所属成套资源:2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列(人教版)
专题11.6 期末复习之填空压轴题十大题型总结(原卷版+解析版)
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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc15248" 【题型1 平行线中的动点问题】 PAGEREF _Tc15248 \h 1
\l "_Tc2394" 【题型2 平行线中的旋转、平移问题】 PAGEREF _Tc2394 \h 8
\l "_Tc1578" 【题型3 实数中的新定义问题】 PAGEREF _Tc1578 \h 14
\l "_Tc10784" 【题型4 实数中的最值问题】 PAGEREF _Tc10784 \h 17
\l "_Tc18495" 【题型5 平面直角坐标系中的面积问题】 PAGEREF _Tc18495 \h 19
\l "_Tc1100" 【题型6 平面直角坐标系中的规律探究】 PAGEREF _Tc1100 \h 25
\l "_Tc12187" 【题型7 二元一次方程组中的数字问题】 PAGEREF _Tc12187 \h 28
\l "_Tc26428" 【题型8 二元一次方程中的方案设计】 PAGEREF _Tc26428 \h 33
\l "_Tc19416" 【题型9 一元一次不等式组中的最值问题】 PAGEREF _Tc19416 \h 36
\l "_Tc4856" 【题型10 方程与不等式的综合探究】 PAGEREF _Tc4856 \h 39
【题型1 平行线中的动点问题】
【例1】(2024七年级·河南新乡·期末)已知直线AB∥CD,E为两直线间一定点,∠DCE=23°,若点F为平面内一动点,且满足∠ABF=51°,连接BF,EF,则∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角为 .
【答案】14°或37°
【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义,根据题意可分两种情况进行讨论,一种是点F在AB下方,一种是点F在AB上方,先作平行线,设出来角度,再根据两直线平行,内错角相等以及角平分线的定义可得到结果,正确作出辅助线,熟练掌握平行线的性质,理解角平分线的定义是解决问题的关键.
【详解】解:当点F在AB下方时,
过点F作HI∥AB,过点E作JK∥AB,如图1所示:
设∠GEK=α,
∵AB∥CD,
∴AB∥HI∥JK∥CD,
∵∠DCE=23°,∠ABF=51°,
∴∠KEC=∠DCE=23°,∠BFH=∠ABF=51°,
∴∠GEC=∠GEK+∠KEC=α+23°,
∵EG平分∠CEF,
∴∠GEC=∠GEF=α+23°,
∴∠FEK=∠FEG+∠GEK=23+2α,
∴∠BFE=∠BFH+∠HFE=23°+2α+51°=74°+2α,
∵GF平分∠BFE,
∴∠BFE=∠EFT=12∠BFE=1274°+2α=37°+α,
∴∠GFE=180°−∠EFT=180°−37°+α=143°−α,
∴∠EGF=180°−∠GFE+∠FEG=180°−α+23°+143°−α=14°;
②当点F在AB上方时,过点E作MN∥AB,如图2所示:
设∠PEN=β,
∵∠DCE=23°,∠ABF=51°,
∵AB∥CD,
∴AB∥MN∥CD,
∵∠CEN=∠DCE=23°,
∴∠PEC=∠PEN+∠CEN=β+23°,
∵GE平分∠CEF,
∴∠FEP=∠PEC=β+23°,
∴∠GEF=180°−∠FEP=180°−β+23°=157°−β,
∴∠FKA=∠FEN=∠FEP+∠PEN=β+23°+β=23°+2β,
∵∠FKA=∠ABF+∠BFE,
∴∠BFE=∠FKA−∠ABF=23°+2β−51°=2β−28°,
∵GF平分∠BFE,
∴∠GFE=12∠BFE=122β−28°=β−14°,
∴∠FGE=180°−∠GEF+∠GFE=180°−157°−β+β−14°=37°,
综上所示:∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角为14°或37°,
故答案为:14°或37°.
【变式1-1】(2024七年级·浙江·期末)如图,AC//BD,BC平分∠ABD,设∠ACB为α,点E是射线BC上的一个动点,若∠BAE:∠CAE=5:2,则∠CAE的度数为 .(用含α的代数式表示).
【答案】120°−43α或360°−4α7
【分析】根据题意可分两种情况,①若点E运动到l1上方,根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出∠BAC的度数,再由∠BAE:∠CAE=52,∠BAE=∠BAC+∠CAE,列出等量关系求解即可得出结论;②若点E运动到l1下方,根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出∠BAC的度数,再由∠BAE:∠CAE=52,∠BAE=∠BAC−∠CAE列出等量关系求解即可得出结论.
【详解】解:如图,若点E运动到l1上方,
∵AC//BD,
∴∠CBD=∠ACB=α,
∵BC平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠CBD=2α,
∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−2α,
又∵∠BAE:∠CAE=52,
∴(∠BAC+∠CAE):∠CAE=52,
(180°−2α+∠CAE):∠CAE=52,
解得∠CAE=180°−2α52−1=120°−43α;
如图,若点E运动到l1下方,
∵AC//BD,
∴∠CBD=∠ACB=α,
∵BC平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠CBD=2α,
∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−2α,
又∵∠BAE:∠CAE=52,
∴(∠BAC−∠CAE):∠CAE=52,
(180°−2α−∠CAE):∠CAE=52,
解得∠CAE=180°−2α52+1=360°−4α7.
综上∠CAE的度数为120°−43α或360°−4α7.
故答案为:120°−43α或360°−4α7.
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质,两直线平行,同位角相等.两直线平行,同旁内角互补.两直线平行,内错角相等,合理应用平行线的性质是解决本题的关键.
【变式1-2】(2024七年级·湖北武汉·期末)如图, AB∥CD,点E,F在直线AB上(F在E的左侧),点G在直线CD上,EH⊥HG,垂足为H,P为线段EH上的一动点,连接GP,GF,∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q,且点Q在直线AB,CD之间的区域,下列结论:
①∠BEH+∠DGH=90°;
②∠CGH+2∠FQG=270°;
③若∠PGH=3∠DGH,则3∠BEH+∠EPG=360°;
④若∠PGH=n∠DGH,则∠BEH+1n+1∠PGD=90°,其中n为正整数.
上述说法正确的是 (写出所有正确结论的序号).
【答案】①③④
【分析】过点H作HL∥AB,利用平行线的性质可得∠BEH+∠DGH=∠EHL+∠GHL=∠EHG=90°,即可判断①;根据角平分的定义可得∠QFG=12∠BFG,∠QGF=12∠FGH,再根据三角形内角和定理∠FQG=180°−∠QFG−∠QGF,根据∠CGH=180°−∠DGH,利用平行线的性质即可判断②;设∠DGH=x°,则∠PGH=3∠DGH=3x°,利用①的结论即可判断③,同上可判断④.
【详解】解:如图,过点H作HL∥AB,
∵AB∥CD,AB∥HL,
∴CD∥HL,
∴∠EHL=∠HEB,∠GHL=∠HGD,
∵EH⊥HG,
∴∠EHG=90°,
∴∠BEH+∠DGH=∠EHL+∠GHL=∠EHG=90°,故①正确;
∵∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q,
∴∠QFG=12∠BFG,∠QGF=12∠FGH,
∴∠FQG=180°−∠QFG−∠QGF,
根据①中的结论,可得∠FQG=∠BFQ+∠QGD,
∴ ∴∠CGH+2∠FQG=180°−∠HGD+2180°−∠QFG−∠QGF,
=180°−∠HGD+360°−2QFG−2QGF,
=540°−∠HGD+∠BFG+∠FGD
∵AB∥CD,
∴∠BFG=∠FGC,
∴ ∠HGD+∠BFG+∠FGD=∠HGD+∠FGC+∠FGD=180°,
∴∠CGH+2∠FQG=540°−180°=360°,故②错误;
设∠DGH=x°,则∠PGH=3∠DGH=3x°,
∴∠PGD=4x°,
根据①中结论可得∠BEH=90°−∠DGH=90°−x°,∴∠EPG=∠BEH+∠PGD=90°−x°+4x°=90°+3x°
∴3∠BEH+∠EPG=270°−3x°+90°+3x°=360°,故③正确;
设∠DGH=x°,则∠PGH=n∠DGH=nx°,
∴∠PGD=n+1x°,
∴x°=1n+1∠PGD=∠DGH,
根据①中结论可得∠BEH+∠DGH=∠BEH+1n+1∠PGD=90°,故④正确.
故答案为:①③④.
【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
【变式1-3】(2024七年级·河南新乡·期末)如图,直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点P为直线AB与CD间一动点,连接EP,FP,且∠EPF=120°,∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q,则∠EQF的度数为 .
【答案】60∘或120∘
【分析】
分两种情况讨论,当点P,Q在EF同侧或异侧时,利用角平分线的定义和平行线的性质,分别求解即可.
【详解】
解:分两种情况讨论:
①如图1,过点P,Q分别作PH∥AB,QG∥AB,
∵AB∥CD,
∴QG∥PH∥AB∥CD.
∴∠AEP=∠EPH,∠PFC=∠HPF.
∴∠AEP+∠CFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF=120∘.
∵∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q,
∴∠AEQ=12∠AEP,∠CFQ=12∠PFC.
∴∠AEQ+∠QFC=12∠AEP+∠PFC=60∘,
∵QG∥AB∥CD,
同理可得∠EQF=∠AEQ+∠QFC=60∘;
②如图2,过点P,Q分别作PH∥AB,QG∥AB,
∵AB∥CD,
∴QG∥PH∥AB∥CD.
∴∠AEP+∠EPH=180∘,∠HPF+∠CFP=180∘.
∵∠EPH+∠HPF=∠EPF=120∘,
∴∠AEP+∠CFP=180∘+180∘−120∘=240∘.
∵∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q,
∴∠AEQ=12∠AEP,∠CFQ=12∠PFC.
∴∠AEQ+∠QFC=12∠AEP+∠PFC=120∘.
∵QG∥AB∥CD,同①可得∠EQF=∠AEQ+∠QFC=120∘.
综上所述,∠EQF的度数为60∘或120∘.
故答案为:60∘或120∘
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,解题的关键是熟练掌握相关基础性质,利用分类讨论的思想求解问题.
【题型2 平行线中的旋转、平移问题】
【例2】(2024七年级·福建龙岩·期末)如图,在△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB是锐角,将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF(平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F),连接CD,若在整个平移过程中,∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系,则∠ACD= .
【答案】15°或30°或90°
【分析】根据△ABC的平移过程,分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况,根据平移的性质得到AB∥DE,根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系,列出方程求解即可.
【详解】第一种情况:如图,当点E在BC上时,过点C作CG∥AB,
∵△DEF由△ABC平移得到,
∴AB∥DE,
∵CG∥AB,AB∥DE,
∴CG∥DE,
①当∠ACD=2∠CDE时,
∴设∠CDE=x,则∠ACD=2x,
∴∠ACG=∠BAC=45°,∠DCG=∠CDE=x,
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG,
∴2x+x=45°,解得:x=15°,
∴∠ACD=2x=30°,
②当∠CDE=2∠ACD时,
∴设∠CDE=x,则∠ACD=12x,
∴∠ACG=∠BAC=45°,∠DCG=∠CDE=x,
∵∠ACD=∠ACG-∠DCG,
∴2x+12x=45°,解得:x=30°,
∴∠ACD=12x=15°,
第二种情况:当点E在△ABC外时,过点C作CG∥AB
∵△DEF由△ABC平移得到,
∴AB∥DE,
∵CG∥AB,AB∥DE,
∴CG∥DE,
①当∠ACD=2∠CDE时,
设∠CDE=x,则∠ACD=2x,
∴∠ACG=∠BAC=45°,∠DCG=∠CDE=x,
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG,
∴2x=x+45°,解得:x=45°,
∴∠ACD=2x=90°,
②当∠CDE=2∠ACD时,由图可知,∠CDE2t+4时,t=3,②当t2t+4时,t=3,解得t=3或t=−3,
当t=3时,2t+4=10,此时t
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