专题5.11 相交线与平行线章末八大题型总结（拔尖篇）（原卷版+解析版）

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专题5.11 相交线与平行线章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc28476" 【题型1 平行线在三角板中的运用】  PAGEREF _Toc28476 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24645" 【题型2 平行线在折叠中的运用】  PAGEREF _Toc24645 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc8140" 【题型3 旋转使平行】  PAGEREF _Toc8140 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc25987" 【题型4 利用平行线求角度之间的关系】  PAGEREF _Toc25987 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc4842" 【题型5 利用平行线解决角度定值问题】  PAGEREF _Toc4842 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc11458" 【题型6 平行线的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc11458 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc24577" 【题型7 平行线的性质在生活中的应用】  PAGEREF _Toc24577 \h 55 HYPERLINK \l "_Toc20249" 【题型8 平行线与动点的综合应用】  PAGEREF _Toc20249 \h 59【题型1 平行线在三角板中的运用】【例1】（2023下·浙江温州·七年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．  (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t的值；(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系．(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．【答案】(1)3(2)∠ECB−∠DCA=15°(3)15或24或33【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠DCE=15°，然后求出t的值即可；（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，即可得出∠ECB−∠DCA=15°；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．【详解】（1）解：如图2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，  ∴∠DCE=30°，∵AC平分∠DCE，∴∠ACE=12∠DCE=15°，∴t=155=3，答：此时t的值是3；（2）解：当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；  由旋转得：∠ACE=5t，∴∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，∴∠ECB−∠DCA=45°−5t−30°−5t=15°；（3）解：分三种情况：①当AB∥DE时，如图4，  此时BC与CD重合，t=30+45÷5=15；②当AC∥DE时，如图5，  ∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D=90°，∴∠ACE=90°+30°=120°，t=120÷5=24；③当BC∥DE时，如图6，  ∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE=90°∴∠ACD=90°+30°+45°=165°∴t=165÷5=33综上，t的值是15或24或33．故答案为：15或24或33．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【变式1-1】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°(2)当∠ACD=60°或120°时，CE//AB(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE【分析】（1）由三角板的特点可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．【详解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB−∠ACD=∠DCE−∠ACD，即∠BCD=∠ACE．∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．故答案为：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；（2）分类讨论：①如图1所示，∵CE//AB，∴∠ACE=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠DCE−∠ACE=90°−30°=60°；②如图2所示，∵CE//AB，∴∠BCE=∠B=60°，∴∠ACD=360°−∠ACB−∠DCE−∠BCE=360°−90°−90°−60°=120°．综上可知当∠ACD=60°或120°时，CE//AB；（3）根据（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，∴3∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=45°．分类讨论：①如图3所示， ∵∠ACD=45°，∴∠BCD=45°=∠CDE，∴BC//DE．∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC⊥DE；②如图4所示，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=45°=∠CDE，∴AC//DE．【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【变式1-2】（2023上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝　 　度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°