2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区高一（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=60∘，则BA⋅BC等于( )
A. 12B. 6C. −6D. −12
2.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为2 5，则其体积为( )
A. 84 2B. 80 23C. 80 2D. 28 2
3.在△ABC中，已知b=20，c=10 3，C=60∘，则此三角形的解的情况是( )
A. 有一解B. 有两解
C. 无解D. 有解但解的个数不确定
4.已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//nB. l⊥β，α⊥β⇒l//α
C. m⊥α，m⊥n⇒n//αD. α//β，l⊥α⇒l⊥β
5.下列结论错误的是( )
A. 在△ABC中，若a>b，则csA0恒成立
C. 在△ABC中，若C=π4，a2−c2=bc，则△ABC为等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若b=3，A=60∘，△ABC面积S=3 3，则△ABC外接圆半径为2 393
6.如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D−EF−B的平面角为锐角，记二面角D−EF−B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，则( )
A. β>α，β>γB. α>β，β>γC. α>β，γ>βD. α>γ，γ>β
7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0b，求a2−ac+12c2的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，O为BC的中点，A1O⊥平面ABC.
(1)求证：A1B⊥AO；
(2)若AA1= 6，求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值；
(3)若A1A=4，点M在线段A1A上，是否存在点M使得锐二面角M−BC−A1的大小为π3，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
对于给定的正整数n，记集合Rn={α|α=(x1,x2,x3,⋅⋅⋅,xn),xj∈R,j=1,2,3,⋅⋅⋅,n}，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0=(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量．
设k∈R，α=(a1,a2,⋅⋅⋅,an)∈Rn，β=(b1,b2,⋅⋅⋅,bn)∈Rn，定义加法和数乘：α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,an+bn)，kα=(ka1,ka2,⋅⋅⋅,kan).
对一组向量α1，α2，…，αs(s∈N+,s≥2)，若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+ksαs=0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
(Ⅰ)对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①α=(1,1,1)，β=(2,2,2)；
②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)，γ=(5,1,4)；
③α=(1,1,0)，β=(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ=(1,1,1).
(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(Ⅲ)已知m(m≥2)个向量α1，α2，…，αm线性相关，但其中任意m−1个都线性无关，证明下列结论：
(ⅰ)如果存在等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0(ki∈R,i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)，则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
(ⅱ)如果两个等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0，l1α1+l2α2+⋅⋅⋅+lmαm=0(ki∈R,li∈R,i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)同时成立，其中l1≠0，则k1l1=k2l2=⋅⋅⋅=kmlm.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由AB=3，BC=4，∠B=60∘，
可得BA⋅BC=3×4×12=6.
故选：B.
根据平面向量数量积的定义即可求解．
本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意可得正四棱台的高为 (2 5)2−(8 2−2 22)2= 2，
∴正四棱台的为13×(22+82+2×8)× 2=28 2.
故选：D.
根据题意先求出正四棱台的高，再根据棱台的体积公式，即可求解．
本题考查正四棱台的体积的求解，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由正弦定理可得，bsinB=csinC，即20sinB=10 3sin60∘，
∴sinB=1，
又B为△ABC的内角，
∴B=90∘，则A=30∘，
∴该三角形有唯一解．
故选：A.
由正弦定理求得B，由此即可作出判断．
本题考查三角形解得情况，考查正弦定理的运用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故B错误；
若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错误；
若α//β，l⊥α根据线面垂直的判定方法，易得l⊥β，故D正确；
故选D
由面面平行的性质，可以判断A的对错，由线面平行的定义及判定方法可判断B，C的真假，由线面垂直的定义及判定方法，可以判断D的正误．
本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面垂直和平行的定义、性质、判定方法是解答此类问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A中，因为a>b，所以π>A>B>0，
由余弦函数的单调性，可得csA0，
所以b2+c2>a2恒成立，所以B正确；
C中，因为C=π4，a2−c2=bc，①
由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcsπ4，②，
②-①可得b2= 2ab−bc，可得b= 2a−c，③
将③代入①可得a2−c2=( 2a−c)c，
可得a= 2c，在代入③，可得b=c，
即B=C=π4，A=π2，所以该三角形为等腰直角三角形，所以C正确；
D中，△ABC中，若b=3，A=60∘，△ABC面积S=3 3，
所以12bcsinA=3 3，即12×3×c× 32=3 3，解得c=4，
由余弦定理可得a= b2+c2−2bccsA= 9+16−2×3×4×12= 13，
则△ABC外接圆的半径为R，则asinA=2R，
所以R= 132× 32= 393，所以D正确．
故选：D.
A中，由大边对大角可得A>B，由余弦函数的单调性，可得csA与csB的大小关系，判断出A的真假；B中，由锐角三角形中，每个角的余弦值都大于0，由余弦定理可得csA的表达式，进而可得a，b，c的关系，判断出B的真假；C中，由题意及余弦定理可得a与c，b与c的关系，可得该三角形为等腰直角三角形，判断出C的真假；D中，由三角形面积公式可得c的值，再由余弦定理可得a的值，进而求出该三角形的外接圆的半径的大小，判断出D的真假．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：过C作CO⊥平面ABFE，垂足为O，连结EO，
∵矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D−EF−B的平面角为锐角，
记二面角D−EF−B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，
∴α=∠AED，β=∠CEO，γ=∠CEF，
∵CF>CO，
∴α>β，γ>β.
故选：C.
过C作CO⊥平面ABFE，垂足为O，连结EO，则α=∠AED，β=∠CEO，γ=∠CEF，由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查线面角、二面角、线线角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点B(0,1)，
∴2sinφ=1，解得sinφ=12，
又0