广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

这是一份广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，等比数列的前项和，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．曲线与的离心率之积为（ ）
A．B．C．D．
2．一质点运动的位移方程为，当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
3．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知是“和差等比数列”，，则满足使不等式的的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
4．正四棱柱中，三棱锥的体积为与底面所成角的正切值为，则此正四棱柱的表面积为（ ）
A．10B．12C．14D．18
5．等比数列的前项和，则（ ）
A．2B．C．D．
6．在正方体中，点满足，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数单调递增，则实数的最小值为（ ）
A．B．0C．D．
8．已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是2
B．表示的圆的面积是
C．双曲线的焦距是
D．抛物线的准线方程是
10．已知函数，设数列的通项公式为，则对于数列，下列说法正确的是（ ）
A．该数列的图象是二次函数的图象
B．该数列是递减数列
C．该数列从第3项往后各项均为负数
D．该数列有两项为1
11．若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．幼儿园的餐桌上放着一个桔子、一个香蕉、一个苹果、一个梨，小明，小红，小丽依次从中任取一个，则共有__________种取法．
13．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则曲线的切线的斜率的取值范围为__________．
14．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为，若100，求正整数的最小值．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，2，点分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）若在上不单调，求的取值范围；
（2）当时，试讨论的零点个数．
18．（本小题满分17分）
某生物技术公司研制一种疫苗，为测试该疫苗的有效性，公司选定2000个样本分成三组，测试结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到组疫苗无效的概率是0.045．
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个样本，求在组抽取的个数；
（3）在选定的2000个样本中，若疫苗有效的概率低于，则认为测试没有通过．已知，求该疫苗能通过测试的概率．
19．（本小题满分17分）
已知抛物线的焦点关于直线的对称点为．
（1）求的方程；
（2）若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求；
（3）过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程．
参考答案及解析
高二数学
一、选择题
1．D 【解析】曲线的离心率的离心率，所以．故选D．
2．C 【解析】因为，所以当时，．故选C．
3．C 【解析】依题意，，得3，故数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，检验知，成立，所以的最小值是6．故选C．
4．A 【解析】设此正四棱柱的底面边长为，高为，则三棱锥的体积为，得，
又与底面所成的角为，所以，得，得，所以此正四棱柱的表面积为．故选A．
5．D 【解析】设等比数列的公比为，等比数列的前项和，可知，由等比数列的前项和公式，可知，所以．则．故选D．
6．B 【解析】设正方体的棱长为3，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，所以，设，则，，因为，所以，即，解得．所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．故选B．
7．C 【解析】，因为当时，函数单调递增，所以，即恒成立，故．令，则，令，得，当时，为减函数；当时，为增函数，又，则．得．故选C．
8．B 【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以，又，所以．故选B．
二、选择题
9．BC 【解析】椭圆的两焦点在轴上，由可得长轴长是选项错误；，即，表示的圆的半径为，面积为选项正确；双曲线，即，所以，所以焦距是选项正确；抛物线的图象开口向右，准线方程是，D选项错误．故选BC．
10．BC 【解析】对于A：由数列图象各点为离散的（非连续），故数列的图象不是二次函数的图象，错；对于B：由题设，对应二次函数开口向下，在上递减，对；对于C：由，结合数列单调递减，故从第3项往后各项均为负数，对；对于D：由C分析知：只有，错．故选BC．
11．ACD 【解析】设，，令，得，
由已知，因为的解集为，可知函数应是先减后增，且，所以为增函数，则，所以A正确，B错误；所以大致图象如图所示．
从函数零点来看，的零点为，所以解得，因为，所以，所以C，D正确．故选ACD．
三、填空题
12．24 【解析】．故答案为24．
13． 【解析】，因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以．故答案为．
14． 【解析】设该圆锥的底面半径为，高为．由扇形圆心角为，半径为，得圆锥底面圆周长为，解得．因为扇形半径为，所以，所以．且球心在圆锥的高所在的直线上．设球的半径为，则，即，解得，所以球的体积为．故答案为．
四、解答题
15．解：（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
故．
（2），
所以．
．
，得，即正整数的最小值为10．
16．解：（1）证明：底面，又面，故可得，又，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
从而可得以下各点的坐标：
，
，
则．
，
．
所以．
（2）设平面的法向量为，
又，
则，即，
令，可得，则平面的法向量，
故点到平面的距离．
17．解：（1）函数，
则，
在上不单调，故函数在存在极值，
在存在零点，即在存在解，
即直线与曲线在有交点，
当时，．
的取值范围为．
（2）等价于，故可看成直线与曲线的交点个数，
令，则，令，得；令，得，
故在上递增，在上递减，
（10分），当趋近于时，趋近于；
当趋近于时，趋近于0，如图所示，
当时，有两个零点；
当时，仅有一个零点；
当时，无零点．
18．解：（1）由题意得，．
（2）由（1）得，C组样本总个数．
现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个样本，
则在组抽取的个数为．
（3）设“该疫苗没有通过测试”为事件，
故C组的测试结果中疫苗有效与无效的基本事件有11个，它们是：，，．
因疫苗有效的概率低于时认为测试没有通过，即当，即时认为测试没有通过，
事件包含的基本事件有2个，它们是：，则，
所求概率为．
19．解：（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）知，直线的方程为，设，
由消去得：，
则，
所以．
（3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为，
代人抛物线方程，整理得或．
设，则，
由，
得,
化简得，
当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意；
当时，
化简得．
即
化简得，
又，所以，
化简得，
所以点在直线上．组
组
组
疫苗有效
673
660
疫苗无效
77