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数学七年级下册5.3.1 平行线的性质随堂练习题
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这是一份数学七年级下册5.3.1 平行线的性质随堂练习题，文件包含专题53平行线的性质十大题型举一反三人教版原卷版docx、专题53平行线的性质十大题型举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4766" 【题型1 由平行线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4766 \h 1
\l "_Tc31178" 【题型2 由平行线的性质解决折叠问题】 PAGEREF _Tc31178 \h 2
\l "_Tc9329" 【题型3 平行线性质的实际应用】 PAGEREF _Tc9329 \h 4
\l "_Tc3945" 【题型4 由平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Tc3945 \h 5
\l "_Tc11118" 【题型5 由平行线的判定与性质进行计算】 PAGEREF _Tc11118 \h 7
\l "_Tc10120" 【题型6 由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc10120 \h 8
\l "_Tc19950" 【题型7 由平行线的判定与性质确定角度定值问题】 PAGEREF _Tc19950 \h 10
\l "_Tc10508" 【题型8 由平行线的判定与性质探究规律问题】 PAGEREF _Tc10508 \h 11
\l "_Tc4463" 【题型9 由平行线的判定与性质解决三角尺问题】 PAGEREF _Tc4463 \h 13
\l "_Tc32001" 【题型10 由平行线的判定与性质解决旋转问题】 PAGEREF _Tc32001 \h 14
【知识点 平行线的性质】
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 由平行线的性质求角度】
【例1】（2023下·福建厦门·七年级校考期中）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，则下列结论：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠AOE=∠GOD．其中正确的有 ．
【变式1-1】（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期中）如图所示，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°．则∠A的值为（ ）
A．45°B．75°C．46°D．76°
【变式1-2】（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知AM∥BN,∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
(1)求∠CBD的度数．
(2)当点P运动时，那么∠APB:∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
【变式1-3】（2023上·陕西渭南·七年级统考期中）在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，∠ABC和∠ADE的平分线交于点G．
(1)如图1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出∠G的度数；
(2)如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论．
【题型2 由平行线的性质解决折叠问题】
【例2】（2023下·山东青岛·七年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，EF是折痕，若∠EFB=34°，则以下结论正确的是（ ）
①∠C'EF=34°；②∠AEC=146°；③∠BGE=68°；④∠BFD=112°
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
【变式2-1】（2023上·福建福州·七年级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B=50°，将△ADE沿DE折叠得到△A1DE，则∠BDA1的度数为 °．
【变式2-2】（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β=120°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57°B．58°C．59°D．60°
【变式2-3】（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C'，D'，将四边形ABFE沿直线EF折叠，点A，B的对应点为A'，B'，设∠EFB=α0<α<90°．
(1)若C'、D'在直线AD的上方，当α=50°且满足C'H∥B'F时，求∠CHG的度数．
(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明
(3)在点G，H运动的过程中，若C'H∥B'F，请直接用含有α的式子表示∠CHG的度数
【题型3 平行线性质的实际应用】
【例3】（2023下·河北沧州·七年级统考期末）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线m与出射光线n平行，若入射光线m与镜面AB的夹角∠1=40°，且∠2=40°，则∠6的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
【变式3-1】（2023下·山西临汾·七年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知AG∥EF，AB∥DE，若∠DEF=120°，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【变式3-2】（2023·天津·天津实验中学校考模拟预测）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122°，则∠3= °，∠4= °．
【变式3-3】（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转α度，α= ．0<α<90
【题型4 由平行线的判定与性质进行证明】
【例4】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）完成下面的证明：
如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE=90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AB∥EF，
∴∠APE=______（__________），
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ=______（__________）．
即∠2+∠3=90°，
∴∠APE+∠3=90°，
∵∠1+∠APE=90°，
∴∠1=______，
∴______∥CD（__________）．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD（__________）．
【变式4-1】（2023下·山东潍坊·七年级阶段练习）如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E，试证明：AD∥BC．
【变式4-2】（2023下·贵州遵义·七年级校联考期中）如图，点A、D、E、F四点共线，已知BE∥CF，∠5=∠A，求证：∠1=∠2．完善下面的解答过程．
证明：因为∠3=∠4（已知），
所以AE∥ （ ），
所以∠EDC=∠5（ ），
因为∠5=∠A（已知），
所以∠EDC= ，
所以DC∥AB，
所以∠5+∠ABC=180°，（ ）
即：∠5+∠3+∠2=180°，
因为BE∥CF（已知），
所以∠BCF+∠3=180°，
即：∠5+∠1+∠3=180°，
因此∠1=∠2（ ）．
【变式4-3】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，∠GDB+∠F=180°，∠DEF=∠B．用等式表示∠AED与∠HCK的数量关系，并证明．
【题型5 由平行线的判定与性质进行计算】
【例5】（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）综合与实践
如图，三角形ABC中，∠ABC=30°，∠BCA=90°，∠BAC=60°．将三角形ABC向右平移得到三角尺DEF．分别连接AD，CF，BE．
(1)线段AD与CF的数量关系和位置关系是：____________，其依据是____________；
(2)求证：∠ADF+∠BEF=90°；
(3)猜想∠BAD与∠BCF的数量关系，并说明理由．
【变式5-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC=105∘，点F在射线BA上，且∠EDF=125∘，则∠DFB的度数为 ．
【变式5-2】（2023上·安徽合肥·七年级校考期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．
(1)求∠BFD的度数．
(2)若∠BAD=∠EBC，∠C=47°，求∠BAC的度数．
【变式5-3】（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠BDH=∠B，∠AEH=∠ADH．
(1)EH与AD平行吗？为什么？
(2)若∠H=40°，求∠BAD的度数．
【题型6 由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例6】（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校联考期中）如图，直线m∥n，直线PQ和直线m、n分别交于C、D两点，点A、B分别在直线m、n上，点O在直线PQ上，连接OA，OB．
(1)猜想：如图1，若点O在线段PQ上，∠OAC=25°，∠OBD=30°，则∠AOB=_____________；
(2)探究：如图1，若点O在线段PQ上，写出∠AOB，∠OAC，∠OBD之间的数量关系并说明理由；
(3)拓展：如图2，若点O在射线CP上或在射线DQ上时，写出∠AOB，∠OAC，∠OBD之间的数量关系并说明理由．
【变式6-1】（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC．E为BC延长线上一点，连接DE，BD，且∠ECD=∠EDC，作DF平分∠BDE交BE于点F．
(1)若当∠ADC=70°,∠BDE=110°时，求∠CDF的度数；
(2)若∠CDF=α,∠DBC=β，试探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
【变式6-2】（2023下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）已知：四边形ABCD，AD∥BC（如图1），点P在直线CD上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记∠DAP，∠APB，∠PBC分别为∠α，∠β，∠γ．
(1)如图2，当点P在线段CD上运动时，写出∠α，∠β，∠γ之间的关系并说出理由．
(2)如果点P在线段CD的延长线上运动，探究∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
【变式6-3】（2023下·河南焦作·七年级统考期中）如图1，已知∠A=50°，C为射线AD上一点(不与点A 重合)，连接BC
【发现】如图2过点C作CE∥AB
（1）若∠BCD=73°，求∠B 的度数；
（2）若∠B=30°，求∠BCD的度数；
【探究】直接写出图1中∠A,∠B和∠BCD之间的数量关系： ；
【拓展】利用【探究】中的结论完成下列问题．
如图3，∠A=50°，C为射线AD上一点(不与点A 重合)，在射线BC上取一点O，过点O作直线MN，使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于点E，OF平分∠BON交AD于点F，OG∥BE交AD于点G，当点C沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化 ？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
【题型7 由平行线的判定与性质确定角度定值问题】
【例7】（2023下·湖北十堰·七年级校考期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
(1)∠CBD=__________°；
(2)当点P运动时，∠APB∠ADB是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【变式7-1】（2023下·四川达州·七年级统考期末）已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，连接EF，FG平分∠EFD．
(1)如图1，连接EG，若EG平分∠BEF．求∠G的度数；
(2)如图2，连接EG，若∠BEG=∠FEH，猜想∠EHF和∠G的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点H为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点H作EF的垂线交AB于M，连接MG，若MG平分∠EMH，问∠G的度数是否为定值？若是，求出∠G的度数；若不是，请说明理由．
【变式7-2】（2023下·山东济南·七年级统考期中）如图①，∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，AB∥CD．
(1)若∠FAB=150°，则∠HCD的度数为______；
(2)小明同学发现，无论∠FAB如何变化，∠FAB-∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图②，过点A作AM∥FH，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由；
(3)如图③，把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=120°”，其他条件保持不变，猜想∠FAB与∠HCD的数量关系，并说明理由．
【变式7-3】（2023下·福建龙岩·七年级统考期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．
(1)求证：AE⊥ED；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【题型8 由平行线的判定与性质探究规律问题】
【例8】（2023下·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【变式8-1】（2023上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE∥BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2，分别平分∠BAC1和∠ABC1，AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点Cn，则∠Cn的度数为 ．
【变式8-2】（2023下·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）在小学我们学过三角形的内角和等于180°；科学实验又证明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．例如：在图①、图②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，∠1=50°，则∠4=_________°；
(2)如图②，若α=115°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β．求β的度数；
(3)如图③，若90°<α<180°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=γ90°<γ<180°，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=m0°【变式8-3】（2023上·广东广州·七年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD= （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是 （度）．
【题型9 由平行线的判定与性质解决三角尺问题】
【例9】（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°．有下列结论：
（1）∠BAE与∠CAD互为补角；
（2）若∠BAD=60°，则AC∥DE；
（3）若BC∥AD，则BC⊥AE；
（4）若AB⊥DE，则∠CAD=150°．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-1】（2023上·河南郑州·七年级校考期末）一副三角尺如图所示摆放，∠α 的大小为（ ）度
A．90B．100C．105D．120
【变式9-2】（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（ ）
A．75°B．90°C．100°D．105°
【变式9-3】（2023下·贵州六盘水·七年级统考期末）如图，MN∥PQ，将两块直角三角尺（一块含30°，一块含45°）按如下方式进行摆放，恰好满足∠NAC=20°，∠MAE=∠CBQ．
(1)求∠CBQ的度数；
(2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【题型10 由平行线的判定与性质解决旋转问题】
【例10】（2023上·山西太原·七年级校考期末）问题情境：如图1，将含 30°角的三角板 ABC 和含45°角的三角板 ADE叠放在一起，使直角顶点重合，点 D 落在直线 AB 上，点 E 落在直线 AC上．△ADE 绕点 A 旋转， 边 DE 与 AB、BC 分别相交与点 F、点N，边 AE与 BC 相交于点 M．
(1)如图 2，当 AD ∥ BC 时：
①求∠DFB的度数．
②判断∠DAB 与∠CAE的数量关系，并说明理由．
(2)如图 3，当 AE 平分∠BAC 时：
①求∠DFB的度数；
②判断 AC 与 DE的位置关系，并说明理由．
【变式10-1】（2023下·重庆·七年级西南大学附中校考期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【变式10-2】（2023下·四川成都·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ∥CN，A，B为PQ上两点，AD平分∠CAB交CN于点D，E为AD上一点，连接BE，AF平分∠BAD交BE于点F．
(1)若∠C=20°，则∠EAP= ；
(2)作AG交CD于点G，且满足∠1=13∠ADC，当∠2+65∠GAF=180°时，试说明：AC∥BE；
(3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动，DN转至射线DC后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当DN回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当AC与DN互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值．
【变式10-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP=90°．
（1）求证：AB//CD；
（2）如图，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图，若∠AEP:∠CFP=2:1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1//FP2，直接写出t的值t=______秒．
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\l "_Tc4766" 【题型1 由平行线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4766 \h 1
\l "_Tc31178" 【题型2 由平行线的性质解决折叠问题】 PAGEREF _Tc31178 \h 2
\l "_Tc9329" 【题型3 平行线性质的实际应用】 PAGEREF _Tc9329 \h 4
\l "_Tc3945" 【题型4 由平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Tc3945 \h 5
\l "_Tc11118" 【题型5 由平行线的判定与性质进行计算】 PAGEREF _Tc11118 \h 7
\l "_Tc10120" 【题型6 由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc10120 \h 8
\l "_Tc19950" 【题型7 由平行线的判定与性质确定角度定值问题】 PAGEREF _Tc19950 \h 10
\l "_Tc10508" 【题型8 由平行线的判定与性质探究规律问题】 PAGEREF _Tc10508 \h 11
\l "_Tc4463" 【题型9 由平行线的判定与性质解决三角尺问题】 PAGEREF _Tc4463 \h 13
\l "_Tc32001" 【题型10 由平行线的判定与性质解决旋转问题】 PAGEREF _Tc32001 \h 14
【知识点 平行线的性质】
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 由平行线的性质求角度】
【例1】（2023下·福建厦门·七年级校考期中）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，则下列结论：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠AOE=∠GOD．其中正确的有 ．
【变式1-1】（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期中）如图所示，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°．则∠A的值为（ ）
A．45°B．75°C．46°D．76°
【变式1-2】（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知AM∥BN,∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
(1)求∠CBD的度数．
(2)当点P运动时，那么∠APB:∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
【变式1-3】（2023上·陕西渭南·七年级统考期中）在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，∠ABC和∠ADE的平分线交于点G．
(1)如图1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出∠G的度数；
(2)如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论．
【题型2 由平行线的性质解决折叠问题】
【例2】（2023下·山东青岛·七年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，EF是折痕，若∠EFB=34°，则以下结论正确的是（ ）
①∠C'EF=34°；②∠AEC=146°；③∠BGE=68°；④∠BFD=112°
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
【变式2-1】（2023上·福建福州·七年级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B=50°，将△ADE沿DE折叠得到△A1DE，则∠BDA1的度数为 °．
【变式2-2】（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β=120°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57°B．58°C．59°D．60°
【变式2-3】（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C'，D'，将四边形ABFE沿直线EF折叠，点A，B的对应点为A'，B'，设∠EFB=α0<α<90°．
(1)若C'、D'在直线AD的上方，当α=50°且满足C'H∥B'F时，求∠CHG的度数．
(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明
(3)在点G，H运动的过程中，若C'H∥B'F，请直接用含有α的式子表示∠CHG的度数
【题型3 平行线性质的实际应用】
【例3】（2023下·河北沧州·七年级统考期末）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线m与出射光线n平行，若入射光线m与镜面AB的夹角∠1=40°，且∠2=40°，则∠6的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
【变式3-1】（2023下·山西临汾·七年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知AG∥EF，AB∥DE，若∠DEF=120°，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【变式3-2】（2023·天津·天津实验中学校考模拟预测）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122°，则∠3= °，∠4= °．
【变式3-3】（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转α度，α= ．0<α<90
【题型4 由平行线的判定与性质进行证明】
【例4】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）完成下面的证明：
如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE=90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AB∥EF，
∴∠APE=______（__________），
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ=______（__________）．
即∠2+∠3=90°，
∴∠APE+∠3=90°，
∵∠1+∠APE=90°，
∴∠1=______，
∴______∥CD（__________）．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD（__________）．
【变式4-1】（2023下·山东潍坊·七年级阶段练习）如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E，试证明：AD∥BC．
【变式4-2】（2023下·贵州遵义·七年级校联考期中）如图，点A、D、E、F四点共线，已知BE∥CF，∠5=∠A，求证：∠1=∠2．完善下面的解答过程．
证明：因为∠3=∠4（已知），
所以AE∥ （ ），
所以∠EDC=∠5（ ），
因为∠5=∠A（已知），
所以∠EDC= ，
所以DC∥AB，
所以∠5+∠ABC=180°，（ ）
即：∠5+∠3+∠2=180°，
因为BE∥CF（已知），
所以∠BCF+∠3=180°，
即：∠5+∠1+∠3=180°，
因此∠1=∠2（ ）．
【变式4-3】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，∠GDB+∠F=180°，∠DEF=∠B．用等式表示∠AED与∠HCK的数量关系，并证明．
【题型5 由平行线的判定与性质进行计算】
【例5】（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）综合与实践
如图，三角形ABC中，∠ABC=30°，∠BCA=90°，∠BAC=60°．将三角形ABC向右平移得到三角尺DEF．分别连接AD，CF，BE．
(1)线段AD与CF的数量关系和位置关系是：____________，其依据是____________；
(2)求证：∠ADF+∠BEF=90°；
(3)猜想∠BAD与∠BCF的数量关系，并说明理由．
【变式5-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC=105∘，点F在射线BA上，且∠EDF=125∘，则∠DFB的度数为 ．
【变式5-2】（2023上·安徽合肥·七年级校考期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．
(1)求∠BFD的度数．
(2)若∠BAD=∠EBC，∠C=47°，求∠BAC的度数．
【变式5-3】（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠BDH=∠B，∠AEH=∠ADH．
(1)EH与AD平行吗？为什么？
(2)若∠H=40°，求∠BAD的度数．
【题型6 由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例6】（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校联考期中）如图，直线m∥n，直线PQ和直线m、n分别交于C、D两点，点A、B分别在直线m、n上，点O在直线PQ上，连接OA，OB．
(1)猜想：如图1，若点O在线段PQ上，∠OAC=25°，∠OBD=30°，则∠AOB=_____________；
(2)探究：如图1，若点O在线段PQ上，写出∠AOB，∠OAC，∠OBD之间的数量关系并说明理由；
(3)拓展：如图2，若点O在射线CP上或在射线DQ上时，写出∠AOB，∠OAC，∠OBD之间的数量关系并说明理由．
【变式6-1】（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC．E为BC延长线上一点，连接DE，BD，且∠ECD=∠EDC，作DF平分∠BDE交BE于点F．
(1)若当∠ADC=70°,∠BDE=110°时，求∠CDF的度数；
(2)若∠CDF=α,∠DBC=β，试探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
【变式6-2】（2023下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）已知：四边形ABCD，AD∥BC（如图1），点P在直线CD上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记∠DAP，∠APB，∠PBC分别为∠α，∠β，∠γ．
(1)如图2，当点P在线段CD上运动时，写出∠α，∠β，∠γ之间的关系并说出理由．
(2)如果点P在线段CD的延长线上运动，探究∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
【变式6-3】（2023下·河南焦作·七年级统考期中）如图1，已知∠A=50°，C为射线AD上一点(不与点A 重合)，连接BC
【发现】如图2过点C作CE∥AB
（1）若∠BCD=73°，求∠B 的度数；
（2）若∠B=30°，求∠BCD的度数；
【探究】直接写出图1中∠A,∠B和∠BCD之间的数量关系： ；
【拓展】利用【探究】中的结论完成下列问题．
如图3，∠A=50°，C为射线AD上一点(不与点A 重合)，在射线BC上取一点O，过点O作直线MN，使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于点E，OF平分∠BON交AD于点F，OG∥BE交AD于点G，当点C沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化 ？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
【题型7 由平行线的判定与性质确定角度定值问题】
【例7】（2023下·湖北十堰·七年级校考期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
(1)∠CBD=__________°；
(2)当点P运动时，∠APB∠ADB是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【变式7-1】（2023下·四川达州·七年级统考期末）已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，连接EF，FG平分∠EFD．
(1)如图1，连接EG，若EG平分∠BEF．求∠G的度数；
(2)如图2，连接EG，若∠BEG=∠FEH，猜想∠EHF和∠G的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点H为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点H作EF的垂线交AB于M，连接MG，若MG平分∠EMH，问∠G的度数是否为定值？若是，求出∠G的度数；若不是，请说明理由．
【变式7-2】（2023下·山东济南·七年级统考期中）如图①，∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，AB∥CD．
(1)若∠FAB=150°，则∠HCD的度数为______；
(2)小明同学发现，无论∠FAB如何变化，∠FAB-∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图②，过点A作AM∥FH，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由；
(3)如图③，把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=120°”，其他条件保持不变，猜想∠FAB与∠HCD的数量关系，并说明理由．
【变式7-3】（2023下·福建龙岩·七年级统考期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．
(1)求证：AE⊥ED；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【题型8 由平行线的判定与性质探究规律问题】
【例8】（2023下·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【变式8-1】（2023上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE∥BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2，分别平分∠BAC1和∠ABC1，AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点Cn，则∠Cn的度数为 ．
【变式8-2】（2023下·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）在小学我们学过三角形的内角和等于180°；科学实验又证明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．例如：在图①、图②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，∠1=50°，则∠4=_________°；
(2)如图②，若α=115°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β．求β的度数；
(3)如图③，若90°<α<180°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=γ90°<γ<180°，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=m0°
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是 （度）．
【题型9 由平行线的判定与性质解决三角尺问题】
【例9】（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°．有下列结论：
（1）∠BAE与∠CAD互为补角；
（2）若∠BAD=60°，则AC∥DE；
（3）若BC∥AD，则BC⊥AE；
（4）若AB⊥DE，则∠CAD=150°．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-1】（2023上·河南郑州·七年级校考期末）一副三角尺如图所示摆放，∠α 的大小为（ ）度
A．90B．100C．105D．120
【变式9-2】（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（ ）
A．75°B．90°C．100°D．105°
【变式9-3】（2023下·贵州六盘水·七年级统考期末）如图，MN∥PQ，将两块直角三角尺（一块含30°，一块含45°）按如下方式进行摆放，恰好满足∠NAC=20°，∠MAE=∠CBQ．
(1)求∠CBQ的度数；
(2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【题型10 由平行线的判定与性质解决旋转问题】
【例10】（2023上·山西太原·七年级校考期末）问题情境：如图1，将含 30°角的三角板 ABC 和含45°角的三角板 ADE叠放在一起，使直角顶点重合，点 D 落在直线 AB 上，点 E 落在直线 AC上．△ADE 绕点 A 旋转， 边 DE 与 AB、BC 分别相交与点 F、点N，边 AE与 BC 相交于点 M．
(1)如图 2，当 AD ∥ BC 时：
①求∠DFB的度数．
②判断∠DAB 与∠CAE的数量关系，并说明理由．
(2)如图 3，当 AE 平分∠BAC 时：
①求∠DFB的度数；
②判断 AC 与 DE的位置关系，并说明理由．
【变式10-1】（2023下·重庆·七年级西南大学附中校考期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【变式10-2】（2023下·四川成都·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ∥CN，A，B为PQ上两点，AD平分∠CAB交CN于点D，E为AD上一点，连接BE，AF平分∠BAD交BE于点F．
(1)若∠C=20°，则∠EAP= ；
(2)作AG交CD于点G，且满足∠1=13∠ADC，当∠2+65∠GAF=180°时，试说明：AC∥BE；
(3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动，DN转至射线DC后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当DN回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当AC与DN互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值．
【变式10-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP=90°．
（1）求证：AB//CD；
（2）如图，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图，若∠AEP:∠CFP=2:1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1//FP2，直接写出t的值t=______秒．
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