安徽省合肥市第一中学2024届高三最后一卷数学试题

这是一份安徽省合肥市第一中学2024届高三最后一卷数学试题，共13页。试卷主要包含了答题时，必须使用0，已知为三角形的内角，且，则，已知函数，则下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：150分钟 满分：120分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.
2.答题时､每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A.1 B.或-1 C. D.或1
5.已知为三角形的内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ）
A.36种 B.48种 C.54种 D.64种
7.已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.过且倾斜角为的直线与曲线交于两点，分别过作曲线的两条切线，若交于，若直线的倾斜角为.则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：
则下列命题正确的有（ ）
A.年收入的均值为4.3
B.年收入的方差为1.2
C.年收入的上四分位数为5
D.若与可用回归直线方程来模拟，则
10.已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A.当时，是的一条对称轴
B.若，且，则
C.存在，使得的图像向左平移个单位得到的函数为偶函数
D.若在上恰有5个零点，则的范围为
11.已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A.若恒成立，则
B.若与相切，则
C.存在实数使得和有相同的最小值
D.存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，集合，若，则__________.
13.过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为__________.
14.在中，设所对的边分别为，且，则以下结论正确的有__________.
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
正方体的棱长为是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）与平面所成的角的正弦值为，求的长.
16.（本小题15分）
甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.
（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数的数学期望为多少？（保留小数点后一位）
（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”，求乙胜的概率.
17.（本小题15分）
.
（1）若的图象在点处的切线经过原点，求；
（2）对任意的，有，求的取值范围.
18.（本小题17分）
已知双曲线的上焦点为，下顶点为，渐近线方程是，过点的直线交双曲线上支于两点，分别交直线于两点，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）求证：四点共圆；
（3）求（2）中的圆的半径的取值范围.
19.（本小题17分）
给定自然数且，设均为正数，（为常数），.如果函数在区间上恒有，则称函数为凸函数.凸函数具有性质：.
（1）判断是否为凸函数，并证明；
（2）设，证明：；
（3）求的最小值.
合肥一中2024届高三最后一卷
数学参考答案
1.【答案解析】，选D
2.【答案解析】选A
3.【答案解析】，选C
4.【答案解析】由或或选D
5.【答案解析】，选B
6.【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为种，选A
7.【答案解析】如图，，
，
，故选C.
8.【答案解析】如图设，则为且过，
且，
又设，
，
当且仅当时“”成立，故选C
9.【答案解析】，A正确；
，В错误；
，所以上四分位数为C错误；
D正确；
故选AD
10.【答案解析】
对于A，当时，，
不是的一条对称轴，
对于B，由题意知，
对于C，，
若为偶函数，则，矛盾
对于D，令，由题意知，
故选BD
11.【答案解析】
对于A，由得，令，则
在单调递减，单调递增，
对于B，设切点为，则切线方程为，即，
又
不满足式，错，
对于C，易知当时和有相同的最小值1，
对于D，令，令，则的图象大致如下：
设交点为易知
由图象知，当直线与曲线和曲线共有三个不同的交点时，直线必经过点，即.
因为，所以，即.
令，得，解得或.
由得.
所以当直线与曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为.
因为，即，所以成等差数列，
故选ACD
12.【答案解析】，由得或
13.【答案解析】当斜率不存在时满足题意；
当斜率存在时，设直线，由题意知圆心到直线的距离为1得或
14.【答案解析】
，
，
，
，
.
15.【答案解析】
（1）证明：由题，面，四边形为正方形，
所以，而面面，
所以面，而面，所以平面平面.
（2）设在面上的射影点为，连接，
，
，即，得，
设与平面所成的角的大小为，则
，
所以，在中，由余弦定理得，
，
即，解得.
16.【答案解析】
（1），所以.
（2）设，则
17.【答案解析】
（1），所以，所以；
（2）即，令，
若，则，合题；
若，
令，则，
当时，递增，而，
所以，存在唯一的，使得，
所以，当时，递减，当时，递增，
故，所以，
此时，，故，即；
当时，，
因而合题；
综上所述，的取值范围是求.
18.【答案解析】
（1）由题，，解得，
所以的方程为.
（2）（方法一）设，代入，化简整理得，有，解得，，令得，同理，
，
所以四点共圆.
（2）（方法二）设的倾斜角分别为.由对称性，
不妨设的斜率，此时均为锐角，
所以四点共圆
设，代入，化简整理得
，有解得，
，令得，同理，
所以四点共圆.
（3）设圆心为，则
19.【答案解析】
（1），所以在上为凸函数.
（2）为正数，，即，
由，得，即
所以
，所以，
即，所以.
（3）关于在递增，
由（2）解得；当时，.
所以；当时也成立.
当时，当且仅当时取“=”；
当时，当且仅当时取“=”.
所以的最小值是.年份
1
2
3
4
5
6
7
收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9