2023-2024学年云南省大理民族中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年云南省大理民族中学高二（下）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−2x>0}，B={1,2,3,4}，则(∁RA)∩B=( )
A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4}
2.已知命题p：∀x>0，ex+3x≤2，则¬p为( )
A. ∃x≤0，ex+3x>2B. ∃x>0，ex+3x>2
C. ∃x>0，ex+3x≤2D. ∀x>0，ex+3x>2
3.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则lg3a1+lg3a2+…lg3a10=( )
A. 12B. 10C. 8D. 2+lg35
4.已知空间向量a=(2,−2,1)，b=(3,0,4)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 109bB. 25bC. 109aD. 25a
5.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，A=135∘，则b+csinB+sinC的值为( )
A. 24B. 22C. 2D. 2 2
6.春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )
A. 192B. 240C. 96D. 48
7.已知函数f(x)=ex(2x−1)x−1，则f(x)的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.已知a，b为正实数，直线y=x−2a与曲线y=ln(x+b)相切，则1a+2b的最小值是( )
A. 8B. 4 2C. 6D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.(x+2x)6的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共6项B. 常数项为64
C. 所有项的系数之和为729D. 所有项的二项式系数之和为64
10.设直线l：y=kx+1(k∈R)与圆C：x2+y2=5，则下列结论正确的为( )
A. l与C可能相离B. l不可能将C的周长平分
C. 当k=1时，l被C截得的弦长为3 22D. l被C截得的最短弦长为4
11.已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上一点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆C的离心率为 32
B. 满足条件PF1⊥PF2的点P有两个
C. 以A1，A2为焦点，以F1，F2为顶点的双曲线的渐近线方程为y=± 33x
D. △PF1F2的内切圆面积的最大值为(21−12 3)π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯饮料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有______种.(用数字作答)
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，an+2=an+1−an(n∈N*)，则a4=______，S2024=______.
14.函数f(x)=lnxx−k2有两个零点，则k的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−3x.
(1)求曲线f(x)在x=0处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
16.(本小题15分)
设数列{an}满足a1=3，an+1=3an−4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
17.(本小题15分)
某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142.抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]五组，并画出了其频率分布直方图．
(1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
(2)估计乙组20名同学成绩的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替)；
(3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= 5，AC=AA1=2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B−CD−C1的余弦值；
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．
19.(本小题17分)
已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，记点M的坐标为(5,0).
(1)若点A和B到抛物线准线的距离分别为32和3，求|AB|；
(2)若斜率k=1，求△AMB的面积；
(3)若△AMB是等腰三角形且|MA|=|MB|，求实数k.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
化简集合A，根据补集，交集的定义进行求解即可．
【解答】
解：A={x|x2−2x>0}={x|x>2或x0，ex+3x≤2是全称量词命题，所以¬p为“∃x>0，ex+3x>2”，
故选：B.
根据题意，由全称量词命题与特称量词命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称量词命题与特称量词命题的关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴lg3a1+lg3a2+…lg3a10=lg3(a5a6)5=5lg39=10
故选：B.
先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得lg3a1+lg3a2+…lg3a10=lg3(a5a6)5答案可得．
本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．
4.【答案】C
【解析】解：因为空间向量a=(2,−2,1)，b=(3,0,4)，
所以a⋅b=2×3−2×0+1×4=10，|a|= 22+(−2)2+1=3，
所以向量b在向量a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=109a.
故选：C.
根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可．
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为a=1，A=135∘，
由正弦定理bsinB=csinC=asinA=1sin135∘= 2，可得b= 2sinB，c= 2sinC，
则b+csinB+sinC= 2(sinB+sinC)sinB+sinC= 2.
故选：C.
由已知利用正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：甲、乙、丙等七人恰好买到了七张连号的电影票，
若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，
若丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲、乙的顺序有A22种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有A44种情况，
故不同的坐法的种数为C41A22A44=192.
故选：A.
丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可．
本题考查了相邻问题的排列计算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：f(x)=ex(2x−1)x−1，定义域为{x|x≠1}，
∴f′(x)=ex(2x2−3x)(x−1)2，
令f′(x)>0⇒x∈(−∞,0)∪(3,+∞)，
所以f(x)在(−∞,0)和(3,+∞)上单调递增，排除AD，
当x0，g(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，g′(x)0且g(x)→0，
∴函数g(x)的大致图像，如图所示，
由图像可知，00可得x>1或x