必修 第一册1.1 集合的概念与表示精品综合训练题

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考查题型一 判断一组对象能否构成集合
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形B．抛物线y=x2上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近3的所有实数
【答案】D
【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.
【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．
故选：D．
2．下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
3．下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）．
①所有的好人；
②平面上到原点的距离等于2的点；
③正三角形；
④比较小的正整数；
⑤满足不等式x+1>0的x的取值．
【答案】②③⑤
【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案.
【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确，
故答案为：②③⑤.
考查题型二 元素与集合的关系
1．用符号“∈”和“∉”填空：
（1）12 N； （2）1 Z−； （3）−2 R；
（4）π Q+； （5）32 N； （6）0 ∅．
【答案】 ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉
【分析】根据元素与集合的关系判断.
【详解】由N,Z−,R,Q+,∅所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.
故答案为：（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①2的近似值的全体构成一个集合 ； ②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z ；④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.
【详解】①2的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；
②自然数集N中最小的元素是0，正确；
③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z，整数的相反数还是整数，正确，
④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，
故选：C．
考查题型三 集合的表示法
1．用列举法可将集合x,y∣x∈0,1,y∈1,2表示为（ ）
A．0,1B．1,2
C．0,1,1,2D．0,1,0,2,1,1,1,2
【答案】D
【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解.
【详解】x=0,y=1;x=0,y=2;x=1,y=1;x=1,y=2.
∴集合x,y∣x∈0,1,y∈1,2表示为0,1,0,2,1,1,1,2.
故选：D.
2．集合{1,2,3,2,5,⋯}用描述法可表示为（ ）
A．{x∣x≥1}B．{x∣x≤5}C．{x∣x=n}D．x∣x=n,n∈N∗
【答案】D
【分析】根据集合中的元素特征即可求解.
【详解】{1,2,3,2,5,⋯}中的元素满足n，所以{1,2,3,2,5,⋯}=x∣x=n,n∈N∗，
故选：D
（多选题）3．下列说法错误的是( )
A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}
B．方程x−2+|y+2|=0的解集为−2,2
C．集合{y|y=x2}与{x,y|y=x2}是同一个集合
D．若A={x∈Z|−1≤x≤1}，则−1.1∈A
【答案】BCD
【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．
【详解】对于A：因为xy>0等价于x>0y>0或x<0y<0，
如果x>0y>0，则点在第一象限，如果x<0y<0，则点在第三象限，
所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}，故A正确；
对于B：由于方程x−2+|y+2|=0的解集等价于x−2=0y+2=0，解得x=2y=−2，
故解集为{(−2,2)}，故B错误；
对于C：集合{y|y=x2}表示y=x2的函数值y的取值范围，是数集，
集合{x,y|y=x2}表示抛物线y=x2的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；
对于D：因为A={x∈Z|−1≤x≤1}=−1,0,1，则−1.1∉A，故D错误，
故选：BCD．
4、区间(－3，2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3C．{x|－3【答案】C
【分析】考查用区间表示集合
【详解】由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3考查题型四 根据集合的元素的特性求参数
1．已知集合A=1,a2+4a,a−2，−3∈A，则a=（ ）
A．−1B．−3C．−3或−1D．3
【答案】B
【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.
【详解】∵−3∈A，∴−3=a2+4a或−3=a−2，
若−3=a2+4a，解得a=−1或a=−3，
当a=−1时，a2+4a=a−2=−3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a=−3时，集合A=1,−3,−5，满足题意，故a=−3成立，
若−3=a−2，解得a=−1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，
综上所述，a=−3．
故选：B．
2．若A=xx2+x−a>0，且1∉A，则a的取值范围为 .
【答案】a≥2
【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.
【详解】由于1∉A，所以1+1−a≤0，解得a≥2，
故答案为：a≥2
3．数集1,a,a2−a中的元素a不能取的值是 .
【答案】0，1，2，1±52
【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解.
【详解】由集合中的元素满足互异性可知a≠1a2−a≠1a2−a≠a，解得a≠1且a≠1±52且a≠2且a≠0,
故答案为：0，1，2，1±52
4．如果集合A=x|ax2+ax+1=0至多有一个元素，求实数a的取值范围.
【答案】0≤a≤4
【分析】讨论a=0、a≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求参数范围.
【详解】若a=0，此时A=∅，符合题意；
若a≠0，要使集合至多有一个元素，则Δ=a2−4a≤0，故0综上，0≤a≤4.
考查题型五 求集合中元素的个数
1．若集合M={0,1,2},N={(x,y)∣x,y∈M}，则N中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．9D．10
【答案】C
【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解.
【详解】由M={0,1,2},N={(x,y)∣x,y∈M}可知集合N=0,0,0,1,0,2,1,0,1,1,1,2,2,0,2,1,2,2,故共有9个元素，
故选：C
2．集合A={一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
【答案】C
【分析】考虑已知角度为底角或顶角，已知边为腰或底，从而得到答案.
【详解】当顶角为30°时，若边长为2的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为2的边为底，有1个等腰三角形；当底角为30°时，若边长为2的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为2的边为底，有1个等腰三角形；
经检验，这四个等腰三角形没有全等的情况，故集合A共有4个元素.
故选：C.
3．由a,−a,a,a2构成的集合中，元素个数最多是 .
【答案】2
【分析】分a=0与a≠0讨论即可求解.
【详解】当a=0时，a=−a=a=a2=0，此时元素个数为1；
当a≠0时，a2=a=a,a>0−a,a<0，
所以一定与a或−a中的一个一致，此时元素个数为2.
所以由a,−a,|a|,a2构成的集合中，元素个数最多是2个.
故答案为:2.
4．设集合A=1,2,3，B=4,5，M=xx=a+b,a∈A,b∈B，则M中的元素个数为 ．
【答案】4
【分析】求出所有a+b的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合M中的元素x=a+b，a∈A，b∈B，所以当b=4时，a=1，2，3，此时x=5，6，7．当b=5时，a=1，2，3，此时x=6，7，8．
根据集合元素的互异性可知，x=5，6，7，8．即M=5,6,7,8，共有4个元素．
故答案为：4．
（多选题）1.若集合A=xx2+x−6=0，则下列关系正确的是（ ）
A．−2∉AB．2∉AC．3∈AD．−3∈A
【答案】AD
【分析】解方程求得集合A，由此确定正确答案.
【详解】由x2+x−6=0可得x+3x−2=0，解得x=−3或x=2，所以A=−3,2，因此−2∉A，2∈A，3∉A，−3∈A，
故选：AD
（多选题）2．已知x，y，z为非零实数，代数式xx+yy+zz+xyzxyz的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A．0∈MB．2∈MC．−4∈MD．4∈M
【答案】ACD
【分析】根据已知，通过分类讨论对含绝对值的式子去绝对值计算.
【详解】当x>0,y>0,z>0时，xx+yy+zz+xyzxyz=xx+yy+zz+xyzxyz=4，
当x,y,z中有两个大于0，另一个小于0时，xx+yy+zz+xyzxyz=0，
当x,y,z中有两个小于0，另一个大于0时，xx+yy+zz+xyzxyz=0，
当x<0,y<0,z<0时，xx+yy+zz+xyzxyz=x−x+y−y+z−z+xyz−xyz=−4，
所以代数式xx+yy+zz+xyzxyz的值组成的集合是M=4,0,−4，故B错误.
故选：ACD.
（多选题）3．集合A=x∈N63−x∈N，集合A还可以表示为（ ）
A．3,6B．xxx2−3x+2=0
C．0,1,2D．x∈N−1≤x<3
【答案】BCD
【分析】用列举法表示集合A及各选项的集合，对比即可得出答案.
【详解】A=x∈N63−x∈N=0,1,2，
选项A，不符合；
选项B，xxx2−3x+2=0=xxx−1x−2=0=0,1,2，符合；
选项C，符合；
选项D，x∈N−1≤x<3=0,1,2，符合，
故选：BCD.
4．若a2,0,−1=a,b,0，则(ab)2022的值是（ ）
A．0B．1C．-1D．±1
【答案】B
【分析】根据集合相等列出方程组，求出a,b，检验是否满足元素互异性，最后代入求解.
【详解】因为a2,0,−1=a,b,0，所以①a2=ab=−1或②a2=ba=−1，
由①得a=0b=−1或a=1b=−1，其中a=0b=−1与元素互异性矛盾，舍去，
a=1b=−1符合题意，
由②得b=1a=−1，符合题意，
两种情况代入(ab)2022=(−1)2022=1，答案相同.
故选：B
5．已知集合X=1,2,5,7,11,13,16,17，设xi、xj∈X，若方程xi-xj=kk>0至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值为 .
【答案】4,6
【分析】先将xi-xj的可能结果列出，然后根据xi-xj相同结果出现的次数确定出k的取值集合.
【详解】将xi-xj=k表示为xi,xj,k，可得如下结果：
17,1,16,16,1,15,13,1,12,11,1,10,7,1,6,5,1,4,2,1,1，
17,2,15,16,2,14,13,2,11,11,2,9,7,2,5,5,2,3,
17,5,12,16,5,11,13,5,8,11,5,6,7,5,2,
17,7,10,16,7,9,13,7,6,11,7,4,
17,11,7,16,11,5,13,11,2,
17,13,4,16,13,3,
17,16,1,
其中k为4，6都出现了3次，所以若方程xi-xj=k(k>0)至少有三组不同的解，
则k的取值集合为4,6，
故答案为：4,6