安徽省宿州市埇桥区第一初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份安徽省宿州市埇桥区第一初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷，共20页。

A．（x5）2＝x7B．x4÷x＝x3
C．2a2•3a＝5a3D．（a2b）2＝a4b
2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为53微米，53微米为0.000053米．将0.000053用科学记数法表示为（ ）
A．5.3×10﹣6B．5.3×10﹣5C．53×10﹣4D．53×10﹣3
3．（3分）下列图形中，线段EF的长度表示点F到直线l的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）某生物实验小组研究发现，某种种子发芽率与浸泡时间有下面关系，下列说法正确的是（ ）
A．种子发芽率为自变量，种子浸泡时间为因变量
B．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在提高
C．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在降低
D．由表格可以看出，种子浸泡时间为12小时左右比较适宜
5．（3分）如图，平行线AB、CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°，则∠B＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．（3分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
7．（3分）已知x2﹣x＝3，则代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣10）的值为（ ）
A．34B．14C．26D．7
8．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．a2﹣b2B．（a﹣b）2C．（a+b）2D．ab
9．（3分）地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式．现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数关系如图所示，现有下列说法：
①甲队每天挖100米；
②乙队开挖2天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前2天完成任务；
④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）15的展开式中第三项的系数为（ ）
A．78B．91C．105D．120
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）已知aa＝2，an＝3，那么aa﹣n＝ ．
12．（4分）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为 ．
13．（4分）如图，△ABC的边CB的延长线交EF于点D，且EF∥AB．若∠BDF＝116°，∠ACB＝66°，则∠A＝ °．
14．（4分）一个角的余角比它的补角的一半少30°，则这个角的度数为 ．
15．（4分）如图1，在长方形ABCD中，点E是CD上一点，点P从点A出发，沿着AB，BC，CE运动，到点E停止，运动速度为2cm/s，三角形AEP的面积为y（cm2），点P的运动时间为xs，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）．
（1）长方形的宽BC的长为 cm；
（2）当点P运动到点E时，x＝m，则m的值为 ．
三、解答题（共70分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）先化简，后求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（﹣2x），其中x＝1，y＝2．
18．（8分）如图，已知在△ABC中，点P在边BC上．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使∠APD＝∠BAP（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，试说明：PD∥AB．
19．（8分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．
（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．
20．（8分）如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC＝∠ ，∠ECB＝∠ （角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠ ＝∠ （已知）
∴∠F＝∠
∴CE∥DF ．
21．（6分）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
（1）该轿车油箱的容量为 L，行驶150km时，油箱剩余油量为 L．
（2）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的关系式．
（3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L，求A，B两地之间的距离．
22．（12分）将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝5，ab＝2，求a2+b2的值．解：因为a+b＝5，ab＝2，所以（a+b）2＝25，2ab＝4．所以a2+b2+2ab＝25，2ab＝4．所以a2+b2＝21．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝9，x2+y2＝41．
①求xy的值．
②求（x﹣y）2的值．
（2）若（7﹣m）（3+m）＝12，则（7﹣m）2+（3+m）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、BCFG，设正方形ACDE的面积为S1，正方形BCFG的面积为S2，若S1+S2＝24，AB＝8，求图中阴影部分的面积？
23．（12分）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x5）2＝x7B．x4÷x＝x3
C．2a2•3a＝5a3D．（a2b）2＝a4b
【解答】解：A、（x5）2＝x10，故此选项不符合题意；
B、x4÷x＝x3，故此选项符合题意；
C、2a2•3a＝6a3，故此选项不符合题意；
D、（a2b）2＝a4b2，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为53微米，53微米为0.000053米．将0.000053用科学记数法表示为（ ）
A．5.3×10﹣6B．5.3×10﹣5C．53×10﹣4D．53×10﹣3
【解答】解：0.000053＝5.3×10﹣5，
故选：B．
3．（3分）下列图形中，线段EF的长度表示点F到直线l的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：图B、C、D中，线段EF不与直线L垂直，故线段EF不能表示点P到直线L的距离；
图A中，线段EF与直线L垂直，垂足为点E，故线段EF能表示点F到直线L的距离；
故选：A．
4．（3分）某生物实验小组研究发现，某种种子发芽率与浸泡时间有下面关系，下列说法正确的是（ ）
A．种子发芽率为自变量，种子浸泡时间为因变量
B．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在提高
C．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在降低
D．由表格可以看出，种子浸泡时间为12小时左右比较适宜
【解答】解：A、种子浸泡时间为自变量，种子发芽率为因变量，故本选项错误，不符合题意；
B、随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率先提高，后降低，故本选项错误，不符合题意；
C、随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率先提高，后降低，故本选项错误，不符合题意；
D、由表格可以看出，种子浸泡时间为12小时左右时，发芽率最高，种子浸泡时间为12小时左右时，所以比较适宜，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，平行线AB、CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°，则∠B＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【解答】解：延长BG，交CD于H，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH＝90°，
∴∠B＝∠BHD＝90°﹣∠2
＝90°﹣50°
＝40°．
故选：C．
6．（3分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD；
②∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠C＝∠5，
∴AD∥BC，
④∵∠A+∠ADC＝180°
∴AB∥CD，
故选：B．
7．（3分）已知x2﹣x＝3，则代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣10）的值为（ ）
A．34B．14C．26D．7
【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣10）
＝9x2﹣4+x2﹣10x
＝10x2﹣10x﹣4，
当x2﹣x＝3时，原式＝10（x2﹣x）﹣4
＝10×3﹣4
＝30﹣4
＝26，
故选：C．
8．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．a2﹣b2B．（a﹣b）2C．（a+b）2D．ab
【解答】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，
∴正方形的边长为：a+b，
∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），
正方形的面积为（a+b）2，
∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
故选：B．
9．（3分）地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式．现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数关系如图所示，现有下列说法：
①甲队每天挖100米；
②乙队开挖2天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前2天完成任务；
④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：600÷6＝100（米），甲队每天挖100米，故①符合题意，
（500﹣300）÷（6﹣2）＝50（米），乙队开挖2天后，每天挖50米，故②符合题意；
（600﹣500）÷50＝2（天），甲队比乙队提前2天完成任务，故③符合题意；
100×2﹣50×2＝100（米），600﹣500＝100（米），当x＝2或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米，故④符合题意，
其中正确的有：①②③④，
故选：D．
10．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）15的展开式中第三项的系数为（ ）
A．78B．91C．105D．120
【解答】解：∵找规律发现（a+b）3的展开式中的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的展开式中的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的展开式中的第三项系数为10＝1+2+3+4；
∴（a+b）n的展开式中的第三项系数为1+2+3+⋯+（n﹣2）+（n﹣1）；
∴（a+b）15的展开式中的第三项系数为1+2+3+⋯+14＝105；
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）已知aa＝2，an＝3，那么aa﹣n＝ ．
【解答】解：∵aa＝2，an＝3，
∴aa﹣n＝aa÷an＝．
故答案为：．
12．（4分）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为 ±6 ．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣kxy＝±2x•3y＝±6xy，
∴k＝±6，
故答案为：±6．
13．（4分）如图，△ABC的边CB的延长线交EF于点D，且EF∥AB．若∠BDF＝116°，∠ACB＝66°，则∠A＝ 50 °．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠ABD＝∠BDF＝116°，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ABD﹣∠ACB＝116°﹣66°＝50°，
故答案为：50．
14．（4分）一个角的余角比它的补角的一半少30°，则这个角的度数为 60° ．
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，补角180°﹣α，
则90°﹣α＝（180°﹣α）﹣30°，
∴2（90°﹣α+30°）＝180°﹣α，
∴180°﹣2α+60°＝180°﹣α，
∴α＝60°．
故答案为：60°．
15．（4分）如图1，在长方形ABCD中，点E是CD上一点，点P从点A出发，沿着AB，BC，CE运动，到点E停止，运动速度为2cm/s，三角形AEP的面积为y（cm2），点P的运动时间为xs，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）．
（1）长方形的宽BC的长为 4 cm；
（2）当点P运动到点E时，x＝m，则m的值为 12 ．
【解答】解：（1）由题意，当P从A到B三角形的面积逐渐增大，再由B到C时，三角形的面积逐渐变小，最后由C到E时面积变小速度变慢．
故AB＝2×6＝12（cm），AB+BC＝2×8＝16（cm），
∴BC＝16﹣12＝4（cm）．
故答案为：4．
（2）由题意，当x＝8 s时，△AEP的面积＝CE•BC＝16（cm2），
又BC＝4 cm，
∴CE＝8 cm．
∴m＝＝＝12．
故答案为：12．
三、解答题（共70分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣+﹣（﹣1）＝2；
（2）原式＝a2b2•（﹣b）﹣（a2b3+1）
＝﹣a2b3﹣a2b3﹣1
＝﹣a2b3﹣1．
17．（8分）先化简，后求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（﹣2x），其中x＝1，y＝2．
【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2）÷（﹣2x）
＝（﹣8x2+4xy）÷（﹣2x）
＝4x﹣2y；
当x＝1，y＝2时，
原式＝4﹣4＝0．
18．（8分）如图，已知在△ABC中，点P在边BC上．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使∠APD＝∠BAP（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，试说明：PD∥AB．
【解答】解：（1）如图：点D即为所求；
（2）∵∠APD＝∠BAP，
∴PD∥AB．
19．（8分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．
（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．
【解答】解：（1）由题意得：
（2a+3b）（2a+b）﹣4a2
＝4a2+2ab+6ab+3b2﹣4a2
＝8ab+3b2（平方厘米），
答：长方形纸片剩余面积为（8ab+3b2）平方厘米；
（2）把a＝5，b＝10代入8ab+3b2得：
8×5×10+3×102
＝8×5×10+3×100
＝400+300
＝700（平方厘米），
答：当a＝5，b＝10，长方形纸片剩余面积为700平方厘米．
20．（8分）如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC＝∠ ABC ，∠ECB＝∠ ACB （角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠ DBC ＝∠ ECB ．
又∵∠ F ＝∠ ECB （已知）
∴∠F＝∠ ECB
∴CE∥DF 同位角相等，两直线平行 ．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （ 已知 ），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB（ 角平分线的定义）．
又∵∠ABC＝∠ACB （已知），
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠F＝∠ECB（等量代换），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：ABC；ACB；DBC；ECB；DBF；F；ECB；同位角相等，两直线平行．
21．（6分）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
（1）该轿车油箱的容量为 50 L，行驶150km时，油箱剩余油量为 38 L．
（2）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的关系式．
（3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L，求A，B两地之间的距离．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L，行驶150km，
油箱剩余油量为：（L），
故答案为：50，38；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，
据此可得Q与s的关系式为：Q＝50﹣0.08s，
∴Q与s的关系式为：Q＝50﹣0.08s；
（3）令Q＝10，即50﹣0.08s＝10，
解得：s＝500，
∴A、B两地之间的距离为500km．
22．（12分）将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝5，ab＝2，求a2+b2的值．解：因为a+b＝5，ab＝2，所以（a+b）2＝25，2ab＝4．所以a2+b2+2ab＝25，2ab＝4．所以a2+b2＝21．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝9，x2+y2＝41．
①求xy的值．
②求（x﹣y）2的值．
（2）若（7﹣m）（3+m）＝12，则（7﹣m）2+（3+m）2＝ 76 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、BCFG，设正方形ACDE的面积为S1，正方形BCFG的面积为S2，若S1+S2＝24，AB＝8，求图中阴影部分的面积？
【解答】解：（1）①∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝9，x2+y2＝41，
∴92﹣2xy＝41，
∴xy＝20，
②（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝92﹣4×20＝1，
答：①xy的值为20；②（x﹣y）2的值1；
（2）由（7﹣m）+（3+m）＝10，（7﹣m）（3+m）＝12，
∴（7﹣m）2+（3+m）2＝[（7﹣m）+（3+m）]2﹣2（7﹣m）（3+m）＝100﹣2×12＝76；
故答案为：76．
（3）设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝8，
∴m+n＝8，
又∵S1+S2＝24，
∴m2+n2＝24，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴82＝24+2mn，
∴mn＝20，
∴S阴影部分＝mn＝10，
23．（12分）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．浸泡时间/时
0
2
6
8
10
12
14
16
20
发芽率/%
15.9
26.1
32.3
35
53
61
43.1
10.8
30.5
轿车行驶的路程s（km）
0
100
200
300
400
…
油箱剩余油量Q（L）
50
42
34
26
18
…
浸泡时间/时
0
2
6
8
10
12
14
16
20
发芽率/%
15.9
26.1
32.3
35
53
61
43.1
10.8
30.5
轿车行驶的路程s（km）
0
100
200
300
400
…
油箱剩余油量Q（L）
50
42
34
26
18
…