高中数学北师大版 (2019)必修第一册3.2 基本不等式精品课时训练

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第一册3.2 基本不等式精品课时训练，文件包含北师大版数学高一必修第一册32基本不等式分层练习原卷版docx、北师大版数学高一必修第一册32基本不等式分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页，欢迎下载使用。

考查题型一利用基本不等式比较大小
1．如果0A．abC．ab【答案】B
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出ab【详解】由已知0因为0∴a故选：B
2．已知a、b>1且a≠b，下列各式中最大的是（）
A．21a+1bB．abC．a+b2D．a+b22
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及不等式的基本性质可得出结果.
【详解】因为a、b>1，a≠b,，则1a+1b>2ab，所以，21a+1b可得在选项ABC中，选项C最大，
又因为a、b>1，故a+b2>1，所以a+b22>a+b2，
故选：D．
3．在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为a，b，设物体的真实质量为G，则( )
A．a+b2=GB．a+b2≤GC．a+b2>GD．a+b【答案】C
【分析】利用杠杆原理和基本不等式即可求解.
【详解】设天平的左、右臂长分别为l1，l2，物体放在左、右托盘称得的质量分别为a，b，真实质量为G，
由杠杆平衡原理知：l1⋅G=l2⋅a，l2⋅G=l1⋅b，
由上式得G2=ab，即G=ab，
由于l1≠l2，故a≠b，由基本不等式，得a+b2>ab=G.
故选：C.
考查题型二利用基本不等式求最值：知和求积
1．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（）
A．2B．2C．4
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】ab=12a⋅2b≤12a+2b22=12×4=2，
等号成立条件是a=2b，即a+2b=4b=4时取等号，
即当且仅当a=2,b=1时取等号，
所以ab的最大值是2.
故选：B.
2．已知0A．13B．12C．23D．34
【答案】D
【分析】x3−2x分子分母乘以2，直接利用基本不等式即可.
【详解】∵00
则由基本不等式得，x3−2x=2x(3−2x)2≤(2x+3−2x2)22=98，
当且仅当2x=3−2x，即x=34时，等号成立，
故x3−2x取得最大值时x的值为34.
故选：D.
3．已知0A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为0所以y=2x4−x2=2x24−x2=2x2+4−x222=4，
当且仅当x2=4−x2时取等号，因为0故选：B
考查题型三利用基本不等式求最值：知积求和
1．若x>0,则fx=4x+9x的最小值为（）
A．4B．9C．12D．21
【答案】C
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为x>0,由基本不等式得:
fx=4x+9x≥24x⋅9x=12,当且仅当4x=9x,即x=32时等号成立,
即fxmin=12.
故选:C.
2．函数fx=x+1x−2x>2的最小值为（）
A．22B．22+2C．4D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得函数fx的最小值.
【详解】因为x>2，则x−2>0，
由基本不等式可得fx=x−2+1x−2+2≥2x−2⋅1x−2+2=4，
当且仅当x−2=1x−2⇒x=3时，等号成立，故函数fx=x+1x−2x>2的最小值为4.
故选：C.
3．若正数a,b满足ab=4，则a+b的最小值是．
【答案】4
【分析】利用基本不等式直接求解即可.
【详解】∵a>0，b>0，ab=4，∴a+b≥2ab=4（当且仅当a=b=2时取等号），
∴a+b的最小值为4.
故答案为：4.
4．函数y=x2+x+3x−2x>2的最小值为．
【答案】11
【分析】将函数化为y=x−2+9x−2+5，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由y=(x−2)2+5(x−2)+9x−2=x−2+9x−2+5，又x−2>0，
所以y≥2(x−2)⋅9x−2+5=11，当且仅当x−2=9x−2，即x=5时等号成立，
所以原函数的最小值为11.
故答案为：11
5．设x>0，则函数y=2−4x−x的最大值为；此时x的值是 .
【答案】 −2 2
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】解：因为x>0，
所以函数y=2−4x−x=2−4x+x≤2−24x⋅x=−2，
当且仅当4x=x即x=2时，等号成立，
所以函数y=2−4x−x的最大值为−2；此时x的值是2，
故答案为：−2；2
考查题型四利用基本不等式求最值：知和求和
1．设m,n为正数，且m+n=2，则1m+1n的最小值为（）
A．2B．12C．4D．32
【答案】A
【分析】将1m+1n变形为12(m+n)(1m+1n)，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意m,n为正数，且m+n=2，
则1m+1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2nm⋅mn)=2，
当且仅当nm=mn，结合m+n=2，即m=n=1时等号成立，即1m+1n的最小值为2，
故选：A
2．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】方法一由y=x5x−3，从而3x+4y=3x−35+1225x−35+ 135，利用基本不等式求解；方法二对原条件式转化得3x+1y=5，得到3x+4y=159+4+12yx+3xy ，利用基本不等式求解；
【详解】解：方法一由条件得y=x5x−3，
由x>0，y>0知x>35，
从而3x+4y=3x+4x5x−3=3x+4x−35+1255x−35=3x−35+1225x−35+ 135≥23625+135=5，
当且仅当3x−35=1225x−35，即x=1，y=12时取等号．
故3x+4y的最小值为5．
方法二对原条件式转化得3x+1y=5，
则3x+4y=153x+1y3x+4y=159+4+12yx+3xy≥ 1513+212yx⋅3xy=5，
当且仅当12yx=3xy，x+3y=5xy，即x=1，y=12时取等号．
故3x+4y的最小值为5．
故选：D
3．已知x+y=1,y>0,x>0，则12x+xy+1的最小值为（）
A．54B．0C．1D．22
【答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】∵x+y=1，∴x+y+1=2，
∴12(x+y+1)2x+xy+1=14+y+14x+xy+1，
∵y>0,x>0，
∴y+14x>0,xy+1>0，
∴12x+xy+1=14+y+14x+xy+1≥14+2y+14x⋅xy+1=54，
当且仅当y+14x=xy+1，即x=23，y=13时等号成立，
故选：A
考查题型五利用基本不等式证明不等式
1．已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1a+b+1b+c+1c≥10．
【答案】证明见解析
【分析】将证明式子中的1用a+b+c=1代换，整理为4+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)，根据基本不等式即可证明．
【详解】因为a，b，c都为正实数，且a+b+c=1，
所以(a+1a)+(b+1b)+(c+1c)
=(a+a+b+ca)+(b+a+b+cb)+(c+a+b+cc)
=4+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc) ≥4+2ba⋅ab+2ca⋅ac+2cb⋅bc=4+2+2+2=10，
当且仅当a=b=c=13时取等号，
所以a+1a+b+1b+c+1c≥10．
2．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
(1)a2+b2+c2≥13；
(2)a2b+b2c+c2a≥1.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由a+b+c=1，则a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1，根据2ab≤a2+b2，2ac≤a2+c2，2bc≤b2+c2，即可得证；
（2）根据a2b+b≥2a，b2c+c≥2c，c2a+a≥2c，即可得证.
【详解】（1）由a+b+c=1，得a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1，
又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2+b2，2ac≤a2+c2，2bc≤b2+c2，
当且仅当a=b=c=13时，上述不等式等号均成立，
所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2，
即3a2+b2+c2≥1，
所以a2+b2+c2≥13，当且仅当a=b=c=13时等号成立；
（2）因为a，b，c均为正数，
则a2b+b≥2a，b2c+c≥2c，c2a+a≥2c，当且仅当a=b=c=13时，不等式等号均成立，
则a2b+b2c+c2a+b+c+a≥2a+2b+2c，
即a2b+b2c+c2a≥a+b+c=1，当且仅当a=b=c=13时等号成立.
所以a2b+b2c+c2a≥1.
3．已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.
【答案】证明见解析
【分析】利用a+b=1把1+1a1+1b化为(2+ba)(2+ab)，展开利用基本不等式求最值即可证明.
【详解】因为a>0，b>0，a+b=1，
所以1+1a1+1b=(1+a+ba)(1+a+bb)=(2+ba)(2+ab) =5+2ab+2ba
≥5+22ba×2ab=9，当且仅当2ba=2ab，即a=b=12时等号成立.
故原题得证.
考查题型六利用基本不等式解决恒成立问题
1．若对x>0，y>0，有(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立，则m的取值范围是（）
A．m≤4B．m>4
C．m<0D．m≤8
【答案】D
【分析】首先由基本不等式求出(x+2y)⋅(2x+1y)的最小值，由(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立即可求出m的范围．
【详解】因为x>0，y>0，所以(x+2y)⋅(2x+1y)=2+xy+4yx+2≥4+2xy⋅4yx=8，当且仅当2y=x时取等号，所以m≤8，
故选：D．
2．若对任意x>0，x3+5x2+4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．a≥5B．5≤a≤9C．a≤5D．a≤9
【答案】D
【分析】转化为不等式a≤x3+5x2+4xx2=x+4x+5恒成立，结合基本不等式求得x+4x+5≥9，即可求解.
【详解】因为对任意x>0，不等式x3+5x2+4x≥ax2，
即不等式a≤x3+5x2+4xx2=x+4x+5恒成立，
因为x>0，可得x+4x≥24=4，当且仅当x=4x时，即x=2等号成立，
所以x+4x+5≥9，所以a≤9.
故选：D.
3．若关于x的不等式x+2x>a在区间1,5上恒成立，则a的取值范围是（）
A．22,+∞B．−∞,22
C．−∞,3D．−∞,275
【答案】B
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为x∈1,5，所以x+2x>2x⋅2x=22，当且仅当x=2x时取等号，即当x=2时取等号，因此要想关于x的不等式x+2x>a在区间1,5上恒成立，只需a<22.
故选：B
考查题型七基本不等式的实际应用问题
1．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为fm=1200m2+m+200（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（）
A．100台B．200台C．300台D．400台
【答案】B
【分析】由题意求出平均成本的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题意，
fmm=1200m+1+200m≥21200m⋅200m+1=3，
当且仅当m200=200m，即m=200时，等号成立，
所以应购买200台，使得每台设备的平均成本最低.
故选：B
2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米.
(1)若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30米，求2x+yxy的最小值.
【答案】(1)菜园的长x为62m，宽y为32m时，所用篱笆总长最小
(2)310
【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】（1）由题意得，xy=36，所用篱笆总长为x+2y.
因为x+2y≥22xy=2×2×36=122，
当且仅当x=2y时，即x=62，y=32时等号成立.
所以菜园的长x为62m，宽y为32m时，所用篱笆总长最小.
（2）由题意得，x+2y=30，
2x+yxy=1x+2y=1301x+2yx+2y=1305+2yx+2xy≥1305+22yx⋅2xy=310，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=10时等号成立，
所以2x+yxy的最小值是310.
1．下列不等式恒成立的是（）
A．a2+b2≤2abB．a2+b2≥2ab
C．a+b≥2abD．ba【答案】B
【分析】根据基本不等式的推导式结合作差法可直接判定结果.其余选项可用举反例和做差法来判定.
【详解】由于a2+b2−2ab=a−b2≥0，可得a2+b2≥2ab，可知选项A错误，选项B正确；
a=−1,b=1可得a+b=0,2ab=2,则a+b<2ab，可知选项C错误；
ba−b+ma+m=ba+m−ab+maa+m=mb−aaa+m正负不定，
则ba,b+ma+m大小不定，可知选项D错误.
故选项：B.
(多选题)2．若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是（）
A．ab≤1B．a+b≤2
C．a2+b2≥2D．1a+1b≤2
（多选题）3．下列四个命题中，是真命题的是（）
A．∀x∈R，且x≠0，x+1x≥2
B．∃x0∈R，使得x02+1≤2x0
C．若x>0，y>0，x2+y22≥2xyx+y
D．当10恒成立，则实数m的取值范围是m<4
【答案】BCD
【分析】对A，当x<0时，不成立；
对B，当x0=1时，x02+1≤2x0成立；
对C，将分式化整式，等价转化为证明命题x2+y2x+y2≥8x2y2即可；
对D，分离参数转化为求函数最值求解.
【详解】对选项A，当x<0时，x+1x<0，不满足x+1x≥2，故A错误；
对选项B，当x0=1时，x02+1≤2x0成立，
即∃x0∈R，使得x02+1≤2x0成立，故B正确；
对选项C，由x>0，y>0，
x2+y22≥2xyx+y⇔ x2+y2x+y2≥8x2y2.
又x2+y2≥2xy>0，且x+y2≥(2xy)2=4xy>0，
两式相乘得x2+y2x+y2≥8x2y2，结论得证，故C正确；
对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可.
因为10得m设f(x)=x+4x，x∈(1,3)
则f(x)≥2x⋅4x=4，当且仅当x=4x即x=2时，等号成立.
故f(x)的最小值为4，则m<4，故D正确.
故选：BCD.
4．3−aa+6，−6【答案】92/4.5
【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.
【详解】因为−60，a+6>0，由基本不等式可得
3−aa+6≤3−a+a−62=92，当且仅当3−a=a+6，即a=−32时，等号成立．所以3−aa+6，−6故答案为：92.
5．已知x>1,y>1,x+y=4.
(1)求证：xy≤4；
(2)求1x−1+1y−1的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）利用基本不等式有xy≤x+y22，即可证结论；
（2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】（1）由x>1,y>1,x+y=4，xy≤x+y22=4，当且仅当x=y=2时取等号.
所以xy≤4，得证.
（2）1x−1+1y−1=121x−1+1y−1x−1+y−1 =122+y−1x−1+x−1y−1≥122+2=2,
当且仅当x=2,y=2时取等号，故1x−1+1y−1的最小值为2.