山东省济宁市兖州区兖州区第二十中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省济宁市兖州区兖州区第二十中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共10小题，共30分）
1．当为何值时，在实数范围内有意义（ ）
A．B．C．D．
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为( )．
A．80米B．100米C．72米D．112米
4．二次根式化成最简结果为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在平行四边形ABCD，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB=3，AD=5，则EF的长为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）．
A．18B．28C．36D．46
7．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )．
A．30cmB．30cmC．60cmD．60
8．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆的底端处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点处，发现此时点到旗杆水平距离为，点到地面的距离为，则旗杆的高度为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，为边上一动点，以、为边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ）
A．6B．8C．D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5小题，共15分）
11．化简：＝ ．
12．如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只需要填一个正确的即可）．
13．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ．
14．如图，中，，，，D是的中点，则的面积等于 ．
15．如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是 m．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．计算：
(1)
(2)
(3)已知，，求的值．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段且使，连接；
(2)线段的长为______；
(3)的形状为______；
(4)求的面积．
18．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
19．如图所示：在四边形ABCD中，、，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以秒的速度由A向D运动，点Q以秒的速度由C向B运动．

（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长
（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．
20．如图，直线经过矩形的对角线的中点，分别与矩形的两边相交于点．

(1)求证：；
(2)若，则四边形是______形，并说明理由；
(3)在（）的条件下，若，，求的面积．
21．如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当时，求证：四边形是正方形．
22．阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．
小明在学完作辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．
解：取BD的中点P，连接PM、PN
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM AB，PM =AB，PNCD，PN =CD
∵AB=CD=6
∴PM=PN =3
∵PMAB，PNCD，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，
∴∠DPN=40°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，
∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6
请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；
(2)若∠BDC﹣∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．
1．A
【分析】根据分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性解答．
【详解】由题意得：x-1>0，
解得x>1，
故选：A．
【点睛】此题考查未知数的取值范围的确定，掌握分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性是解题的关键．
2．D
【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，
移项合并，得5a=25，
系数化为1，得a=5．
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
3．A
【分析】实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】根据图中数据，运用勾股定理求得AB=m，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
4．B
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，，
，
故选：B．
5．B
【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的概念可得，，由等角对等边得，，再由求出EF的长即可．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴，，
∴，，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的概念，证明，是解答本题的关键．
6．C
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∵△OCD的周长为23，
∴OD+OC=23﹣5=18，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36．
故选C．
7．C
【分析】因为矩形的对角线相等,现在又互相垂直,已经是正方形,所以设矩形的对角线长为x，则S矩形=x2，再根据面积为450cm2求出x的值即可．
【详解】解：设矩形的对角线长为x，
∵矩形的两条对角线互相垂直，
∴S矩形=x2=450cm2，
解得x=30cm，
∴2x=60cm．
故选C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的两条对角线相等，当对角线互相垂直时，则其面积又等于两条对角线积的一半．
8．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于，设旗杆的高度为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，，
设旗杆的高度为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴旗杆的高度为，
故选：．
9．D
【分析】由四边形是平行四边形，最短也就是最短，当时，最短，通过计算即可得解；
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作与，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
的最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．C
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
11．．
【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．
【详解】解：因为＞1，
所以＝
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，掌握是解答此题的关键．
12．（答案不唯一）
【分析】由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．
【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵DE=BF
∴OD-DE=OB-BF
即OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
故答案为：DE=BF（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．
13．
【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
14．
【分析】，，，得到，由勾股定理求出，是的中点，则的面积等于的面积一半，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴的面积等于的面积一半，
即的面积，
即的面积等于，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题．可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，
过P作于G，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故这只蚂蚁的最短行程应该是．
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值：
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；
（2）先利用乘法公式去括号，然后计算加减法即可；
（3）先求出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，，
∴，，
∴
．
17．(1)见解析
(2)
(3)直角三角形
(4)5
【分析】本题主要考查了网格作图，勾股定理和勾股定理的逆定理，网格中求三角形面积：
（1）根据题意结合网格的特点作图即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（4）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由勾股定理和网格的特点可得，
故答案为：；
（3）解：由勾股定理和网格的特点可得，
，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（4）．
18．（1）A城受到台风的影响；（2）4.
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】解：
（1）A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km，
因为300＜500，所以A城要受台风影响；
（2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有
AG=500千米．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM，
在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米，
由勾股定理得，MD==400（千米），
则DG=2DM=800千米，
遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时），
答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度×时间等，构造出直角三角形是解题关键．
19．（1）3.6秒，周长是；（2）2秒，周长是
【分析】（1）设时间是x秒，根据平行四边形的性质得，列式求出x的值，即可得到结果；
（2）设时间是y秒，根据平行四边形的性质得，列式求出y的值，即可得到结果．
【详解】解：（1）设x秒后，四边形ABQP为平行四边形，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴，即，解得，
；
（2）设y秒后，四边形PDCQ为平行四边形，
∵四边形PDCQ为平行四边形，
∴，即，解得，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是利用时间表示出线段长，再根据平行四边形的性质列式求出结果．
20．(1)证明见解析；
(2)菱，理由见解析；
(3)．
【分析】（）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论；
（）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，由菱形的判定定理即可得到结论；
（）根据勾股定理得到，设，得到，根据勾股定理列方程得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）四边形是菱形，理由：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
故答案为：菱；
（3）∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）先由，点是边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，，再由，得出四边形为平行四边形，那么，又，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，又，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形是矩形；
（）由矩形的性质可得，又由（）知四边形是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵，点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵，，
∴，即，
由（）知四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
22．(1)5
(2)见解析
【分析】（1）取BD的中点P，连接PE、PF，根据三角形中位线定理证得∠EPD=∠ABD=30°，∠DPF=60°，得到△EPF是直角三角形，勾股定理求出EF即可；
（2）由PEAB，推出∠ABD+∠BPE=180°，根据∠BDC﹣∠ABD=90°，得到∠BDC﹣（180°-∠BPE）=90°，求出∠BDC+∠BPE=270°，得到∠EPF=90°，即可推出结论．
【详解】（1）解：取BD的中点P，连接PE、PF，
∵E、F、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PE AB，PE =AB，PF CD，PF =CD，
∵AB=6，CD=8，
∴PE=3，PF =4，
∵PEAB，PFCD，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠BPF=∠BDC=120°，
∴∠DPF=60°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°，
∴△EPF是直角三角形，
∴EF=；
（2）∵PEAB，
∴∠ABD+∠BPE=180°，
∵∠BDC﹣∠ABD=90°，
∴∠BDC﹣（180°-∠BPE）=90°，
∴∠BDC+∠BPE=270°，
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2．
∵PE =AB，PF =CD，
∴(AB)2+(CD)2=EF2．
∴AB2+CD2=4EF2．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理，熟记三角形中位线的性质定理并理解题意中的辅助线的作图方法是解题的关键．