2024年中考第三次模拟考试题：数学（苏州卷）（解析版）

这是一份2024年中考第三次模拟考试题：数学（苏州卷）（解析版），共32页。试卷主要包含了下列运算正确的是，分解因式等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的概念解题．
【详解】解；的相反数是，
故选：B．
2．年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选：．
3．下面是王丽同学画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，直接根据平行线的判定定理即可得出答案．
【详解】解：
（内错角相等，两直线平行）
故选D．
4．《九章算术》中“堑堵”的立体图形如图所示，它的左视图为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可．
【详解】解：它的左视图为
故选D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点逐项判断即可．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项符合题意．
故选D．
6．2023年11月1日，中国邮政发行《科技创新（四）》纪念邮票一套5枚，将我国取得的5项重大科技成果的创新点和要素浓缩在小小的方寸之间某中学开展“科技节”活动，要从如图所示的5个主题中随机选择两个进行宣讲，则选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．画树状图展示所有20种等可能结果数，再找出恰好选到“A”和“D”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：5个主题分别用A、B、C、D、E表示，
画树状图如下：
共20种等可能的结果数，其中恰好选到“A”和“D”有2种，
∴选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率为．
故选：B．
7．如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A．6.4B．C．D．
【答案】C
【分析】先分析，得证，得出，再结合圆周角定理，得出点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
即，
∴，
即点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内，
如图：
当E在线段上时，则此时取最小值，
，
则，
∴长度的最小值为，
故选：C
8．如图，已知，正方形边长为1，以为直径在正方形内部作半圆，点P是边的中点，与半圆交于点Q，连接．下列结论错误的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】A、正确.连接， 易证四边形是平行四边形，从而可得结合 ，可证到，从而证到，则有；
B、正确.连接，根据勾股定理可求出，易证，运用相似三角形的性质可求出，从而求出的值，就可得到的值；
C、正确过点作 于， 易证，运用相似三角形的性质可求出，从而可求出的值；
D、错误.过点作于， 易得 ，根据平行线分线段成比例可得，把代入，即可求出，然后在中运用三角函数的定义，就可求出的值.
【详解】连接， 如图.
∵正方形的边长为，以为直径作半圆， 点是中点，

∴，
∴四边形是平行四边形，
∴.
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
故正确；
连接， 如图.
∵正方形的边长为， 点是中点，
，
，
∵为直径，
，
，
，
，
即 ，
，
则 ，
故正确；
过点作 于， 如图.

，
即，
，
，
故正确；
过点作于， 如图.
，
，
，
解得：，
，
，
故错误.
故选D
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．若a是方程的根，则代数式的值是 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值，合理的变形得到是解题的关键；根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵a是方程的根，
，
当时，不成立，
，
，即，
∴，
故答案为：2023．
10．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
11．方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．等号两边同时乘以，将分式方程转化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案．
【详解】解：，
等号两边同时乘以，可得，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
∴方程的解为．
故答案为：．
12．已知一粒米的质量约是，将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
13．小王家今年月份的用电量情况如图所示，则月到月之间月用电量的增长率为 ．
【答案】
【分析】由图表得到月、月的用电量，根据增长率公式，即可求解，
本题考查了，折线统计图，解题的关键是：从折现统计图中提取信息．
【详解】解：由图可知，月用电量为100，月用电量为110，
则用电量的增长率为：，
故答案为：．
14．已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的一次函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题以结论开放的形式考查一次函数的图象与性质，引导学生发散思维，积极思考，培养学生的创新意识和创新能力.
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，
y随x的增大而减小，
，
令，则，
解得，
一次函数的解析式为．
故答案为：．
15．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，点落在上，点落在上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，设与的交点为，连接、、，过点作于点，由可得，再证，是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出，，代入计算即可．
【详解】如图，设与的交点为，连接、、，过点作于点，
扇形绕点逆时针旋转得到扇形，
，扇形中空白部分的面积，
．
，
是等腰三角形，
，
，为弧的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
16．如图，在中，，，是上一点，，交于点，是直线上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转至线段，连结．当点，，共线时， ．
【答案】或
【分析】点在线段上，过点作于点，过点作，，易得四边形为矩形，，证明，得到，设，则：，设，得到，证明，列出比例式，求出，进而求出，即可得出结果，当点在线段上，同法求出结果即可．
【详解】解：①当点在线段上时：
过点作于点，过点作，，则：四边形为矩形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，则：，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转至线段，
∴，
∴，
∵点，，共线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在线段上时，如图：
设，则：，，设，则：，
同法可得：，，
∴；
综上：或；
故答案为：或．
三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简算术平方根、负整数指数幂，正弦值，再算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
18．（4分）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组．解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到即可确定一元一次不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
20．（8分）如图，，点P在的内部，且满足．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键；
（1）直接利用证明两个三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：在和中，

；
（2），
，
∴点P在等腰顶角的角平分线上，
．
21．（8分）如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．
(1)从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是 _______．
(2)在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法求概率：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵骰子是一个正方体，六个面上的数字一次是1，2，3，4，5，6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到C点时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是：．
故答案为：．
（2）两次掷骰子的结果如下表所示：
从上表得：总共有36种可能的结果，
要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12，
由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4，8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为：．
22．（8分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动.“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校名学生中随机抽取名学生，并对名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求被调查的名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整．
(2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为本及以上的学生有多少名．
(3)在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因．
【答案】(1)本，见解析
(2)名
(3)见解析
【分析】本题考查数据的整理与分析，解题的关键是掌握扇形统计图，样本估计总体以及样本的选择，即可．
（1）根据扇形统计图和条形统计图得，类书籍占总体书籍的，即可求出总体书籍；并补全条形统计图；
（2）根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可；
（3）根据抽样调查选择样本，即可．
【详解】（1）借阅图书的总数量为：（本）；
∴类书籍的借阅量为：（本），
类书籍的借阅量为：（本），
类书籍的借阅量为：（本），
补全统计图如下：
答：被调查的名学生在本次活动中借阅图书的总数量为本．
（2）（名）
答：估计该校图书借阅数量为本及以上的学生有名．
（3）小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．（写出一条，言之有理即可）
23．（8分）作为永远冲锋在前、向险而行的“最美逆行者”，可敬可爱的消防员奋战在民众最需要的地方，以勇敢、强大、迎难而上的决心和行动，在应对灾害事故中保障人民群众生命财产安全起到了重要作用．如图所示是消防员攀爬消防专用梯的场景，已知，，，，，在点处测得点的仰角为，求楼的高度．（结果保留整数．参考数据：，，）
【答案】11米
【分析】延长交于点F，结合，，，得到矩形，利用正弦函数计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
【详解】延长交于点F，
∵，，，
∴矩形，
∴，
∵，，
∴
∴．
答：楼的高度约为11米．
24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象交于点，其中，点A在x轴的正半轴上，点的坐标为，过点C作轴于点H．

(1)已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
(2)若点P是线段上的一点，满足，连接，过点作轴于点，记的面积为，设
①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
②当T取最小值时，求m的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设直线的解析式为，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①过点B作，根据等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，得到，设，易得，解，求出的长，进而求出，的长，解，求出的长，即可得解；②利用二次函数的性质，求出点坐标，即可得解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，代入，得：
，
∴，
∴．
（2）①过点B作，则：，，

∵轴，轴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴当时，取得最小值，
∴，
∴，
∴．
25．（8分）如图，是的直径，点C为上一点，连接，过点O作的垂线交于点F，交于点与交于点是的切线，交延长线于D，连接，CE．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为10
【分析】（1）根据是的切线，是的直径，得出，证出，再结合，即可证明；
（2）证明，得出，在中，根据，得出，再运用勾股定理列方程即可求出，即可求解；
【详解】（1）解：证明：是的切线，是的直径，
，
又，
，
又，
；
（2），
垂直平分，
，
，
又，
，
，
又为的直径，
，
在中，，
，
，
，
或（舍），
，
，
，
的半径为10．
26．（8分）在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”
(1)点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）；
(2)直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；
(3)的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据新定义结合直径所对的圆周角是直角得到当或者点O与点P或者点A重合时，点P是点O关于点A的“联络点”，据此利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行求解判断即可；
（2）先求出，则，解直角三角形得到，；根据定义得到，解直角三角形得到，则；设直线与y轴交于点G，先证明，再证明，得到，则，可得，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案；
（3）根据等腰得到或点M与点P重合，再由为等腰三角形，得到，；当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q，证明，得到，设，则，进而得到，则点P在直线上；设直线与y轴交于点S，则，依题意可知，P在上，则直线与要有交点，如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接，证明是等腰直角三角形，得到，由切线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得，则；同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为，故当时，直线与有交点，即此时符合题意；再同理求出M在x轴下方时t的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：根据新定义可知，当点O在以为直径的圆上时，满足点P是点O关于点A的“联络点”，
∴或者点O与点P或者点A重合；
∵点A的坐标为，点，
∴，，
，
∴，
∴，
∴是O关于点A的“联络点”；
同理可得是O关于点A的“联络点”；
∵，，
，
∴，
∴，
∴不是O关于点A的“联络点”；
故答案为：，；
（2）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵点P是点C关于点D的“联络点”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，设直线与y轴交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵点P是M关于N的“联络点”，
∴或点M与点P重合，
∵为等腰三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图所示，当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴点P在直线上，
设直线与y轴交于点S，则，
依题意可知，P在上，
∴直线与要有交点，
如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由切线的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为，
∴当时，直线与有交点，即此时符合题意；
如图所示，当点M在x轴下方时，同理可得当时，符合题意；
综上所述，或．
27．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于点C，连接，且．

(1)如图1，求a的值；
(2)如图2，点Q是第四象限内抛物线上的一点，过点Q作轴于D，连接，点E在上，过E点作轴于F，点H在上，纵坐标为，连接，若，点Q的横坐标为t，的长为d，求d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交抛物线于点G，连接延长至点M，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，点P为抛物线顶点，连接并延长交y轴于点K，连接并延长分别交、的延长线于点R、T，连接，若，求点K的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，当时，得到， ，在中，由三角函数得到，代入，即可求解，
（2）设，表示出，，代入，结合 ，即可求解，
（3）将化为标准式和顶点式，得到，，在中，表示出，代入，求出，进而得到，，，轴，作，，设，则，，，由，，解出，得到，，由，得到，结合，得到等腰直角，依次求出，，，，即可求解，
本题考查了求二次函数解析式，三角函数，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是：根据已知条件，列出等量关系式．
【详解】（1）解：当时，，
∵，
∴，解得：，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，代入中，解得：，
故答案为：，
（2）解：由（1）得，
设，则：，，
∴，（），
∴，
∴，
∴，即：，
故答案为：，
（3）解：，
∴，
∴，
在中，，
∵
∴，
∵，∴，解得：，
∴，，，
∴轴，
过点作于点，过点作于点，

设，则，，，
∵，
∴，
∴，即：，整理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：． 第2次
第1次
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
调查主题
××中学学生借阅图书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项各类图书借阅量统计
说明：A表示科普类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
第二项学生个人借阅量统计
图书借阅量/本
…
人数/名
…
调查结论
……