福建省泉州市惠安县泉州惠南中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，则的最小角为 （ ）
A. B. C. D.
3. 设空间中的平面及两条直线a，b满足且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）

A. B. C. 24D. 48
5. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A B. C. D.
6. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 泉州海上丝绸之路艺术公园，位于泉州台商投资区百崎湖东片区内，是全国乃至全世界首座以“海丝”为主题的大型艺术公园.园内通过雕塑、水景、建筑等艺术方式，展示海丝沿线东亚、东南亚、南亚、西亚国家的艺术风情.其中大型主题雕塑“海之梦·帆影”（如图），位于百崎湖面中央，它是公园内最高的建筑物，并以优美、灵动、梦幻的姿态存在，可为游客360度观赏提供最佳视角.有个学生为了测量“海之梦·帆影”主体的高度AB，选取岸边与雕塑底部B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得，，，在点C测得雕塑顶部A的仰角为，则“海之梦·帆影”主体AB的高度约为（ ）.（参考数据，）
A. 30mB. 35mC. 40mD. 43m
8. 在棱长为2正方体中，分别是棱的中点，是侧面（包含边界）上的一动点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数z满足，以下说法正确的有（ ）
A.
B. 在复平面内对应的点在第二象限
C.
D. 若是方程的一个根，则
10. 如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（ ）
A. 直线与为异面直线
B. 正方体过点，，的截面为三角形
C. 直线平面
D. 平面平面
11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的有（ ）

A. 为定值
B. 当时，定值
C. 的最大值为12
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，满足，，，则与的夹角为________.
13. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的面积的取值范围是_________．
14. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为________.
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，.
（1）若向量与垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.
16. 已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值
17. 已知的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角大小；
（2）若，且，求的周长.
18. 如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点.
（1）求证：B，C，H，G四点共面；
（2）求证：平面；
（3）若底面边长为2，，求三棱锥体积.
19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米．

（1）求线段MN的长度；
（2）若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．