北师大版 (2019)必修 第一册2.2 换底公式优秀练习

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考查题型一 利用对数的换底公式化简求值
1.计算下列各式的值
(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）；
（2）
.
2．已知，，请用a，b表示下列各数的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】根据对数运算公式和换底公式计算.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）
3．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．lgab·lgcb＝lgcaB．lgab·lgca＝lgcb
C．lga(bc)＝lgab·lgacD．lga(b＋c)＝lgab＋lgac
【答案】B
【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【详解】由lgab·lgcb＝·≠lgca，故A错；
由lgab·lgca＝·＝＝lgcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
4．已知，，则（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得.
【详解】因为，所以，所以.
故选：A
5．已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）
A．7.6年B．7.8年C．6.2年D．6.6年
【答案】D
【分析】按每年10%衰减，得出每年剩余90%，列出方程，根据对数运算得出结果.
【详解】最初的质量是500g，经过一年后，质量变为，
经过2年后，质量变为，经过t年后，质量变为，
令，则，则，.
则这种元素的半衰期年.
故选：D.
6．若，且，则实数的值为 .
【答案】36
【分析】利用指数式与对数式转化表示出，，的值，然后利用对数运算求出值.
【详解】，，，，
则
，，即.
故答案为：36
考查题型二 利用对数的换底公式证明
1．若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
2．已知，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】对用换底公式，换成以5为底的对数即可证明.
【详解】证明：，，
即.
3．设，，，且，，利用对数的换底公式证明：
(1)；(2)．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】利用换底公式，即可证明.
【详解】（1），所以等式成立；
（2），所以等式成立.
4．已知，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】根据对数的定义和运算性质分析证明.
【详解】设，可知且，则，
可得，
所以，即.
1．设，则 ．
【答案】1
【分析】利用对数的定义，结合对数换底公式及对数运算性质计算即得.
【详解】由，得，则，由，得，
所以.
故答案为：1
2．已知，则 ．
【答案】
【分析】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值.
【详解】因为，所以，
所以，
即，所以，所以．
故答案为：.
（多选题）3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】取对数，利用对数的性质对各选项逐一判断即可.
【详解】对A，由，可得，所以A错误；
对B，由，得，因为，所以，所以B正确；
对C，由，，可得，，所以，所以C正确；
对D，由，，可得，
因为，所以等号不成立，所以，又，所以，所以D正确.
故选：BCD