云南省大理白族自治州大理市大理白族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期5月期中检测数学试题

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考试时间：120分钟 满分：150分
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逆用两角和的正弦公式求解.
【详解】.
故选：C
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若直线上有无数个点不在平面内，则
B. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行
C. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面之间的位置关系逐一判断即可.
【详解】对于A，若直线上有无数个点不平面内，则与相交或平行，故A错误；
对于B，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，故B错误；
对于C，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故C错误；
对于D，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故D正确.
故选：D.
3. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为（ ）．
A. B. C. D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出对应的复数，再根据虚部的定义即可得解.
【详解】依题意，
，
故所求复数的虚部为．
故选：A.
4. 在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形特征进行向量运算即可.
【详解】因为为的中点，为的中点，
所以，
又因为，，
所以.
故选：C
5. 正四棱台中，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（ ）
A. 28B. C. D. 74
【答案】A
【解析】
【分析】设正四棱台的高为，根据对角面的面积列出方程求得，结合棱台的体积公式可求解.
【详解】如图，在正四棱台中，因为，可得，
设其高为，则对角面的面积为，解得，
正四棱台的上底面的面积为，下底面面积为，则该正棱台的体积为.
故选：A.
6. 已知水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解.
【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图，
因为斜二测直观图为矩形，，,
则，
可得原图中（右图），,
,
四边形的面积为.
故选：D.
7. 已知为单位向量，向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出向量的模，再根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
又向量为单位向量，向量和的夹角为，
所以向量在向量上的投影向量为：.
故选：B.
8. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（ ）
（提示：）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得.
【详解】因为，可得是等边三角形，千米.
记直线与直线的交点为，
所以为的中点，所以为等腰三角形，
，
又，
所以千米，
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B. 将一个直角梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体
C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
【答案】BD
【解析】
【分析】由圆柱的结构特征分析可判定A，直角梯形可分为直角三角形与矩形的组合，由旋转体概念可判断B，举例可判定C，由棱台的定义可判定D.
【详解】对于A项，圆柱的母线与圆柱的底面圆半径没有关系，可能相等，故A错误；
对于B项，如图所示，直角梯形可以看成是一个直角三角形与矩形组成，由旋转体定义可知该几何体包含一个圆锥和圆柱，符合题意，即B正确；

对于C项，若底面是平行四边形的直四棱柱，侧面符合题意，但不是长方体，即C错误；
对于D项，因为棱台是由棱锥截出，所以棱台可补成棱锥，即D正确.
故选：BD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若与共线，则或
C. 若为单位向量，则
D. 是与非零向量共线的单位向量
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量相等与共线，逐一判断即可.
【详解】依题意，
对于A：若，则，故A正确；
对于B：若与共线，则，故B错误；
对于C：若为单位向量，则，方向不一定相同，故C错误；
对于D：是与非零向量共线的单位向量，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论.
【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确．
对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确．
对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确．
对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：或，．
考点：（1）同角三角函数的基本关系（2）二倍角公式
13. 已知向量，，则与夹角为钝角时，的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据与的夹角为钝角利用平面向量的夹角公式列出不等式，但是要排除两个向量成角时的情况.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以，
即，所以，解得，
同时向量，也不能成的角， 所以，
所以的取值范围为.
故答案：.
14. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为______.
【答案】
【解析】
【分析】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、，即可得到为截面，再根据锥体的体积公式得到，从而得解.
【详解】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、，
因为为的中点，所以且，又，
所以，，所以、、、四点共面，即为截面，
又，其中，
，
所以，
即截面截得四棱锥上部分的体积为，则下部分的体积为，
所以平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值.
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）由复数的运算化简z，再求模长即可；（2）将复数代入方程利用复数相等列关系式求解
【详解】解：（1）复数
，
．
（2）复数是关于的方程的一个根，
，即
，
解得，．
16. 如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若，求；
（2）若，求（用表示）；
（3）若，求向量的夹角的大小.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，应用向量数量积的运算律求；
（2）由，进而两边平方即可求结果.
（3）求得，，利用向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
根据题意，得到，
所以
【小问2详解】
【小问3详解】
，又因为
17. 如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：四点共面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论；
（2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面.
【小问1详解】
因为分别为的中点，则，，
又因为，，则，，
所以四边形是平行四边形.
【小问2详解】
因为，，为中点，则，，
可知四边形为平行四边形，则，，
由（1）知：，，可得，，
所以四边形为平行四边形，则，
即，所以四点共面.
18. 在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出即可.
（2）利用边角转化求出角，进而由正弦定理求出，最后求出三角形面积.
【小问1详解】
在中，由，则，
由余弦定理知：，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，即，
由正弦定理，
由，所以，，
由，，解得：或，
即或，
当时，，
在中，由正弦定理，所以，
所以；
当时，三角形为等边三角形，，
.
综上：当时，；当时，
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）将（1）中函数的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图像向左平移个单位长度，得到的图像，已知，，问在的图像上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）对表达式进行恒等变换求得，然后根据伴随向量的定义即可求解；
（2）先求出，然后设，再根据结合数量积可得到关于的方程，最后讨方程的全部解即可.
【小问1详解】
我们有
，
故的伴随向量.
【小问2详解】
由（1）知，
设.
一方面，若满足条件，则由，，知，.
再由，知，即.
此即，即.
从而，这表明，故.
另一方面，当时，有，此时，故，所以此时的满足条件.
所以满足条件的点存在，仅有一个.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，对一般方法难以使用的方程，可以通过不等式等方式确定方程的解.