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2024成都石室中学高三下学期5月高考适应性考试（一）文科数学试题含解析
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（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，；当时，.选D
复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上，
∴，即.故选：D
已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，如果 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误；
对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，但是 ，正确，
对于C，因为等价于 ，是充分必要条件，错误；
对于D，如果 ，则必有 ，是充分不必要条件,故错误.
故选：B.
《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【详解】据条件可得符号为“”表示的二进制数为，
则其表示的十进制数是.
故选：B.
函数的大致图象是（ ）
A B C D
【答案】B
【详解】∵，所以，故排除C，D，
当时，恒成立，排除A，故选：B．
在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设函数，可得，所以为递增函数，且，
所以，当时，；当时，，
所以不等式的解集为，
因为，所以不等式的解集为，
由长度比的几何概型的概率计算，可得使恒成立的概率是.
故选：A.
设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知的倾斜角为，从而
变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，
三个交点坐标分别为，目标函数，
即，当目标函数过时取得最大值为5，过时取得最小值为，
所以目标函数的取值范围是，
故选：B.
我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的
底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
B．52车 C．54车 D．56车
【答案】B
【详解】由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积，中截面积，下底面积，所以该建筑材料的体积为(立方米)，所以建筑材料重约（吨），
需要的卡车次为，所以至少需要运52车.
故选：B
设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】在中，由及正弦定理得
又为锐角三角形，，则
菱形中，现将菱形沿对角线折起，当时，此时三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不妨设菱形的边长为，为中点，分别为正的中心，过分别作面和面的垂线交于点.等腰中，，且，则
，即（舍）
中，由余弦定理得，则在直角中，，
，故外接球的表面积为
在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，整理得，
即在圆心，半径为1的半圆上. ，
当且仅当时，等号成立，
所以曲线的一条切线为，
数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，
即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即的最小值为.
过圆心与垂直的直线方程，
所以，当且仅当即时取到最小值.
综上所述，，
故答案为：.
第Ⅱ卷（共90分）
填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
函数的定义域为 ．
【答案】
函数的图象关于直线对称，则________
【答案】
【详解】的且为对称轴
的中心为，，解得
已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则
【答案】2
【详解】
又中，由余弦定理得，
即 ，又
已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则
【答案】
【详解】因为，令，则在上单减，
且，由零点存在定理知，存在唯一的使得，即 = 1 \* GB3 ①，所以在上单增，上单减
由，而 = 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②知
所以
从而
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17、（12分）在四棱锥中，，，，
（1）设的中点为,求与所成角的余弦值；
（2）求三棱锥的体积。
【详解】（1）设的中点为，连接和，
是异面直线与所成角或其补角。
在中， ，
在中，，
在中，
与所成角的余弦值为 ……………………….5分
（2）在四棱锥中，
，又
在中，过点作，垂足为， ，
，, ，,
是的中点。四边形是平行四边形，， ，为等边三角形。
三棱锥的体积为
《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益。我校拟
选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法。现已从全校选拔出甲乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手答对问题，则自己得1分，该选手继续作答，若答错，则对方得1分，换另外选手作答，比赛结束时分数多的一方获胜，甲乙能确定胜负时比赛就结束，
或5个问题回答完比赛也结束，已知甲、乙答对每个问题的概率都是。竞赛前抽签，甲获得第一问题的答题权。
(1)求“前三个问题回答结束后乙获胜”的概率；
(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率。
【详解】（1）解：设“甲回答问题且得分”为事件A，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题且得分”为事件B，“乙回答问题但对方得分”为事件
设“前三个问题回答结束后乙获胜” 为事件,这三个问题回答的情况有8种：；;；
；；；；，事件只包含了一种情况，即，
“前三个问题回答结束后乙获胜”的概率为……………………………….6分
（2）记甲同学连续回答了三次问题且获胜为，
则．………………………….12分
甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为………………………….12分
已知数列满足 当时，
（1）求和，并证明当为偶数时是等比数列；
（2）求
【详解】（1），。……………………. 2分
，，
当为偶数时，是以2为首项，以2为公比的等比数列……………………. 5分
（2）由（1）知，，
设，则 为偶数时，
当为奇数时，
设为奇数时，
……. 12分
已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,。
(1)求抛物线的方程；
（2）过点作两条倾斜角互补的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，连接，是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由；
【详解】（1）设切点，，以点M为切点的切线方程为
∵切线过点 ∴
同理， ∴，
∴，∵
∴ ∴抛物线方程为 ……………………….6分
（2）设方程为，联立和抛物线方程，得
设，，， ∴，同理，
……………………….7分
∴ ……………………….8分
∴ ……………………….11分
等于定值0 ……………………….12分
设
（1）当，求函数的零点个数。
（2）函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围。
【详解】（1）当，，
当时，，，，在上无零点。
当时，，在上单增。
，，，
，，在上有一个零点。
当时，在上无零点。
综上所述， 在上只有一个零点。 ……………………….5分
（2）时，，
，设
当，在递增，在上递减，，，
，，
当时，在递减，在递增，在递减，
只需，
，与 矛盾，舍去；
当时，在上递减，只需，，矛盾，舍去；不满足条件。
当，在上递减，在上递增，在上递减。
，，只需，
，
又，
满足条件。 综上所述，….12分
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的渐近线方程为，，直线过点
，且倾斜角为。以点为极点，以从点出发与x轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点在曲线上。
（1）写出曲线在第二象限的参数方程和直线的极坐标方程；
（2）曲线与直线相交于点，线段的中点为，求的面积。
【详解】（1）设曲线的方程为，点的直角坐标为，将点坐标带入方程， 曲线的普通方程为
在第二象限的参数方程为 （参数方程答案不唯一）
设直线上任意一点的极坐标为，连接，在 中，，由正弦定理
直线极方程为 ……………………….5分
（2）设直线的参数方程为，（为参数），联立的参数方程和的普通方程，得，设对应的参数为，，
在中， ……………………….10分
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设，
（1）解不等式：
（2）设的最大值为，已知正数和满足，令，求的最小值。
【详解】（1）是偶函数，只需分析时的值域。
当，， ，舍去
当，，
当， ，
不等式的解集为 ……………………….5分
（2）由（1）可知，当，的值域为，当，的值域为
当，的值域为 时，的值域为
的最大值为2，
①当且仅当时等号成立
又
②当且仅当时等号成立
= 1 \* GB3 ①+ ②得的最小值为4，当且仅当时等号成立
……………………….10分
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，；当时，.选D
复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上，
∴，即.故选：D
已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，如果 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误；
对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，但是 ，正确，
对于C，因为等价于 ，是充分必要条件，错误；
对于D，如果 ，则必有 ，是充分不必要条件,故错误.
故选：B.
《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【详解】据条件可得符号为“”表示的二进制数为，
则其表示的十进制数是.
故选：B.
函数的大致图象是（ ）
A B C D
【答案】B
【详解】∵，所以，故排除C，D，
当时，恒成立，排除A，故选：B．
在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设函数，可得，所以为递增函数，且，
所以，当时，；当时，，
所以不等式的解集为，
因为，所以不等式的解集为，
由长度比的几何概型的概率计算，可得使恒成立的概率是.
故选：A.
设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知的倾斜角为，从而
变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，
三个交点坐标分别为，目标函数，
即，当目标函数过时取得最大值为5，过时取得最小值为，
所以目标函数的取值范围是，
故选：B.
我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的
底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
B．52车 C．54车 D．56车
【答案】B
【详解】由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积，中截面积，下底面积，所以该建筑材料的体积为(立方米)，所以建筑材料重约（吨），
需要的卡车次为，所以至少需要运52车.
故选：B
设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】在中，由及正弦定理得
又为锐角三角形，，则
菱形中，现将菱形沿对角线折起，当时，此时三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不妨设菱形的边长为，为中点，分别为正的中心，过分别作面和面的垂线交于点.等腰中，，且，则
，即（舍）
中，由余弦定理得，则在直角中，，
，故外接球的表面积为
在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，整理得，
即在圆心，半径为1的半圆上. ，
当且仅当时，等号成立，
所以曲线的一条切线为，
数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，
即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即的最小值为.
过圆心与垂直的直线方程，
所以，当且仅当即时取到最小值.
综上所述，，
故答案为：.
第Ⅱ卷（共90分）
填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
函数的定义域为 ．
【答案】
函数的图象关于直线对称，则________
【答案】
【详解】的且为对称轴
的中心为，，解得
已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则
【答案】2
【详解】
又中，由余弦定理得，
即 ，又
已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则
【答案】
【详解】因为，令，则在上单减，
且，由零点存在定理知，存在唯一的使得，即 = 1 \* GB3 ①，所以在上单增，上单减
由，而 = 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②知
所以
从而
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17、（12分）在四棱锥中，，，，
（1）设的中点为,求与所成角的余弦值；
（2）求三棱锥的体积。
【详解】（1）设的中点为，连接和，
是异面直线与所成角或其补角。
在中， ，
在中，，
在中，
与所成角的余弦值为 ……………………….5分
（2）在四棱锥中，
，又
在中，过点作，垂足为， ，
，, ，,
是的中点。四边形是平行四边形，， ，为等边三角形。
三棱锥的体积为
《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益。我校拟
选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法。现已从全校选拔出甲乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手答对问题，则自己得1分，该选手继续作答，若答错，则对方得1分，换另外选手作答，比赛结束时分数多的一方获胜，甲乙能确定胜负时比赛就结束，
或5个问题回答完比赛也结束，已知甲、乙答对每个问题的概率都是。竞赛前抽签，甲获得第一问题的答题权。
(1)求“前三个问题回答结束后乙获胜”的概率；
(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率。
【详解】（1）解：设“甲回答问题且得分”为事件A，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题且得分”为事件B，“乙回答问题但对方得分”为事件
设“前三个问题回答结束后乙获胜” 为事件,这三个问题回答的情况有8种：；;；
；；；；，事件只包含了一种情况，即，
“前三个问题回答结束后乙获胜”的概率为……………………………….6分
（2）记甲同学连续回答了三次问题且获胜为，
则．………………………….12分
甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为………………………….12分
已知数列满足 当时，
（1）求和，并证明当为偶数时是等比数列；
（2）求
【详解】（1），。……………………. 2分
，，
当为偶数时，是以2为首项，以2为公比的等比数列……………………. 5分
（2）由（1）知，，
设，则 为偶数时，
当为奇数时，
设为奇数时，
……. 12分
已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,。
(1)求抛物线的方程；
（2）过点作两条倾斜角互补的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，连接，是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由；
【详解】（1）设切点，，以点M为切点的切线方程为
∵切线过点 ∴
同理， ∴，
∴，∵
∴ ∴抛物线方程为 ……………………….6分
（2）设方程为，联立和抛物线方程，得
设，，， ∴，同理，
……………………….7分
∴ ……………………….8分
∴ ……………………….11分
等于定值0 ……………………….12分
设
（1）当，求函数的零点个数。
（2）函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围。
【详解】（1）当，，
当时，，，，在上无零点。
当时，，在上单增。
，，，
，，在上有一个零点。
当时，在上无零点。
综上所述， 在上只有一个零点。 ……………………….5分
（2）时，，
，设
当，在递增，在上递减，，，
，，
当时，在递减，在递增，在递减，
只需，
，与 矛盾，舍去；
当时，在上递减，只需，，矛盾，舍去；不满足条件。
当，在上递减，在上递增，在上递减。
，，只需，
，
又，
满足条件。 综上所述，….12分
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的渐近线方程为，，直线过点
，且倾斜角为。以点为极点，以从点出发与x轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点在曲线上。
（1）写出曲线在第二象限的参数方程和直线的极坐标方程；
（2）曲线与直线相交于点，线段的中点为，求的面积。
【详解】（1）设曲线的方程为，点的直角坐标为，将点坐标带入方程， 曲线的普通方程为
在第二象限的参数方程为 （参数方程答案不唯一）
设直线上任意一点的极坐标为，连接，在 中，，由正弦定理
直线极方程为 ……………………….5分
（2）设直线的参数方程为，（为参数），联立的参数方程和的普通方程，得，设对应的参数为，，
在中， ……………………….10分
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设，
（1）解不等式：
（2）设的最大值为，已知正数和满足，令，求的最小值。
【详解】（1）是偶函数，只需分析时的值域。
当，， ，舍去
当，，
当， ，
不等式的解集为 ……………………….5分
（2）由（1）可知，当，的值域为，当，的值域为
当，的值域为 时，的值域为
的最大值为2，
①当且仅当时等号成立
又
②当且仅当时等号成立
= 1 \* GB3 ①+ ②得的最小值为4，当且仅当时等号成立
……………………….10分
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
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