高中数学2.1 对数的运算性质精品精练

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考查题型一 对数恒等式和常用结论
1．求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)； (2)；(3)；(4)
【分析】根据对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】（1）解：由对数的运算法则，因为，可得.
（2）解：由对数的运算法则，因为，可得.
（3）解：由对数的运算法则，因为，可得.
（4）解：由对数的运算法则，可得.
2．（ ）
A．6B．8C．9D．7
【答案】A
【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值.
【详解】解：
.
故选：A.
（多选题）3．下列式子中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，由对数的运算性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
因为，则，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
4．已知函数则 ．
【答案】
【分析】根据的值代入相应的解析式即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
5．已知，计算的值．
【答案】64
【分析】根据对数的定义以及运算可得，即可代入求解.
【详解】因为，所以，即，
所以.所以原式
6．求下列各式中x的值．
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据对数的运算的定义即可求解
（2）根据指数与对数的运算互化即可求解.
【详解】（1）∵，∴，∴，
（2）由得
考查题型二 对数的运算性质
1．求值：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)；(8)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)
【分析】根据对数的概念、运算性质及换底公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）
；
（8）
.
2．用，，表示下列各式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】根据对数的运算法则和性质即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3．已知，则的值为（ ）
A．B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】确定，得到，根据对数运算法则计算得到答案.
【详解】，则，，故.
故选：D.
4．若满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】D
【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为满足，所以，
所以，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，
故的最小值为16，
故选：D.
5．若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案.
【详解】∵，∴，∴，，
∴.
故选：B.
6．碳－14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳－14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳－14开始衰变并逐渐消失.已知碳－14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳－14所剩质量，其中为活体组织中碳－14的质量.科学家一般利用碳－14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳－14含量约为原始质量的0.96倍，依据计算结果并结合下表中我国历史朝代的时间段可推断该生物死亡的朝代为（参考数据：）（ ）
A．金B．元C．明D．清
【答案】D
【分析】把指数方程化为对数方程，利用对数运算性质求解即可.
【详解】由题意知，所以，
所以，所以，
所以，故对应死亡的朝代为清代.
故选：D.
1． .
【答案】
【分析】由对数的运算性质求解即可.
【详解】原式
.
故答案为：.
2．下列各式化简运算结果为1的是( )
A．lgeq \r(2)＋eq \f(1,2)lg 5B． lg53×lg32×lg25
C．lg eq \r(a)a2(a＞0且a≠1) D．eln 3－(0．125)－eq \s\up6(\f(1,3))
【答案】BD
【分析】利用对数的运算性质化简求值
【详解】 [对于A选项，原式＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)lg(2×5)＝eq \f(1,2)；
对于B选项，原式＝eq \f(lg 3,lg 5)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 5,lg 2)＝1；
对于C选项，原式＝2lg eq \r(a)a＝2×2＝4；
对于D选项，原式＝3－8eq \s\up6(\f(1,3))＝3－2＝1，故选BD．
3．已知实数满足，则的最小值是（ ）
A．9B．3C．2D．6
【答案】B
【分析】先根据对数运算律得出，再应用常值代换结合基本不等式计算即可.
【详解】由得，变形得。
因为，所以，
故选:B
4．若函数，，，则 ，的值为 ．
【答案】 5或50
【分析】根据函数解析式可得，结合已知可得，再根据解得或2，列对数方程求参即可.
【详解】因为，所以，所以，所以．
由，解得或2，所以或，所以或，所以的值为5或50．
故答案为：；5或50.
5．已知满足，，则 ．
【答案】
【分析】由对数的运算性质，化简得到，设，得到，又由，得到，结合的单调性，得到，进而求得的值．
【详解】由，可得，即，
且，可得，
设，则，原式化为，即，
又由，可得，
令函数，显然为增函数，所以，
则，所以．
故答案为：.金1115年
1234年
元代1206年
1368年
明代1368年
1644年
清代1616年
1911年