2024年辽宁省丹东市东港市中考数学二模试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数为（ ）
A. 2021B. ﹣2021C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可求得
【详解】解：的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零．
2. 如图是由四个相同的小正方体堆成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
3. 下列运算中，正确是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
4. 要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，三人的平均成绩均为90分，甲的方差为0.025，乙的方差为0.04，丙的方差为0.061，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，掌握方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越小，数据越稳定是关键．
方差是反映数据离散程度的统计量，方差越小，离散程度越小，就越稳定．
【详解】解：∵3人的平均成绩均为90分，甲的方差为乙的方差为丙的方差为，
∴甲在这10次测试成绩比较稳定．
故选：A．
5. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，，，点E是上一点，连接，若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，
∴，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
6. 如图，平分，点A是在边上，以点A为圆心，大于点A到的距离为半径作弧，交于点B，C，再分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线分别交于点E，F．若，，则的长度为（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解直角三角形，由作图得，再根据角平分线的定义得，然后根据含角的直角三角形三边关系先求出，再求出的长即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由作图得于F，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：D．
7. 如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积为4，则的值为（ ）
A. 12B. 9C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
过点A作轴于点E，设，，则，则，，然后证和相似，根据相似三角形的性质得，据此可得，然后再根据的面积为4可求出，据此即可求出k的值．
【详解】解：过点作轴于点，
设，，则，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴轴，即：，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，与轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象确定式子的符号及系数的符号，由对称轴为直线可判断①；由时，，且可判断②；由抛物线与对称轴的距离可判断③；由抛物线的顶点位置可判定④；由抛物线的最值即可判断⑤．关键是掌握二次函数的图象与性质，注意数形结合．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∵时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，且点到对称轴的距离最大，到对称轴的距离最小，
∴，故③错误；
∵，与轴交点在和之间，
∴，
∴，故④错误；
∵当时，函数有最大值，
∴当为任意实数时，，
∴（为任意实数），故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①②⑤，共3个，
故选：B．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
9. 地球的赤道半径约为6 370 000米，用科学记数法记为___米．
【答案】6.37×106
【解析】
【分析】在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】6 370 000一共7位，用科学记数法表示为： 6.37×106．
故答案为：
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10 n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式．
11. 在一个不透明的盒子中，有个完全相同的小球，把它们分别标号为、、、、，从中随机摸出一个小球，摸出的小球标号为非负数的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的计算方法．利用随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数进行计算即可．
【详解】解：标号为、、、、的小球，非负数有个，一共有个数，
故摸出的小球标号为非负数的概率为．
故答案为：．
12. 若式子有意义，则x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意的条件，零次幂，以及分式有意义的条件，关键是把握，被开方数为非负数以及分母不为0．首先根据二次根式有意义的条件可知，再根据分母不为0，可得，零次幂底数不能为0可得，再解可得答案．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得且，
故答案为：且．
13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此即可解答，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴即，且，
即有，
解得，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
14. 如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若，则周长的最小值是________cm．
【答案】6
【解析】
【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小．
【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、．
点关于的对称点为，关于的对称点为，
，，；
点关于的对称点为，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
的周长的最小值．
故答案为：6．
15. 矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为________秒．
【答案】2或
【解析】
【分析】本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．如图1，当点落在矩形对角线上时，连接，由翻折及点E为中点可得，即分别垂直，，再由平行线分线段成比例即可求解；如图2，当点落在矩形对角线上时，时，作于点G，证明，得，代入值即可求解．
【详解】解：如图1，当点落在矩形对角线上时，连接，
由翻折可得，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴F为中点，
∴，
∴；
如图2，
当点落在矩形对角线上时，时，作于点G，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：2或．
16. 如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点、，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点、，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为__．（用含正整数的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】由题意是等边三角形，边长为，是等边三角形，边长为，是等边三角形，边长为，继而得到的边长为，然后根据等边三角形面积公式进行求解即可得．
【详解】解：，点在边上，且，过点作交于点，
∴在中，设，则,
∴，即，
∴，
∵为等边三角形，
∴，且，
∴，且过点作的垂线分别交、于点、，
∴，
∴，
∴是等边三角形，且，
由题意是等边三角形，边长为，
是等边三角形，边长为，
是等边三角形，边长为，
等边三角形，边长为，…，
的边长为，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键．
三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求代数式的值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值和负整数指数幂等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法变成乘法，算乘法，求出a的值，最后代入求出答案．
【详解】解：
，
，
当时，原式．
18. 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，．先将沿一个确定的方向平移，得到，点A的对应点的坐标为；再将绕原点O顺时针旋转后得到．
（1）画出；
（2）画出．直接写出在旋转过程中，点C所经过的路径长．
【答案】（1）见解析；
（2）图形见解析，的长．
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了平移变换．
（1）将向右平移5个单位，再向下平移5个单位，得到点A的对应点的坐标为；将点B、C也按照相同的平移方式平移即可得到对应点，顺次连接即可得；
（2）将三顶点绕原点O顺时针旋转得到对应点，首尾顺次连接即可得；根据弧长公式求解可得．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
，
的长．
19. 某校开展课外体育活动，开设了以下体育项目：篮球、足球、跳绳和踢毽，要求每名学生必须且只能选择其中的一项．为了解选择各种体育项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有________人．
（2）求在扇形统计图中，“足球”所对应的扇形圆心角度数，并补全条形统计图．
（3）若该校共有1500名学生，选择“跳绳”和“踢毽”的大约共有多少人？
【答案】（1）100 （2）“足球”所对应的扇形圆心角度数为；补全图形见解析
（3）选择“跳绳”和“踢建”的大约共有660人
【解析】
【分析】（1）用其他三项的人数和除以其所占百分比之和可得总人数；
（2）用360°乘“足球”的人数占被调查人数的比例即可得；根据各项目的人数之和等于总人数求得篮球的人数即可补全条形图；
（3）用总人数乘样本中“跳绳”和“踢建”的人数所占比例即可得．
【小问1详解】
解：这次调查的学生共有（人），
故答案为：100；
【小问2详解】
解：在扇形统计图中，“足球”所对应的扇形圆心角度数为；
篮球人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：选择“跳绳”和“踢建”的大约共有660人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，涉及求样本容量、求扇形统计图某项圆心角、补全条形统计图、用样本估计总体等知识，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20. 某校为丰富校园文化生活，要举办校园艺术节，现要从两名男生和两名女生中选主持人．
（1）若从四人中随机选一名主持人，则选出的主持人是女生的概率是________．
（2）若从四人中随机选两名主持人，请用画树状图或列表的方法，求选出的两名主持人是一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）选出的两名主持人是一男一女的概率为
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的两名主持人是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵现要从两名男生和两名女生中选主持人，
∴若从四人中随机选一名主持人，则选出的主持人是女生的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的两名主持人是一男一女的结果有8种，
∴选出的两名主持人是一男一女的概率为．
21. 某文具店批发甲、乙两种文具，已知甲文具的单价是乙文具单价的倍．用元购买乙文具比购买甲文具多4个，求：甲、乙两种文具的单价各为多少元？
【答案】甲文具单价是6元，乙文具的单价是4元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键．
设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是元，
依题意得，，
解得，
经检验是原方程的根，且符合题意，
∴，
答：甲文具单价是6元，乙文具的单价是4元．
22. 如图，在中，点D是边上一点，且，以为直径的分别交，于点E，F，过点E作于点H．
（1）求证：是切线．
（2）若，，求．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连结，如图，利用等腰三角形的性质证明，则可判断，然后根据平行线的性质得到，从而根据切线的判定方法得到结论；
（2）过O点作于M点，连结，如图，先利用圆周角定理得到，则在中利用余弦的定义求出，再利用勾股定理计算出，接着证明为的中位线得到，然后证明四边形为矩形，从而得到．
【小问1详解】
证明：连结，如图，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是切线；
【小问2详解】
解：过O点作于M点，连结，如图，
∵为的直径，
∴.
在中，∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
而，
∴为的中位线，
∴.
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，中位线的性质，矩形的性质和判定，切线的判定与性质等，即圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
23. 如图，在海岸线上有B、C两个观测点，B、C之间距离为，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西方向，观测点C在小岛A的南偏西方向，求小岛A与海岸线的距离．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】小岛到海岸线的距离约为57.1米．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用--方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、一元一次方程的解法是解题的关键．先过点A作，垂足为D，设米，根据，然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离．
【详解】解：过点A作，垂足为D，
设米，
∵，
∴，
即，
解得：，
答：小岛到海岸线的距离约为米．
24. 某经销商购进一款成本为60元的水杯．按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润率不高于．据市场调查发现，水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个．
（1）求y与x之间的函数表达式．（不需写出自变量x的取值范围）
（2）若该经销商每天想从这款水杯销售中获利3600元，又想尽量减少库存，这款水杯的销售单价应定为多少元？
（3）设该水杯每天的总利润为W（元），那么销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数表达式为；
（2）这款水杯的销售单价应定为90元；
（3）当销售单价定为99元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是3978元．
【解析】
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，结合减少库存，列方程可解；
（3）由题意得二次函数，得到对称轴，可求得答案．
本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
【小问1详解】
设y与x之间的函数表达式为，
根据题意，得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为．
【小问2详解】
由题意得，
∴，
解得：，，
∵想尽量减少库存，
∴，
答：这款水杯的销售单价应定为90元．
【小问3详解】
由题意得，
因为销售单价不低于成本，
∴，
因为销售利润率不高于65%，
∴，
∴，
∴，
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，（元）．
答：当销售单价定为99元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是3978元．
25. 在正方形中，点M是边上一点，点N是边上一点，连接，交于点P，且．
（1）如图1，判断线段与的数量关系和位置关系，并证明．
（2）如图2，延长到点Q，连接，当时，请求出，之间满足的数量关系．
（3）如图3在（2）的条件下，连接，当，的面积是时，请直接写出的长．
【答案】（1），，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，得，，再导出，从而得到，；
（2）作于点F，得到等腰直角三角形，再证明，推得；
（3）由题意可得，可知N为的中点，，设正方形的边长为，将用含a的代数式表示，由相似三角形的性质可以推得，由的面积是列方程求出a的值，再转化为的长．
【小问1详解】
解：，，证明如下；
∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图2，作于点F，
图2
∴，
∵，
∴，
∴．
由（1）得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，设正方形边长为．
图3
∵，，，，的面积是，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，正切等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造特殊角和含有特殊角的直角三角形．
26. 如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．

（1）求抛物线的表达式．
（2）如图2，将沿直线平移得到．
①当点落在抛物线上时，求点的坐标．
②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）①点的坐标为或；②点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案；
（2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，，
∴设抛物线解析式为，
则，即，
解得，
故抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：令，则，解得或，故点，
函数的对称轴为，故点；
设直线的表达式为：，
将点、的坐标代入得，解得，
直线的表达式为，
设点，
∵，则点，
①将点的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故点的坐标为或；
②点，点的坐标分别为、，则，，，
当为直角时，由勾股定理得，解得或，
故点的坐标为或；
当为直角时，由勾股定理得，解得，
故点的坐标为；
当为直角时，由勾股定理得，解得，
故点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定二次函数表达式、待定系数法确定一次函数表达式、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握二次函数图象与性质及二次函数综合问题解法是解决问题的关键．