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湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期模拟预测数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期模拟预测数学试题（原卷版+解析版），文件包含湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期模拟预测数学试题原卷版docx、湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期模拟预测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 设（虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称
C. 为偶函数D. 的最小正周期为
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知，，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A. 事件A与B相互独立B. 事件A与C为互斥事件
C. D.
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A. 该次数学史知识测试及格率超过90%
B. 该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
10. 给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 非零向量，满足，则与的夹角是
11. 已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的方程为
B. 面积的最小值为2
C. 圆的面积的最小值为
D. 切点的连线过定点
12. 已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）
A. 当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B. 当时，四面体的体积为定值
C. 当点P到平面ABCD距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D. 当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知函数同时满足以下条件：
①定义域；②值域为；③，都有.
试写出一个函数解析式_________.
14. 设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.
15. 函数的最大值为__________.
16. 随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______．
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如果数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
19. 如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD＝2，且．
（1）若，求△DBC的面积；
（2）当时，求△ACD面积的取值范围．
20. 如图，是圆直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.
（1）记平面与平面的交线为，求证：直线平面；
（2）若，点是的中点，求二面角的正弦值.
21. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点两点.
（1）若双曲线的右支上的三个不同的点关于轴的对称点分别为双曲线的左右焦点，试求的值；
（2）设过点的直线交曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.
22. 已知关于方程有两个不相等的正实根和，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 设（虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称
C. 为偶函数D. 的最小正周期为
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知，，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A. 事件A与B相互独立B. 事件A与C为互斥事件
C. D.
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A. 该次数学史知识测试及格率超过90%
B. 该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
10. 给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 非零向量，满足，则与的夹角是
11. 已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的方程为
B. 面积的最小值为2
C. 圆的面积的最小值为
D. 切点的连线过定点
12. 已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）
A. 当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B. 当时，四面体的体积为定值
C. 当点P到平面ABCD距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D. 当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知函数同时满足以下条件：
①定义域；②值域为；③，都有.
试写出一个函数解析式_________.
14. 设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.
15. 函数的最大值为__________.
16. 随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______．
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如果数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
19. 如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD＝2，且．
（1）若，求△DBC的面积；
（2）当时，求△ACD面积的取值范围．
20. 如图，是圆直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.
（1）记平面与平面的交线为，求证：直线平面；
（2）若，点是的中点，求二面角的正弦值.
21. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点两点.
（1）若双曲线的右支上的三个不同的点关于轴的对称点分别为双曲线的左右焦点，试求的值；
（2）设过点的直线交曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.
22. 已知关于方程有两个不相等的正实根和，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
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