2024年中考第三次模拟考试题：数学（无锡卷）（解析版)

这是一份2024年中考第三次模拟考试题：数学（无锡卷）（解析版)，共30页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．2024是个非常特殊的数，下面四个含有“2024”数中,最小的数是（ ）
A．12024B．2024C．−2024D． −12024
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．
【详解】解：−2024<−12024<12024<2024
所以最小的是−2024；
故选C．
2．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．，分解不彻底，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进而在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①，移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去括号得，
移项，合并同类项得，
故不等式组的解集为：．
∴在数轴上表示为： ．
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的运算，乘法公式，合并同类项，先根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”判断A，再根据单项式乘以单项式计算判断B，然后根据平方差公式计算判断C，最后根据“合并同类项法则”计算判断D．
【详解】因为，所以A不正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D不正确．
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．函数，y随x增大而增大
B．直线经过第一、二、三象限
C．函数，y随x增大而减小
D．函数的图象向右平移2个单位后，函数解析式为
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质分析判断A，B，再根据反比例函数的性质判断C，最后根据二次函数的平移规律判断D即可．
【详解】因为函数中，，可知函数值y随着x的增大而减小，所以A不符合题意；
因为直线中，，，可知直线经过第一、三、四象限，所以B不符合题意；
因为函数中，，可知图象位于第一象限，函数值y随着x的增大而减小，所以C符合题意；
因为函数的图象向右平移2个单位长度后，函数解析式为，所以D不符合题意．
故选：C．
6．若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：
解得，
设，
，
，
有最大值，最大值为，
代数式的值可以是1，
故选：A．
7．如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小（ ）
A．随着旋转角度的增大而增大
B．随着旋转角度的增大而减小
C．不变，都是
D．不变，都是
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的综合运用．连接，，，，依据正方形的性质，即可得到，进而得出，根据全等三角形的的性质，可得．同理可得，，根据，可知在正方形旋转过程中，的大小不变，是．
【详解】解：如图所示，连接，，，，

正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，
，
，
又，
，
，
又，
，
．
同理可得，，
．
在正方形旋转过程中，的大小不变，是．
故选：D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根；
B．不等式的最大整数解是2；
C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形；
D．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为5．
【答案】D
【分析】此题考查真假命题，根据一元二次方程的判别式、解不等式、菱形的判定理、直角三角形外接圆的直径逐一判断．
【详解】解：A、方程，，无实数根，原说法错误；
B、不等式的解集为，最大整数解是1，原说法错误；
C、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形，原说法错误；
D、直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为5，原说法正确；
故选：D．
9．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（ ）
A．B．C．15D．
【答案】A
【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，并结合勾股定理，得出关于AB为未知数的一元二次方程，最后可解得的长．
【详解】
解：如图，设内切圆的圆心为O、为内切圆的半径，
则四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴①，
∵小正方形内切圆半径为，
∴小正方形的边长为7，
∴小正方形的面积为49，
∴，
∴
即②，
把①代入②中得
，
∴，
∴(负值舍去)，
∴大正方形内切圆半径为．
故选：A．
10．如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解．
【详解】解：如图所示：
当点与点重合时，点在点处，此时，
当点与点重合时，点在点处，此时，
为的中位线，
，且，
点为的中点，
为的中位线，
，，
点在上运动，当时，的值最小，
在中，，，，
，，
，，
，
为的角平分线，
，
，
，即，
的最小值为，
，
，
，，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂及算术平方根计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：1．
12．无锡市2023年经济总量再创新高，综合实力持续增强，初步核算，全年实现地区生产总值15456.19亿元，则将数据 15456.19亿元用科学记数法可表示为 元．
【答案】1.545619×1012
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：15456.19亿元=1545619000000元=1.545619×1012元
故答案为：1.545619×1012．
13．分式方程的解 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∴，
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
14．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为，设，由求出的值，进而确定，即可解答．
【详解】解：过点A作，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为，设，

，
∵，，
解得，
∴，
则，
∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2．
故答案为：．
15．已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ．
【答案】1或2
【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
由一次函数的图像不过第三象限，得，分类讨论，当时，方程为一元一次方程，有1个根；当时，方程为一元二次方程，根据判断即可．
【详解】解：∵一次函数的图像不过第三象限，
∴，
当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个；
当时，，由于，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
综上，方程根的个数为1或2．
故答案为：1或2．
16．四边形为矩形，以为边作等边三角形，连接，若，，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和勾股定理，根据矩形的性质，等边三角形的性质分当在矩形外面时和当在矩形内部时两种情况讨论即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，当在矩形外面时，过作，交的延长线于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
如图，当在矩形内部时，过作，交的延长线于点，
同理∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：或．
17．在锐角中，，，在内有一点P，当的和最小时，的面积为 ．
【答案】
【分析】将绕点B逆时针旋转得到，证出，要的和最小时，即点、、P、C在一条直线上，即最小值为，过点作，交的延长线于点F，求出，，连接，即可求解．
【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
要使的和最小时，即点、、P、C在一条直线上，即最小值为，
过点作，交的延长线于点F，
在中，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
当，即时，最小，
此时，，，
连接，∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．将线段沿射线方向平移t ()个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图象恰好经过C，D两点，正比例函数与反比例函数交于C，E两点，连接，若刚好经过点B，且的面积为6，则t为 ．
【答案】或
【分析】根据题意，得 ，解得，，继而得到，；结合直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．继而得到点，根据平移性质，得到向右平移个单位长度，向上平移个单位长度的平移变换，且，确定变换后，结合反比例函数的性质，确定，继而得到，过点C作轴于点F，过点D作轴于点N，交直线于点M，利用分割法表示三角形的面积，解方程求得，计算即可，本题考查了方程组的解法，平移，矩形的判定和性质，熟练掌握平移的思想，分割法计算面积是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
解得，，
∴，；
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴点，
∵将线段沿射线方向平移t ()个单位长度，得到对应线段，
∴根据平移性质，得到向右平移个单位长度，向上平移个单位长度的平移变换，且，
∴，
∵反比例函数的图象恰好经过C，D两点，
∴，
解得，
∴，，
过点C作轴于点F，过点D作轴于点N，交直线于点M，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
，
，
∵的面积为6，
∴，
整理，得
解得，
故或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数混合运算，整式运算；
（1）先由特殊角的三角形函数值、零次幂进行运算，化简二次根式，再进行计算，即可求解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解；
掌握，()，，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（8分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．
【答案】（1），；（2）．
【分析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法和求不等式公共解集的方法．
（1）用因式方程法求解即可；
（2）求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可．
【详解】解：（1），
或，
∴，；
（2），
解不等式①得：；
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
21．（8分）如图，在中，对角线、相交于点，、分别是、的中点．
求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
（1）根据平行四边形的性质得出，进而利用三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
、分别是、的中点，
，
在与中，
，
；
（2）证明：，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
22．（8分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．
(1)小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；
(2)小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵共有张卡片，
∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是，
故答案为：．
（2）解：根据题意，画树状图如图，
由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有种，
∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为
23．（8分）某校文学社为了解学生课外阅读情况，对本校七年级的学生进行了课外阅读知识水平检测．为了解情况，从七年级学生中随机抽取部分女生和男生的测试成绩，将这些学生的成绩x（单位：分，）分为5组：
A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．
并提供了这5个组的如下4条信息：
①不完整的扇形统计图和条形图
②女生成绩在的数据为：70，72，72，72；
③男生成绩在的数据为：72，68，62，68，70；
④抽取的男生和女生测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
请根据以上信息解答下列问题：
(1) ， ．
(2)从七年级一共抽取了多少名学生？
(3)在抽取的学生中，你认为男生测试成绩好还是女生测试成绩好？ 并说明理由．
【答案】(1)71，72
(2)从七年级一共抽取了20名学生
(3)女生测试成绩比男生好，理由见解析
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
（1）用C组的人数除以所占百分比可得总人数，再根据中位数和众数的求法求出a，b即可；
（2）用C组的人数除以所占百分比可得总人数
（3）从中位数、众数的意义进行判断即可．
【详解】（1）解：本次调查人数为：（名），
B组的人数为：（人），B组中的女生有：（名），
调查人数中：女生有（人），男生有人，
抽查人数中，成绩处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是71，即，
在10名女生成绩中，出现次数最多的是72，因此众数是72，即，
故答案为：71，72，
（2）解：本次调查人数为：（名）
（3）解：女生，理由为：女生成绩的中位数、众数均比男生的高，
故答案为：女生，女生成绩的中位数、众数均比男生的高．
24．（10分）如图，在中，的角平分线交边于点D．
(1)以边上一点O为圆心，过A，D两点作（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)若（1）中的与边的另一个交点为E，，求弧的弧长（结果保留根号和π）
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)，详见解析．
【分析】本题主要考查了复杂作图、切线的判定、勾股定理的应用以及弧长的计算，
（1）作出的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作圆即可；
（2）利用等腰三角形的性质和角的平分线的性质求得，进而求出，从而得出为的切线；
（3）设的半径为r，则，在中，根据勾股定理求得r的值，进而根据已知求得，然后根据弧长公式求得即可；
利用角平分线的性质得出是解题关键．
【详解】（1）如图所求，作出的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作圆；
（2）直线与相切．
理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
即，
∴为的切线．
（3）设的半径为r，则，
在中，，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴弧的弧长．
25．（10分）如图，是的外接圆，点O在边上，为的切线，且，的延长线交于点P．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及，证明垂直平分，推出，由圆周角定理即可证明结论；
（2）先证明，根据勾股定理得出，进而求得，再证明，根据相似三角形的性质即可得出，代入可求出答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接，

是的切线，是的直径，
∴，
，
，
，
∴，
点是的中点，
∴垂直平分，
,
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
26．（10分）某校羽毛球社团的同学们用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离米，米，米，击球点P在y轴上．他们用仪器收集了扣球和吊球时，羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的部分数据，并分别在直角坐标系中描出了对应的点，如下图所示．
同学们认为，可以从中选择适当的函数模型，近似的模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系．
(1)请从上述函数模型中，选择适当的模型分别模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系，并求出函数表达式；
(2)请判断上面两种击球方式都能使球过网吗？如果能过，选择哪种击球方式使球的落地点到C点的距离更近；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)扣球的函数解析式为；吊球的函数解析式为
(2)两种击球方式都能使球过网；选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用：
（1）由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似，据此利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出两个函数当时的函数值，然后与比较即可得到结论；由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似，
把代入中得：，
∴，
∴扣球的函数解析式为；
把代入中得：，
∴，
∴吊球的函数解析式为；
（2）解：在中，当时，，
在中，当时，，
∵，
∴两种击球方式都能使球过网；
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
27．（12分）问题提出
（1）如图①，在中，点M，N分别是，的中点，若，则的长为 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形中，，点E为上的靠近点A的三等分点，点F为上的动点，将折叠，点A的对应点G，求的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点C处为参观入口，的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由点M，N分别是，的中点，可得是的中位线，根据中位线定理求解即可；
（2）由题意可得点G在以点E为圆心，长为半径的上运动，则，当点C，E，G三点共线，取得最小值，根据勾股定理在中求出的长，即可解答；
（3）延长至点F，使得，连接，可得，则当最小时，最小．由，可得点E在以点A为圆心，以的长为半径的圆上，连接，设与的交点为点，则的最小值为的长，过点F作，交的延长线于点G，得到四边形为平行四边形，则，，，过点F作交延长线于点H，通过解直角三角形可得到的长，进而可解答．
【详解】（1）∵点M，N分别是，的中点，
∴；
故答案为：；
（2）∵在正方形中，，点E为上的靠近点A的三等分点，
∴，，
由折叠得：
∴点G在以点E为圆心，长为半径的上运动，如图，
∴，
∴当点C，E，G三点共线，取得最小值．
∵在中，，
∴
∴的最小值为；
（3）如图，延长至点F，使得，连接，
∵点P为的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∴当最小时，最小，
由，可得点E在以点A为圆心，以的长为半径的圆上，连接，
设与的交点为点，则的最小值为的长，
过点F作，交的延长线于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴．
过点F作交延长线于点H，
∵
∴，
∴，
∴在中，，
，
∴，
∴在中，，
∴，
即的最小值为，
∴此时
∴点C与点P之间的最小距离为．
28．（14分）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
(1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；
(2)已知：整数m，n，t满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数”，求m的值．
(3)若一次函数和反比例函数在自变量x的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
【答案】(1)或，见解析
(2)2
(3)或
【分析】（1）判断与是否有交点，计算即可；
（2）根据定义，，得到，结合，构造不等式组解答即可．
（3）根据定义，得“共享函数”为
结合，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．
本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．
【详解】（1）与存在“共享函数”，理由如下：
根据题意，得，
解得，，
故函数同时经过或，
故与存在“共享函数”．
（2）∵一次函数与反比例函数存在“共享函数”，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵m是整数，
∴．
（3）根据定义，得一次函数和反比例函数 的“共享函数”为，
∵．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
当时，即时，
∵，
∴时，函数取得最小值，且为，又函数有最小值3，
∴，
解得（舍去）；
故，
∴“共享函数”为；
当时，即时，
∵，
∴时，函数取得最小值，且为，又函数有最小值3，
∴，
解得（舍去）；
故，
∴“共享函数”为；
当时，即时，
∴时，函数取得最小值，且为，又函数有最小值3，
∴， 方程无解，
综上所述，一次函数和反比例函数 的“共享函数”为或．平均数
中位数
众数
男生测试成绩
76
a
68
女生测试成绩
76
72
b