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初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线习题
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这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线习题，文件包含专题58平行线中的拐点问题的三大题型原卷版docx、专题58平行线中的拐点问题的三大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的拐点问题的三大题型的理解！
【题型1 平行线中的单拐点问题】
1．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF=α，∠CDE=β，则α与β之间的数量关系正确的是（ ）
A．α−β=90∘B．α+β=90∘
C．α+β=180∘D．α与β没有数量关系
2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（ ）
A．75°B．90°C．100°D．105°
3．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ．
4．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为 ．
5．（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．
(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴____∥____（ ）
∴∠D=____（ ）
又∵PE∥AB
∴∠B=∠BPE
∴∠BPD=________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作PE∥AB来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若AB∥CD，如图3，图4，请直接写出小于平角的∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
7．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？
(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
8．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间．
【阅读探究】
(1)平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM=45°，∠CFM=25°时，则∠EMF=___________．
【方法运用】
(2)如图2，试说明∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；
【应用拓展】
(3)如图3，作∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间）若∠EMF=60°，求∠EPF的度数．
9．（2024下·全国·七年级假期作业）在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
(1)如图①，若直角三角尺的60°角的顶点G放在CD上，∠2=∠1，求∠1的度数；
(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E放在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么（用含α，β的式子表示）？请说明理由．
10．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知l1∥l2，李想同学将△ABC放置在这两条平行线上展开探究，其中△ABC三边与两条平行线分别交于点D、E、F、G．
(1)【特例探究】
如图1，∠C=90°．
①∠CED+∠CGF=______度；
②若∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG=______度；
(2)【一般探索】
如图2，∠C=α，∠EPG=β．
①若∠DEP=13∠CED，∠FGP=13∠CGF，求α与β的关系；
②若∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF（n≥2且n为整数），直接写出α与β的关系；
(3)【拓展应用】
如图3，∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，∠P2ED与∠P2GF的角平分线相交于点P3；……，以此类推，则360°−∠C∠EP2023G的值是多少？（直接写出结果）
11．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有60°角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，EF∥GH．
(1)如图1，点C在EF上，点A在GH上，AB与EF交于点D，若∠1=20°，求∠2的度数；
(2)如图2，点C在EF上，点A在EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O，求∠O的度数；
(3)如图3，点C在EF上，点A在直线EF，GH之间（不含在EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB=n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH=m∠FCB．若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
【题型2 平行线中两点或多拐点问题】
1．（2023下·山东德州·七年级统考期末）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM=2∠MCD，2∠M−∠P=10°，则∠PCD= ．
2．（浙江省宁波市镇海区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，点P在线段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度数．
(2)如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，∠2的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
3．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
4．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，直线AB、CD被直线MN所截，∠1=∠2．
(1)如图①，MN分别与AB、CD交于点O1、O2，O1H平分∠BO1N，O2H平分∠DO2M，请判断O1H与O2H的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图②，点E在AB与CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD．
（Ⅰ）若∠PEQ=60°，求∠PFQ的度数；
（Ⅱ）请猜想∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系，并证明你的结论．
5．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知直线PQ分别与直线AB,CD交于点P和点Q，AB⊥PQ，CD⊥PQ．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，P，Q两点分别沿直线AB和CD向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线PQ上运动，EM平分∠AEG，点H在直线 EM上，连接FH,GF的延长线交EM于点N，FN平分∠CFH．
①若∠CFH<90°，2∠EHF+∠EGF=255°，求∠CFH的大小；
②当点G在AB,CD之间时，直接写出∠ENF，∠EGF，∠EHF之间的数量关系．
6．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG=∠ABC．
(1)求证：AD∥CE；
(2)如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β=40°，求∠B+∠F的度数；
(3)如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=50°，则∠NBM=______（直接写出结果）．
7．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，AB∥CD．
(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知∠A=16°．
①如图2．若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3．若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
8．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF＝90°．
(1)如图1，若∠AEO＝150°，求∠OFD的度数．
(2)如图2，射线EG平分∠AEO，连接FG，若∠EGF＝135°，∠GFO与∠CFG相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．
(3)如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=23∠OEG，FH在∠OFD内，∠OFH=35∠OFD，点M、N分别为射线EG、FH上的动点，且点M、N在直线AB、CD之间，其中∠EMN＝3n°，∠MNH＝5m°，若n＞m，求n的取值范围．
9．（2023下·湖北武汉·七年级校联考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°
(1)若∠E=50°，则∠F=________；
(2)请判断∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系？说明理由．
(3)如图2，若EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于P，求∠P的度数；
10．（2023下·浙江杭州·七年级校联考期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.如图，已知EM∥BN，点A在EM、BN内部，我们过点A作EM或BN的平行线AP，则有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．
(1)现将点A移至如图2的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠E、∠A、∠B之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F；
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD= ______ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图4，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A=∠BFG，则∠EFB= ______ ．
11．（2023下·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH=∠AGP+∠CHP；
(2)变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由；
(3)(问题迁移)如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由；
(4)(联想拓展)如图4所示，在(2)的条件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．
【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】
1．（2023下·广西百色·七年级统考期中）请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD不可能为以下哪个角度（ ）
A．74°B．78°C．84°D．88°
2．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则∠DCE的度数为 ．
3．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与OC垂直．
(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数；
(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM的度数．
4．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠AGC=80°，求∠DEF的度数．
5．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．
6．（2023下·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由．
8．（2023上·河北邯郸·七年级校考阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东60°，如果A、B两地同时开工，直接写出∠α为多少度时，才能使公路准确接通？
（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°的方向，C处在B处的北偏东85°的方向，求∠C的度数．
读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC)40度．
在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的拐点问题的三大题型的理解！
【题型1 平行线中的单拐点问题】
1．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF=α，∠CDE=β，则α与β之间的数量关系正确的是（ ）
A．α−β=90∘B．α+β=90∘
C．α+β=180∘D．α与β没有数量关系
2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（ ）
A．75°B．90°C．100°D．105°
3．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ．
4．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为 ．
5．（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．
(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴____∥____（ ）
∴∠D=____（ ）
又∵PE∥AB
∴∠B=∠BPE
∴∠BPD=________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作PE∥AB来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若AB∥CD，如图3，图4，请直接写出小于平角的∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
7．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？
(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
8．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间．
【阅读探究】
(1)平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM=45°，∠CFM=25°时，则∠EMF=___________．
【方法运用】
(2)如图2，试说明∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；
【应用拓展】
(3)如图3，作∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间）若∠EMF=60°，求∠EPF的度数．
9．（2024下·全国·七年级假期作业）在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
(1)如图①，若直角三角尺的60°角的顶点G放在CD上，∠2=∠1，求∠1的度数；
(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E放在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么（用含α，β的式子表示）？请说明理由．
10．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知l1∥l2，李想同学将△ABC放置在这两条平行线上展开探究，其中△ABC三边与两条平行线分别交于点D、E、F、G．
(1)【特例探究】
如图1，∠C=90°．
①∠CED+∠CGF=______度；
②若∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG=______度；
(2)【一般探索】
如图2，∠C=α，∠EPG=β．
①若∠DEP=13∠CED，∠FGP=13∠CGF，求α与β的关系；
②若∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF（n≥2且n为整数），直接写出α与β的关系；
(3)【拓展应用】
如图3，∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，∠P2ED与∠P2GF的角平分线相交于点P3；……，以此类推，则360°−∠C∠EP2023G的值是多少？（直接写出结果）
11．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有60°角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，EF∥GH．
(1)如图1，点C在EF上，点A在GH上，AB与EF交于点D，若∠1=20°，求∠2的度数；
(2)如图2，点C在EF上，点A在EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O，求∠O的度数；
(3)如图3，点C在EF上，点A在直线EF，GH之间（不含在EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB=n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH=m∠FCB．若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
【题型2 平行线中两点或多拐点问题】
1．（2023下·山东德州·七年级统考期末）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM=2∠MCD，2∠M−∠P=10°，则∠PCD= ．
2．（浙江省宁波市镇海区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，点P在线段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度数．
(2)如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，∠2的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
3．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
4．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，直线AB、CD被直线MN所截，∠1=∠2．
(1)如图①，MN分别与AB、CD交于点O1、O2，O1H平分∠BO1N，O2H平分∠DO2M，请判断O1H与O2H的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图②，点E在AB与CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD．
（Ⅰ）若∠PEQ=60°，求∠PFQ的度数；
（Ⅱ）请猜想∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系，并证明你的结论．
5．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知直线PQ分别与直线AB,CD交于点P和点Q，AB⊥PQ，CD⊥PQ．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，P，Q两点分别沿直线AB和CD向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线PQ上运动，EM平分∠AEG，点H在直线 EM上，连接FH,GF的延长线交EM于点N，FN平分∠CFH．
①若∠CFH<90°，2∠EHF+∠EGF=255°，求∠CFH的大小；
②当点G在AB,CD之间时，直接写出∠ENF，∠EGF，∠EHF之间的数量关系．
6．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG=∠ABC．
(1)求证：AD∥CE；
(2)如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β=40°，求∠B+∠F的度数；
(3)如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=50°，则∠NBM=______（直接写出结果）．
7．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，AB∥CD．
(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知∠A=16°．
①如图2．若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3．若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
8．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF＝90°．
(1)如图1，若∠AEO＝150°，求∠OFD的度数．
(2)如图2，射线EG平分∠AEO，连接FG，若∠EGF＝135°，∠GFO与∠CFG相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．
(3)如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=23∠OEG，FH在∠OFD内，∠OFH=35∠OFD，点M、N分别为射线EG、FH上的动点，且点M、N在直线AB、CD之间，其中∠EMN＝3n°，∠MNH＝5m°，若n＞m，求n的取值范围．
9．（2023下·湖北武汉·七年级校联考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°
(1)若∠E=50°，则∠F=________；
(2)请判断∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系？说明理由．
(3)如图2，若EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于P，求∠P的度数；
10．（2023下·浙江杭州·七年级校联考期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.如图，已知EM∥BN，点A在EM、BN内部，我们过点A作EM或BN的平行线AP，则有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．
(1)现将点A移至如图2的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠E、∠A、∠B之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F；
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD= ______ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图4，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A=∠BFG，则∠EFB= ______ ．
11．（2023下·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH=∠AGP+∠CHP；
(2)变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由；
(3)(问题迁移)如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由；
(4)(联想拓展)如图4所示，在(2)的条件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．
【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】
1．（2023下·广西百色·七年级统考期中）请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD不可能为以下哪个角度（ ）
A．74°B．78°C．84°D．88°
2．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则∠DCE的度数为 ．
3．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与OC垂直．
(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数；
(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM的度数．
4．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠AGC=80°，求∠DEF的度数．
5．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．
6．（2023下·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由．
8．（2023上·河北邯郸·七年级校考阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东60°，如果A、B两地同时开工，直接写出∠α为多少度时，才能使公路准确接通？
（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°的方向，C处在B处的北偏东85°的方向，求∠C的度数．
读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC)40度．
在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．
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