(1)求加工A，B两种零件每个各需费用多少元？(2)为降低加工费用，车间要求加工完这批零件的总费用不超过1260元，且加工A种零件的个数不少于加工B种零件的个数，若设加工完这批零件的总费用为w元，加工A种零件m个，请写出w与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，w的值最小，最小值是多少元？
【答案】(1)加工A种零件每个需费用元，则加工B种零件每个需费用元；
(2)，当时，w有最小值，最小值为1250元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设加工A种零件每个需费用元，根据“加工A，B两种零件共100个”列分式方程，解方程即可求解；
（2）设加工完这批零件的总费用为w元，加工A种零件m个，依题意得到w与m之间的函数关系式，由“总费用不超过1260元，且加工A种零件的个数不少于加工B种零件的个数”列得不等式组，得到m的取值范围，再利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设加工A种零件每个需费用元，则加工B种零件每个需费用元，
依题意得，解得或，经检验，或，都是原方程的解，（3分）
当时，，当时，（此情况不符合题意，舍去），
答：加工A种零件每个需费用元，则加工B种零件每个需费用元；（4分）
（2）解：设加工完这批零件的总费用为w元，加工A种零件m个，则加工B种零件个，
依题意得，∵，解得，（7分）
∵，∴当时，w有最小值，最小值为1250元．（8分）
25．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)连接、，点为抛物线上第三象限内一动点，且，求点坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于、两点（、不与、重合），直线、分别交轴于点、点，若、两点的纵坐标分别为，，试探究，与之间的数量关系．
【答案】(1)点，点，点(2)点(3)
【分析】（1）分别，令，代入中即可求解；（2）由（1）点，点，点，得出，得到，进而得到；作点关于轴的对称点，连接，得到，推出，求出直线的表达式为：，联立方程组：，即可求解；（3）设点，，则的解析式为：，，同理，得到，然后联立：，得，，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，解得：，，
点，点，令，则，点，
点，点，点；（3分）
（2）由（1）得点，点，点，，，，
，，，，（4分）
，，如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，，，，
，设直线的表达式为：，
将代入得：，直线的表达式为：，（5分）
联立方程组：，解得：或，点在第三象限内，点；（6分）
（3）点、在抛物线上，设点，，
点，的解析式为：，，（7分）
同理，，联立：，（8分）
整理得：，，，（9分）
，
，与之间的数量关系为：．（10分）
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要涉及二次函数的图像与性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点；综合运用上述知识、数形结合是解题的关键．
26．用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一（1）如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则______，=______．
操作探究二（2）如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移（3）在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长度为或．
【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到；（3）当时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，，，
在和中，，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，，
，，故答案为：，；（2分）
（2），理由如下：四边形是菱形，，，，
在和中，，，，，（3分）
，，，，（4分）
，，
如图2，作交于，则，，（5分）

在中，，，，
，；（6分）
（3）当时，点和点重合，
如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点，设，（7分）
，，为等腰直角三角形，，
四边形是菱形，，，，，，（8分）
由菱形的对称性及可得，
在中，，，，（9分）
，，，；（10分）
如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，
设，同①可得：，，（11分）
，，，
综上所述，的长度为或．（12分）
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
开展活动前学生周末手机使用时间
人数
小时
5
小时
8
小时
15
小时
12
8小时以上
10
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率