2024年中考第三次模拟考试题：数学（河北卷）（解析版）

这是一份2024年中考第三次模拟考试题：数学（河北卷）（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有理数−3的相反数是（ ）
A．−3B．3C．−13D．13
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义进行判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：有理数−3的相反数是3，
故选：B．
2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形，
故选：C．
3．下列各式计算结果为a6的是（ ）
A．a2⋅a3B．a24C．a3+a3D．a8÷a2
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
依次根据定义化简每一项即可．
【详解】解：A、a2⋅a3=a5，故本选项不符合题意；
B、a24=a8，故本选项不符合题意；
C、a3+a3=2a3，故本选项不符合题意；
D、a8÷a2=a6，故本选项符合题意．
故选：D．
4．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
5．要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意；
C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意；
D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意．
故选：C．
6．下列算式中，与有理数 −223相等的是（ ）
A．−2×23B．−2×23
C．−2+23D．−2−23
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，加减运算．根据有理数的乘法，加减运算逐项判断即可求解．
【详解】解：A、−2×23=−43≠−223，故本选项不符合题意；
B、−2×23=−42≠−223，故本选项不符合题意；
C、−2+23=−43≠−223，故本选项不符合题意；
D、−2−23=−223，故本选项符合题意；
故选：D
7．不等式组−4x−8>−x+13x≤x+52的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别解两个不等式，在数轴上表示不等式的解集，即可求解．
【详解】解：−4x−8>−x+1①3x≤x+52②
解不等式①得：x0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
14．如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为0,2，现将正方形ABCD绕点C 按逆时针方向旋转150°，点B动到了⊙O上点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2024次后，点C2024的坐标为（ ）
A．0,2B．(−1−3,−1−3)C．0,−2D．(2+3,−1)
【答案】C
【分析】本题考查图形与旋转，根据题意找到规律，12次为一个循环，则C2024的坐标与C8相同，求出C8的坐标即可解决本题．
【详解】解：如图，由图可知，每12次一个循环，
∵2024÷12=168⋯8，
∴点C2024的坐标与C8相同，
由图和题意，可知：C80,−2；
∴点C2024的坐标为0,−2；
故选C．
15．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A．16B．14C．38D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有6种，
∴小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率=616=38，
故选：C．
16．如图，在△ABC中，以A、B为圆心，AC、BC长为半径分别作弧交于点C'，连接BC'、AC'，在C'B上截取点M，以点C'为圆心，C'M长为半径作弧交C'C于点N，以大于12MN的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点C'与这点连线的直线交BC于点P，交AB于I．若BC=25，CC'=4，则BP的长为（ ）
A．1395B．105−2C．55+3D．10
【答案】B
【分析】通过作图痕迹推导出△BCC'，△ACC'为等腰三角形，C'P为角平分线；通过三角形全等，证明BO⊥CC'，结合角平分线的性质，可得△CKI≅△C'OI；在△BKI中用勾股定理，计算出BI；再由CH∥BO，推出△BIP∼△CHP，得出BP和CP的比，最后结合BC的长度得出BP的长度．
【详解】延长BA交CC'于点O，作CH∥BO交C'P的延长线于点H，
由题意可知，BC'=BC=25，AC'=AC，C'P是∠BC'C的角平分线，
在△BAC'和△BAC中BC'=BCAC'=ACBA=BA
∴ △BAC'≅△BAC
∴ ∠C'BO=∠CBO，
在△BC'O和△BCO中BC'=BC∠C'BO=∠CBOBO=BO
∴ △BC'O≅△BCO
∴ ∠BOC'=∠BOC，C'O=CO=12CC'=2，
又∵ ∠BOC'+∠BOC=180∘，
∴ ∠BOC'=∠BOC=90∘，
在Rt△BOC'中，BC'=25，C'O=2，
∴ BO=BC'2−C'O2=(25)2−22=4，
∵ C'P平分∠BC'C，过点I作IK⊥BC'交BC'于K，
∴ IK=IO
在Rt△C'KI和Rt△C'OI中IK=IOC'I=C'I
∴ Rt△C'KI≅Rt△C'OI
∴ C'K=C'O=2
∴ BK=25−2
设IO为x，则IK=x，BI=4−x，
在Rt△BKI中，BI2=BK2+KI2，
即(4−x)2=(25−2)2+x2
可得x=5−1，
即BI=4−(5−1)=5−5，
∵ HC∥IO，
∴ ∠C'IO=∠H，∠C'OI=∠C'CH，∠OBC=∠BCH，∠BIP=∠H，
∴ △C'IO∼△C'HC，△BIP∼△CHP，
又∵ C'O=2，C'C=4，
∴ IOCH=C'OCC'=24=12，
∴ CH=2IO=25−2
又∵ △BIP∼△CHP，
∴ BICH=BPCP=5−525−2=52，
不妨设BP=5a，CP=2a，BC=25，
∴ 5a+2a=25，
∴ a=255+2=25(5−2)(5+2)(5−2)=10−45，
∴ BP=5a=5(10−45)=10(5−2)．
故选：B．
【点睛】本题考查段已知线段及角平分线的作图，角平分线的性质，全等三角形的证明，勾股定理的应用，相似三角形的证明与应用，合理作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．若27与最简二次根式5a−1可以合并，则a= ．
【答案】4
【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键．
【详解】解：由27=33，
∵27与最简二次根式5a−1可以合并，
∴a−1=3，解得：a=4，
故答案为：4．
18．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示）
【答案】 图① 109a
【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可，
(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；
【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为2a
∴小三角形的高=(2a)2−a2=3a
∴S正六边形=6S小三角形=6×12×3a×2a=63a2 ，
图①由10个正六边形构成
S=10×63a2=603a2 ，
图②由10个正六边形和4个正三角形构成
S=10S正六边形+4S小三角形=10×63a2+4×3a2=643a2
∵603a2＜643a2
∴图①更节省空间
故答案为：①
（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图
以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB=3×23a=63a
在Rt△AOB中，AB=a，OB=63a
OA=AB2+OB2=a2+108a2=109a
纸盒底面最小半径是109a
故答案为：109a
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图．
19．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y=kxk≠0，x>0的图象交于点C，D，过点C，D分别作y轴、x轴的垂线，垂足分别为E，F．

（1）若图中阴影部分的面积等于3，则k= ；
（2）若CD=5AC，且EF=1，则AB= ．
【答案】 6 7
【分析】（1）连接OC．由图可知S△CEO=S△CEF=3，再根据反比例函数k的几何意义即可解答；
（2）由（1）可知该反比例函数解析式为y=6xx>0，设Cp，6p，Dq，6q，则E0，6p，Fq，0．利用待定系数法求直线CD的解析式为y=−6pqx+6q−6p，直线EF的解析式为y=−6pqx+6p，则EF∥CD．即可证四边形DBFE和四边形ACEF都为平行四边形．连接OD，过点F作FG⊥AB于点G．由反比例函数k的几何意义可求出S△DFO=3，从而可求出S▱DBFE=2S△DEF=6．又可求出S△ACF=S△CEF=3，结合CD=5AC，且△ACF和△CDF等高，可求出S△CDF=5S△ACF=15，进而可求出S梯形ABEF=S▱DBFE+S△CDF+S△ACF=24．根据三角形面积公式可求出FG=6，最后根据梯形面积公式即可求出AB的长．
【详解】解：（1）如图，连接OC．

由图可知△CEO与△CEF同底等高，
∴S△CEO=S△CEF=3．
∵点C在反比例函数y=kxk≠0，x>0上，且CE⊥y轴，
∴S△CEO=k2，即k2=3，
解得：k=±6．
∵该反比例函数位于第一象限，
∴k=6．
故答案为：6；
（2）由（1）可知该反比例函数解析式为y=6xx>0，
∴可设Cp，6p，Dq，6q，
∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，
∴E0，6p，Fq，0．
设直线CD的解析式为y=ax+b，
则6p=pa+b6q=pa+b，解得：a=−6pqb=6q−6p，
∴直线CD的解析式为y=−6pqx+6q−6p．
设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
则6p=b'0=qa'+b'，解得：a=−6pqb'=6p，
∴直线EF的解析式为y=−6pqx+6p，
∴EF∥CD．
∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，
∴DF∥BE，CE∥AF，
∴四边形DBFE和四边形ACEF都为平行四边形．
如图，连接OD，过点F作FG⊥AB于点G．

∵点D在反比例函数y=6xx>0上，且DF⊥x轴，
∴S△DFO=62=3．
∵△DFO与△DEF同底等高，
∴S△DFO=S△DEF=3，
∴S▱DBFE=2S△DEF=6．
∵S△CEF=3，
∴S△ACF=S△CEF=3．
∵CD=5AC，且△ACF和△CDF等高，都为FG的长，
∴S△CDF=5S△ACF=15，
∴S梯形ABEF=S▱DBFE+S△CDF+S△ACF=6+15+3=24．
∵S△CEF=12EF⋅FG，EF=1，
∴12×1×FG=3，
解得：FG=6．
∵S梯形ABEF=12EF+ABFG，
∴121+AB×6=24，
解得：AB=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用，等积法的应用，三角形和梯形的面积公式等知识，较难．正确作出辅助线，并掌握反比例函数k的几何意义是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示：
(1)总进价是________元．
(2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元．
(3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【答案】(1)960(2)34；13(3)225元
【分析】（1）用件数乘以单件进价计算即可；
（2）用标准价减去6即可得出最低售价，算出最高售价再减去进价即可；
（3）算出总售价减去总进价计算即可；
【详解】（1）解：30×32=960，
∴总进价是960元．
故答案为：960；
（2）解：①最低售价是：40−6=34（元）；
②最高利润为：40+5−32=13（元）；
故答案是：34；13；
（3）解：根据题意可得：
4×40+5+9×40+2+3×40+1+5×40−2+4×40−4+5×40−6−960=225（元）．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的实际应用，准确计算是解题的关键．
21．【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第n个三角形数是______；图2中，第n个正方形数是______；（请用含n的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：1+3=4，6+10=16，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【答案】（1）nn+12，n2；（2）见解析
【分析】
本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键．
（1）根据题意得出第n个三角形数为nn+12，第n个正方形数为n2，据此可得答案；
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第(k+1)个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案．
【详解】（1）由题意知第n个三角形数为1+2+3+⋯+n=nn+12，
第n个正方形数为n2；
故答案为：nn+12，n2．
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第(k+1)个数，
则kk+12+k+1k+22
=k+12k+(k+2)
=k+122k+2
=k+12，
所以任意第k个数和第(k+1)个三角形数之和恰等于第(k+1)个正方形数；
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
22．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a