高中数学北师大版 (2019)必修第一册4.3 一元二次不等式的应用优秀同步练习题

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考查题型一一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系
1．不等式ax2−bx+c>0的解集为x−2A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得方程ax2−bx+c=0的两个根为x=−2和x=1，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a、b、c的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】因为ax2−bx+c>0的解集为x−2所以方程ax2−bx+c=0的两根分别为−2和1，且a<0，
则−2+1=ba,−2×1=ca,变形可得b=−a,c=−2a,
故函数y=ax2−bx+c=ax2+ax−2a=ax+2x−1的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为1,0和−2,0，故A选项的图象符合.
故选：A
2．已知关于x的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 x|−1A．a>0
B．x=−1是方程ax2+bx+c =0的根
C．cx2+bx+a>0的解集为x|−1D．cx2+bx+a>0的解集为x|x<−1或x>12
【答案】BD
【分析】对AB：根据二次方程和二次不等式的关系，即可判断；对CD：根据题意求得a,b,c关系，再求解不含参数的一元二次不等式即可.
【详解】对A：根据题意，易知a<0，故A错误；
对B：根据题意，−1,2都是方程ax2+bx+c =0的根，故B正确；
对C：根据题意，−1+2=−ba,−2=ca，则b=−a,c=−2a，又a<0，
故不等式cx2+bx+a>0可化为−2ax2−ax+a>0，2x2+x−1>0，
即2x−1x+1>0，解得x∈x|x<−1或x>12，故C错误，D正确.
故选：BD.
3．已知二次函数fx=ax2+bx+c，且fx<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为fx= .
【答案】x2−4x（答案不唯一）
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系即可求解.
【详解】由fx<0恰有3个整数解，可确定三个整数解，
不妨设三个整数解分别为1，2，3，则fx<0的解可以为x∈0,4，
故x1=0,x2=4是ax2+bx+c=0的两个根，
故可得0+4=−ba,0×4=ca，所以可得c=0,b=−4a，
不妨令a=1，则b=−4，故fx=x2−4x，
故答案为：x2−4x（答案不唯一）
考查题型二一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
1．若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）
A．(−2,2)B．(−10,2]
C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．(−∞,−2)
【答案】B
【分析】由题意可得不等式(m−2)x2+(m−2)x−3<0对任意实数x均成立，分m−2=0和m−2≠0，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】解：因为不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，
即不等式(m−2)x2+(m−2)x−3<0对任意实数x均成立，
当m−2=0，即m=2时，有−3<0恒成立，满足题意；
当m−2≠0，即m≠2时，
则有m−2<0Δ=(m−2)2+12(m−2)<0，解得−10综上所述，实数m的取值范围为(−10,2].
故选：B.
2．“−3A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式恒成立，求实数m的取值范围，再利用集合的包含关系，判断充分，必要条件.
【详解】当m=1时，m−1x2+m−1x−1<0对任意的x∈R恒成立，
当m≠1时，则m<1Δ<0，解得：−3故“−3故选：A
3．若命题“∃x∈R，使得x2+2ax+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是（）
A．−1C．−1≤a≤1D．a<−1或a>1
【答案】C
【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解.
【详解】命题“∃x∈R，使得x2+2ax+1<0”是假命题，即“∀x∈R,x2+2ax+1≥0成立”是真命题，
故Δ=4a2−4≤0，解得−1≤a≤1.
故选：C.
考查题型三一元二次不等式在某个区间上恒成立问题
1．已知“∃x∈[1,2]，x2+tx+2t−3>0”为假命题，则实数t的取值范围是．
【答案】−∞,−14
【分析】根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“∀x∈[1,2]，x2+tx+2t−3≤0”为真命题，再利用二次函数的图象特征即可求解.
【详解】由“∃x∈[1,2]，x2+tx+2t−3>0”为假命题，
可知“∀x∈[1,2]，x2+tx+2t−3≤0”为真命题，
设f(x)=x2+tx+2t−3，则有f(x)≤0在[1,2]上恒成立，则须满足：
f(1)=1+t+2t−3≤0f(2)=4+2t+2t−3≤0，解得：t≤−14，
故答案为：−∞,−14.
2．命题“任意x∈1,2，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．a≥4B．a≤4C．a>5D．a≤5
【答案】C
【分析】求出命题“任意x∈1,2，x2−a≤0”为真命题的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由x2−a≤0可得a≥x2，
当x∈1,2时，x2max=4，所以a≥4，
所以命题“任意x∈1,2，x2−a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，
所以命题“任意x∈1,2，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是C，
故选：C
3．若1≤x≤2，不等式x2+mx+m≥0恒成立，则实数m的最小值为 .
【答案】−12/−0.5
【分析】构造新函数ℎ(x)=−x2x+1(1≤x≤2)，利用二次函数的性质求得ℎ(x)最大值，进而求得实数m的最小值.
【详解】1≤x≤2时，不等式x2+mx+m≥0恒成立，即m≥−x2x+1恒成立，
令ℎ(x)=−x2x+1=−11x+1x2=−11x+122−14(1≤x≤2)
1≤x≤2时，12≤1x≤1，则34≤1x+122−14≤2，
则−43≤−11x+122−14≤−12，则m≥−12，故实数m的最小值为−12
故答案为：−12
4．命题“∃x∈R，a+2x2+a+2x−1≥0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】−6【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“∃x∈R，a+2x2+a+2x−1≥0”的否定为：“∀x∈R，a+2x2+a+2x−1<0”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当a+2=0即a=−2时，−1<0恒成立，满足题意；
当a+2≠0即a≠−2时，只需a+2<0Δ=a+22+4a+2<0，
解得：−6故答案为：−6考查题型四一元二次函数在某个区间上有解问题
1．若关于x的不等式2x2−8x+6−a≥0在1≤x≤4时有解，则实数a的取值范围是（）
A．a≤6B．a≥−2C．a≥6D．a≤−2
【答案】A
【分析】问题等价于当1≤x≤4时，a≤2x2−8x+6max，数形结合求出二次函数y=2x2−8x+6在1≤x≤4时的最大值即可.
【详解】不等式2x2−8x+6−a≥0在1≤x≤4时有解，
等价于当1≤x≤4时，a≤2x2−8x+6max.
由二次函数y=2x2−8x+6=2x−22−2的图象知，当x=4时，ymax=6，所以a≤6.

故选：A.
2．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
3．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是．
【答案】
【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.
【详解】因为，所以由得，
因为关于的不等式在区间上有解，
所以只需小于等于的最大值，当时，，
当时，，当且仅当时等号成立，即当且仅当时取等号，故的最大值为，所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
考查题型五分式不等式的解法
1．不等式x+1x−2≤0的解集为（）
A．{x|x<2}B．{x|−1C．x|−2≤x≤1D．{x|−1≤x<2}
【答案】D
【分析】应用分式不等式的解法，结合解一元二次不等式求解集即可.
【详解】由题设(x+1)(x−2)≤0x−2≠0，可得−1≤x<2，故解集为{x|−1≤x<2}.
故选：D
2．使2x≥1成立的一个充分不必要条件是（）
A．0≤x≤2B．0【答案】B
【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解．
【详解】由2x≥1得2−xx≥0，不等式解集为0,2，
充分不必要条件需要找解集的真子集，只有B选项符合，即0,20,2．
故选：B．
3．不等式3x+1≥1的解集是（）
A．{x|x<−1或−1C．x|x≤2D．x|−1【答案】D
【分析】分式不等式移项通分，再化为整式不等式求解即可得解集.
【详解】因为3x+1≥1，所以3x+1−1≥0，则3−x−1x+1≥0，即2−xx+1≥0
等价于2−xx+1≥0且x+1≠0，解得−1故选：D.
4．不等式x+1x−32x+1≥0的解集为（）
A．−1,−12∪3,+∞B．−1,−12∪3,+∞
C．−1,−12∪3,+∞D．−1,−12∪3,+∞
【答案】C
【分析】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集.
【详解】不等式x+1x−32x+1≥0等价于x+1x−32x+1≥02x+1≠0，
利用数轴标根法可得−1≤x<−12或x≥3，所以不等式解集为−1,−12∪3,+∞.

故选：C
考查题型六一元二次不等式的实际应用
1．某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按t%征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（）
A．1,3B．2,4
C．3,5D．4,6
【答案】C
【分析】根据题意，列出不等式480×20−52t×t%≥180，即可求解.
【详解】由题意，每年消耗木材为(20−52t)万立方米，所以每年税金为480×20−52t×t%，
要保证税金收入每年不少于180万元，可得480×20−52t×t%≥180且t>0，
解得3≤t≤5，即实数t的取值范围为3,5.
故选：C.
2．某商品在最近30天内的价格m与时间t (单位：天)的函数关系是m=t+10(0A．{t|15≤t≤20,t∈N}B．{t|10≤t≤15,t∈N}
C．{t|10【答案】B
【分析】根据题意列式，解一元二次不等式可得结果.
【详解】由日销售金额为(t+10)(−t+35)≥500(t∈N)，即t2−25t+150≤0(t∈N)，
解得10≤t≤15(t∈N).
故选：B
3．设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系:m=92x-14，n=-14x2+5x+74，当m-n≥0时，称不亏损企业；当m-n<0时，称亏损企业，且n-m为亏损额.
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机?
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少?
【答案】(1)4台电机
(2)当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元.
【分析】（1）通过解不等式m-n≥0，计算即得结论；
（2）通过（1）可知当0【详解】（1）解：依题意，m-n≥0，即92x-14≥-14x2+5x+74，
整理得x2-2x-8≥0，解得x≥4或x≤-2（舍)，
∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；
（2）解：由（1）可知当0亏损额n-m=(-14x2+5x+74)-(92x-14)=-14(x-1)2+94，
∴当x=1时，n-m取最大值94，此时m=92×1-14=174，
即当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．
1．“x>2”是2x<1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要分件
【答案】A
【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解决，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式2x<1，可得1−2x=x−2x>0，解得x<0或x>2，
因为“x>2”是“x<0或x>2”充分不必要条件，
所以“x>2”是“2x<1”充分不必要条件.
故选：A.
2．设fx=x2−ax+1x∈R，则关于x的不等式fx<0有解的一个必要不充分条件是（）
A．−22
C．a>3D．a≥2
【答案】D
【分析】根据二次函数的判别式求解“关于x的不等式fx<0有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.
【详解】由关于x的不等式fx=x2−ax+1<0有解，得Δ=−a2−4>0，解得a<−2或a>2.
a≥2则a≥2或a≤−2，故只有D选项符合必要不充分条件.
故选：D.
3．若正实数x,y满足x+2y=4，不等式m2+13m>2x+1y+1有解，则m的取值范围是（）
A．(−43,1)B．(−∞,−43)∪(1,+∞)
C．(−1,43)D．(−∞,−1)∪(43,+∞)
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的代换求2x+1y+1最小值，再由不等式有解得m2+13m>43，即可求参数范围.
【详解】由2x+1y+1=16(2x+1y+1)[x+2(y+1)]=16×[4+4(y+1)x+xy+1] ≥16×[4+24(y+1)x⋅xy+1]=43，
仅当4(y+1)x=xy+1，即x=3,y=12时等号成立，
要使不等式m2+13m>2x+1y+1有解，只需m2+13m>43⇒3m2+m−4=(3m+4)(m−1)>0，
所以m∈(−∞,−43)∪(1,+∞).
故选：B
4．已知全集U=R,A=x2−xx+3>0,B=x∣x2−5x+2m2−m>0.
(1)若m=0，求∁UA∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)∁UA∩B=−∞,−3∪5,+∞
(2)−∞,−32∪2,+∞
【分析】（1）解不等式求出集合A,B，利用集合的运算即可求出结果；
（2）由题意转化为∀x∈−3,2,x2−5x+2m2−m>0恒成立，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）A=x2−xx+3>0=xx+3x−2<0=−3,2，
若m=0,B=x∣x2−5x>0=−∞,0∪5,+∞，
所以∁UA∩B=−∞,−3∪5,+∞；
（2）因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以∀x∈A,x2−5x+2m2−m>0恒成立，
即∀x∈−3,2,x2−5x+2m2−m>0恒成立，
因为y=x2−5x+2m2−m在x∈−3,2上单调递减，
所以22−5×2+2m2−m≥0，解得m≤−32或m≥2，
即实数m的取值范围是−∞,−32∪2,+∞.