2024年浙江省杭州钱塘区中考数学一模试题+答案与解析

这是一份2024年浙江省杭州钱塘区中考数学一模试题+答案与解析，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
3．某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3B．方差是3C．中位数是3D．众数是17
4．在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别是，将点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置关系描述正确的是（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知直线，直线分别交直线于点，点在直线上，连结．若，，则的度数为（ ）．
A．45°B．50°C．55°D．60°
7．如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连接并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算： ．
12．文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮24秒，黄灯亮6秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为 ．
13．已知，，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是 ．
15．如图，分别以等边的顶点为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则莱洛三角形的面积为 ．
16．如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设，则关于的函数表达式是 ．
三、解答题
17．解不等式：．
18．如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在线段上找一点，使得．
(2)如图2，在三角形内寻找格点，使得．
19．某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)该学校抽样调查的学生人数是__________．
(2)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
(3)若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
20．如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
21．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

(1)求点D到地面的距离；
(2)求该建筑物的高度．
22．如图，在中，点分别在边上，连接与交于点．已知四边形是平行四边形，且．
(1)若，求线段的长．
(2)若四边形的面积为48，求的面积．
23．已知二次函数（是常数，）．
(1)若，求该函数图象顶点坐标；
(2)若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
(3)若，当时，的最大值记为，最小值记为，求的最小值．
24．如图，是半圆的直径，点是半圆上的点，且，连结交于点．
(1)求证：．
(2)如图，连结，若，求与的面积之比．
(3)如图，连结，作交于点，连结．求证：．
册数
1
2
3
4
5
人数
4
12
16
17
1
参考答案：
1．B
【分析】本题考查科学记数法的表示．绝对值大于等于10的数用科学记数法可表示为的形式，其中，为正整数．
【详解】解：34.45亿．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简：．根据分别对A、B、C、D进行判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查平均数，众数，中位数，方差．根据表格数据分别计算出各数即可．
【详解】解：这组数据的平均数为
数据3出现次数最多为17次
众数是3
将这组数据从小到大排列后处于中间的两个数都是3
中位数是3
这组数据的平均数不是整数
方差不是整数．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查坐标的平移规律．根据将点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点得出点坐标，再判定即可．
【详解】解：将点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点
点
与关于轴对称．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了利用公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．根据完全平方公式和平方差公式逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项正确；
C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角性质．根据可得，再由外角性质即可求出．
【详解】解：，
，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，根据圆周角定理求出，结合等腰三角形的性质进而求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：
∵C为的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．D
【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，推出，设，由可得，进而根据锐角三角函数得到，则，根据三角形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合．根据时，，可得二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质求解．
【详解】解：如图，
二次函数，当时，的取值范围是，
二次函数开口向上，对称轴为直线，
该二次函数的图象经过点，两点，
点关于对称轴的对称点为，
，
的值不可能是，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是解题的关键．根据，设，，则正方形的边长为，正方形的边长为，设，，根据题意得，，则，解得：，则，，可证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据线段的和差求出、即可求解．
【详解】解：，
设，，
正方形的边长为，正方形的边长为，
即，，
设，，
依题意得：，，，，，，，都全等，
，，
，，
，
解得：，
，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，即，
又四边形是正方形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故选：B．
11．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握相关运算法则．
12．/0.4
【分析】本题考查了根据概率公式求概率等知识，根据概率的公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮24秒，黄灯亮6秒，
∴则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为．
故答案为：
13．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，先求出，，再根据计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．或/或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确求出n的值是解题的关键．先求出n的值，再观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
又反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：或．
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查等边三角形的性质，圆的面积与周长．根据题意可把莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半，进而求出等边三角形的边长，而其面积看成半径为的圆的面积的一半减去两个等边三角形的面积即可．
【详解】解：莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半
，
，即等边的边长为2，
如图所示，过点作于，
则，
，
莱洛三角形的面积为．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，先证明，得到，进而可得，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又由折叠可得，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解．
【详解】解：
，
∴不等式的解集为．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
（1）分别取格点，，使，且，连接，交于点，结合相似三角形的判定与性质，即可求解；
（2）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
【详解】（1）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点，
则，
，
则点即为所求；
（2）如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，
，
则点即为所求．
19．(1)80人
(2)补全图见图示，
(3)400人
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合题．
（1）由优秀人数36人及占比可求总人数；
（2）用总人数减去优秀，合格，待合格三者的和即可得出良好的人数，求出合格的占比再乘即可求出合格部分对应圆心角的度数；
（3）用样本数据取估计总体，先求出合格与待合格的总占比，再乘1600即可．
【详解】（1）解：该学校抽样调查的学生人数是（人）
故答案为：80；
（2）良好的人数为：（人），补全图如图所示，
合格部分对应圆心角为：；
（3）合格和待合格的总人数为：（人）．
20．(1)见解析
(2)的长为
【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
（1）由可得，根据，可得，结合对顶角相等，即可证明；
（2）根据题意可得，得到，在中，根据勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
又，
在和中，
，
；
（2），，
，
在中，，
，
在中，，
的长为．
21．(1)5米
(2)米
【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明，然后解直角三角形分析求解．
【详解】（1）解：过点D作，

由题意可得，
∴在Rt中，，
即点D到地面的距离为5米；
（2）如图，

由题意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：该建筑物的高度为15米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．(1)，
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形
；
（2），
四边形的面积为48
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
（1）将代入即可；
（2）先将解析式因式分解为，后发现不可能经过点，，故经过，代入即可；
（3）先根据题意用含的式子表示出，在用的式子表示，最后根据的取值范围即可求出其最小值．
【详解】（1）解：
该函数图象顶点坐标为；
（2）
当时，，故不过点
当时，，故不过
过点
将点代入得
；
（3）
对称轴为
，抛物线开口向下
时，的最大值记为，最小值记为
时，
时，
当时，有最小值，为．
24．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（）由是半圆的直径得，再根据平行线的性质可得，即可求证；
（）由可得，由可得，由根据平行线之间距离相等可得，即可得到；
（）连接，先证明点四点共圆，得到，进而可得，又由，可得，即得到，即可求证．
【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的判定，掌握圆的有关性质是解题的关键．