高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数2 指数幂的运算性质优秀课时练习

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考查题型一 指数幂的运算性质
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a6B．(3a)3=9a3C．8a8=aD．(−2a2)3=−8a6
【答案】D
【解析】根据指数的运算性质逐一判断即可.
【详解】a2⋅a3=a3+2=a5，故A错误；(3a)3=27a3，故B错误；8a8=a，故C错误；
(−2a2)3=−8a6，故D正确.故选：D.
（多选题）2．设a>0，则下列运算中正确的是（ ）
A．a43⋅a34=a B．a53÷a23=a C．a53⋅a−53=aD．a355=a3
【答案】BD
【分析】直接根据指数幂的运算性质逐一运算即可得出答案.
【详解】解：对于A，a43⋅a34=a43+34=a2512，故A错误；对于B，a53÷a23=a53−23=a，故B正确；
对于C，a53⋅a−53=a53−53=1，故C错误；对于D，a355=a35×5=a3，故D正确.故选：BD.
3．计算a2a⋅3a2的结果为（ ）
A．a 32B．a 16C．a 56D．a 65
【答案】C
【分析】将根数转化为分数指数幂，再由指数的运算求解即可.
【详解】a2a⋅3a2=a2a12⋅a23=a2a76=a2−76=a56，故选：C
4.化简:b⋅a13b−12⋅3a−2÷a−2⋅b−2ab2−23(a>0，b>0).
【答案】 (2)1ab.
【分析】将根式化为分数指数幂，然后根据分数指数的运算性质化简即可.
【详解】b⋅a13b−12⋅3a−2÷a−2⋅b−2ab2−23 =b12⋅a13b−12⋅a−23÷a−2b−1ab2−23 =ab÷a−3b−3−23 =ab÷a2b2 =1ab.
考查题型二 指数幂的求值
1．214−0.5+327×3−2−1−π0=（ ）
A．πB．2C．1D．0
【答案】D
【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】214−0.5+327×3−2−1−π0=94−12+3×3−2−1=23+13−1=0.
故选：D.
2．计算80.25×42+32×36的值为 ．
【答案】110
【分析】原式=2314×214+213×3126，计算即可.
【详解】80.25×42+32×36=2314×214+213×3126=2+22×33=110.
故答案为:110.
3．计算：1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= .
【答案】−6
【分析】结合指数幂的运算性质，计算即可.
【详解】由题意，1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= (24)34−8×[(87)2]−12−8×78= 23−8×(87)−1−7=8−8×78−7=8−7−7=−6.
故答案为：−6.
考查题型三 利用指数幂运算求值
1．若10x=3,10y=4，则103x−2y=( )
A．−1B．1C．2716D．910
【答案】C
【分析】根据指数运算公式，求得表达式的值.
【详解】依题意，103x−2y=103x102y=10x310y2=3342=2716.
故选C.
2．已知5m=2，5n=3，求54m−3n的值.
【答案】1627.
【分析】利用幂的运算性质将54m−3n化成含5m,5n的式子求解即可
【详解】解：54m−3n =54m⋅5−3n =5m4⋅5n-3 =24⋅3-3=1627
3.若3α＝5，3β＝6，则eq \f(125,36)＝( )
A．33α－2β B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(α－β＋1) C．3α3－β2 D．325α－6β
【答案】A
【分析】利用幂的运算性质化简即可求解；
【详解】∵3α＝5，3β＝6，∴33α＝53＝125，32β＝62＝36．∴eq \f(125,36)＝＝eq \f(53,62)＝eq \f(33α,32β)＝33α－2β，故答案选A．
考查题型四 条件求值问题
1．已知a12+a−12=3，则a1+a−1= .
【答案】7
【分析】将a12+a−12=3平方即可求出.
【详解】∵a12+a−12=3，∴a12+a−122=a+2+a−1=9，∴a1+a−1=7.
故答案为：7.
2．已知a12+a−12=3，则a2+a−2的值为（ ）
A．7B．±7C．47D．51
【答案】C
【分析】将a12+a−12=3两边平方可以求出a+a−1的值，然后再平方一次可得答案.
【详解】因为a12+a−12=3，所以a12+a−122=a+a−1+2=9，
所以a+a−1=7，所以a+a−12=a2+a−2+2=49，所以a2+a−2=47，
故选：C．
3．已知x＋x－1＝3，则下列结论正确的是( )
A．x3＋x－3＝1 B．x2＋x－2＝7 5 C． xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(5) D．x2－x－2＝3eq \r(5)
【答案】BC
【分析】根据根式与分数指数幂的运算法则即可求解
【详解】，x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝3×(7－1)＝18，A错误；
由x＋x－1＝3易知x＞0，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝7，B正确；
(xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \s\up6(\f(1,2)))2＝x＋x－1＋2＝5，∴xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(5)，C正确；
(x－x－1)2＝x2＋x－2－2＝5，∴x－x－1＝±eq \r(5)，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±3eq \r(5)，D错误．故选BC．
4.已知a+b=6,ab=4，且a>b，求a12−b12a12+b12的值．
【答案】55 ．
【分析】 根据根式与分数指数幂的运算法则即可求解.
【详解】∵a>b∴a−b=(a+b)2−4ab=36−16=25，
则a12−b12a12+b12=a12−b122a12+b12a12−b12=a+b−2a12b12a−b=6−2×225=55
考查题型五 指数幂等式的证明
1．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，求证：eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)=eq \f(2,c)．
【答案】见详解
【分析】 根据根式与分数指数幂的运算法则即可证明.
【详解】证明： 令3a＝4b＝6c＝t(t＞0)，则3＝teq \s\up6(\f(1,a))，2＝teq \s\up6(\f(1,2b))，6＝teq \s\up6(\f(1,c))．因为3×2＝6，所以teq \s\up6(\f(1,a))·teq \s\up6(\f(1,2b))＝teq \s\up6(\f(1,c))，
即eq \f(1,a)＋eq \f(1,2b)＝eq \f(1,c)，所以eq \f(2,c)＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)．
2.已知ax3＝by3＝cz3，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求证：aeq \s\up6(\f(1,3))＋beq \s\up6(\f(1,3))＋ceq \s\up6(\f(1,3))= (ax2＋by2＋cz2)eq \s\up6(\f(1,3))．
【答案】55 ．
【分析】 根据根式与分数指数幂的运算法则即可证明.
【详解】证明：令ax3＝by3＝cz3＝t，则ax2＝eq \f(t,x)，by2＝eq \f(t,y)，cz2＝eq \f(t,z)，因为eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，所以eq \f(t,x)＋eq \f(t,y)＋eq \f(t,z)＝t，即ax2＋by2＋cz2＝t．所以(ax2＋by2＋cz2)eq \s\up6(\f(1,3))＝teq \s\up6(\f(1,3))＝teq \s\up6(\f(1,3))(eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z))＝eq \f(（ax3）\s\up6(\f(1,3)),x)＋eq \f(（by3）\s\up6(\f(1,3)),y)＋eq \f(（cz3）\s\up6(\f(1,3)),z)＝aeq \s\up6(\f(1,3))＋beq \s\up6(\f(1,3))＋ceq \s\up6(\f(1,3))．
1．（多选题）下列计算正确的是（ ）
A．12(−3)4=3−3B．a23b12−3a12b13÷13a16b56=−9a a>0,b>0
C．39=33D．已知x2+x−2=2，则x+x−1=2
【答案】BC
【解析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.
【详解】A. 12(−3)4=1234=33，故错误；
B. a23b12−3a12b13÷13a16b56=−9a23+12−16b12+13−56=−9a，故正确；
C. 39=916=3216=313=33，故正确；
D. 因为x2+x−2=x+x−12−2=2，所以x+x−12=4，则x+x−1=±2，故错误；
故选：BC
2．（1）计算：32×36−4×1649−12−20220+−5414−43⋅21−23；
（2）化简a3b2⋅3ab2a14b124a−13b13a>0,b>0
【答案】(1)103;(2)ab−1
【分析】(1)利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解；
(2)利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解.
【详解】(1)原式=22×33−4×74−1+5−2 =108−7−1+3 =103.
(2)原式=a32ba16b13ab2a−13b13 =a32+16−1+13b1+13−2−13 =ab−1.
3．设函数fx=4x4x+2，则:
（1）证明：fx+f1−x=1；
（2）计算：f12018+f22018+f32018+...+f20162018+f20172018.
【答案】（1）证明见解析；（2）20172.
【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接化简fx+f1−x，即可得到答案，化简过程一定要细心，避免出现计算错误；（2）利用（1）中的结论，结合倒序相加法可求得f12018+f22018+f32018+...+f20162018+f20172018的值.
【详解】（1）证明：∵fx=4x4x+2，∴fx+f1−x=4x4x+2+41−x41−x+2=
4x4x+2+44+2⋅4x=4x4x+2+22+4x=2+4x2+4x=1.
（2）∵fx+f1−x=1,∴设f12018+f22018+f32018+...+f20162018+f20172018=m，
则f201622018+f201722018+...+f22018+f12018=m，
两式相加得2m=2017，则m=20172.