专题11.6 期末复习之填空压轴题十大题型总结（原卷版+解析版）

这是一份专题11.6 期末复习之填空压轴题十大题型总结（原卷版+解析版），文件包含专题116期末复习之填空压轴题十大题型总结人教版原卷版docx、专题116期末复习之填空压轴题十大题型总结人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc15248" 【题型1 平行线中的动点问题】 PAGEREF _Tc15248 \h 1
\l "_Tc2394" 【题型2 平行线中的旋转、平移问题】 PAGEREF _Tc2394 \h 8
\l "_Tc1578" 【题型3 实数中的新定义问题】 PAGEREF _Tc1578 \h 14
\l "_Tc10784" 【题型4 实数中的最值问题】 PAGEREF _Tc10784 \h 17
\l "_Tc18495" 【题型5 平面直角坐标系中的面积问题】 PAGEREF _Tc18495 \h 19
\l "_Tc1100" 【题型6 平面直角坐标系中的规律探究】 PAGEREF _Tc1100 \h 25
\l "_Tc12187" 【题型7 二元一次方程组中的数字问题】 PAGEREF _Tc12187 \h 28
\l "_Tc26428" 【题型8 二元一次方程中的方案设计】 PAGEREF _Tc26428 \h 33
\l "_Tc19416" 【题型9 一元一次不等式组中的最值问题】 PAGEREF _Tc19416 \h 36
\l "_Tc4856" 【题型10 方程与不等式的综合探究】 PAGEREF _Tc4856 \h 39
【题型1 平行线中的动点问题】
【例1】（2024七年级·河南新乡·期末）已知直线AB∥CD，E为两直线间一定点，∠DCE=23°，若点F为平面内一动点，且满足∠ABF=51°，连接BF，EF，则∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角为 ．
【答案】14°或37°
【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在AB下方，一种是点F在AB上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键．
【详解】解：当点F在AB下方时，
过点F作HI∥AB，过点E作JK∥AB，如图1所示：
设∠GEK=α，
∵AB∥CD，
∴AB∥HI∥JK∥CD，
∵∠DCE=23°，∠ABF=51°，
∴∠KEC=∠DCE=23°，∠BFH=∠ABF=51°，
∴∠GEC=∠GEK+∠KEC=α+23°，
∵EG平分∠CEF，
∴∠GEC=∠GEF=α+23°，
∴∠FEK=∠FEG+∠GEK=23+2α，
∴∠BFE=∠BFH+∠HFE=23°+2α+51°=74°+2α，
∵GF平分∠BFE，
∴∠BFE=∠EFT=12∠BFE=1274°+2α=37°+α，
∴∠GFE=180°−∠EFT=180°−37°+α=143°−α，
∴∠EGF=180°−∠GFE+∠FEG=180°−α+23°+143°−α=14°；
②当点F在AB上方时，过点E作MN∥AB，如图2所示：
设∠PEN=β，
∵∠DCE=23°，∠ABF=51°，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∵∠CEN=∠DCE=23°，
∴∠PEC=∠PEN+∠CEN=β+23°，
∵GE平分∠CEF，
∴∠FEP=∠PEC=β+23°，
∴∠GEF=180°−∠FEP=180°−β+23°=157°−β，
∴∠FKA=∠FEN=∠FEP+∠PEN=β+23°+β=23°+2β，
∵∠FKA=∠ABF+∠BFE，
∴∠BFE=∠FKA−∠ABF=23°+2β−51°=2β−28°，
∵GF平分∠BFE，
∴∠GFE=12∠BFE=122β−28°=β−14°，
∴∠FGE=180°−∠GEF+∠GFE=180°−157°−β+β−14°=37°，
综上所示：∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角为14°或37°，
故答案为：14°或37°．
【变式1-1】（2024七年级·浙江·期末）如图，AC//BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点，若∠BAE:∠CAE=5:2，则∠CAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）．
【答案】120°−43α或360°−4α7
【分析】根据题意可分两种情况，①若点E运动到l1上方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再由∠BAE:∠CAE=52，∠BAE=∠BAC+∠CAE，列出等量关系求解即可得出结论；②若点E运动到l1下方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再由∠BAE:∠CAE=52，∠BAE=∠BAC−∠CAE列出等量关系求解即可得出结论．
【详解】解：如图，若点E运动到l1上方，
∵AC//BD，
∴∠CBD=∠ACB=α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2α，
∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−2α，
又∵∠BAE:∠CAE=52，
∴(∠BAC+∠CAE):∠CAE=52，
(180°−2α+∠CAE):∠CAE=52，
解得∠CAE=180°−2α52−1=120°−43α；
如图，若点E运动到l1下方，
∵AC//BD，
∴∠CBD=∠ACB=α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2α，
∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−2α，
又∵∠BAE:∠CAE=52，
∴(∠BAC−∠CAE):∠CAE=52，
(180°−2α−∠CAE):∠CAE=52，
解得∠CAE=180°−2α52+1=360°−4α7．
综上∠CAE的度数为120°−43α或360°−4α7．
故答案为：120°−43α或360°−4α7．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
【变式1-2】（2024七年级·湖北武汉·期末）如图， AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P为线段EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：
①∠BEH+∠DGH=90°；
②∠CGH+2∠FQG=270°；
③若∠PGH=3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG=360°；
④若∠PGH=n∠DGH，则∠BEH+1n+1∠PGD=90°，其中n为正整数．
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

【答案】①③④
【分析】过点H作HL∥AB，利用平行线的性质可得∠BEH+∠DGH=∠EHL+∠GHL=∠EHG=90°，即可判断①；根据角平分的定义可得∠QFG=12∠BFG，∠QGF=12∠FGH，再根据三角形内角和定理∠FQG=180°−∠QFG−∠QGF，根据∠CGH=180°−∠DGH，利用平行线的性质即可判断②；设∠DGH=x°，则∠PGH=3∠DGH=3x°，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．
【详解】解：如图，过点H作HL∥AB，

∵AB∥CD,AB∥HL，
∴CD∥HL，
∴∠EHL=∠HEB，∠GHL=∠HGD，
∵EH⊥HG，
∴∠EHG=90°，
∴∠BEH+∠DGH=∠EHL+∠GHL=∠EHG=90°，故①正确；
∵∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，
∴∠QFG=12∠BFG,∠QGF=12∠FGH，
∴∠FQG=180°−∠QFG−∠QGF，
根据①中的结论，可得∠FQG=∠BFQ+∠QGD,
∴ ∴∠CGH+2∠FQG=180°−∠HGD+2180°−∠QFG−∠QGF，
=180°−∠HGD+360°−2QFG−2QGF，
=540°−∠HGD+∠BFG+∠FGD
∵AB∥CD，
∴∠BFG=∠FGC，
∴ ∠HGD+∠BFG+∠FGD=∠HGD+∠FGC+∠FGD=180°，
∴∠CGH+2∠FQG=540°−180°=360°，故②错误；
设∠DGH=x°，则∠PGH=3∠DGH=3x°，
∴∠PGD=4x°，
根据①中结论可得∠BEH=90°−∠DGH=90°−x°，∴∠EPG=∠BEH+∠PGD=90°−x°+4x°=90°+3x°
∴3∠BEH+∠EPG=270°−3x°+90°+3x°=360°，故③正确；
设∠DGH=x°，则∠PGH=n∠DGH=nx°，
∴∠PGD=n+1x°，
∴x°=1n+1∠PGD=∠DGH，
根据①中结论可得∠BEH+∠DGH=∠BEH+1n+1∠PGD=90°，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2024七年级·河南新乡·期末）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB与CD间一动点，连接EP，FP，且∠EPF=120°，∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q，则∠EQF的度数为 ．

【答案】60∘或120∘
【分析】
分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①如图1，过点P，Q分别作PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴QG∥PH∥AB∥CD．
∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠HPF．
∴∠AEP+∠CFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF=120∘．
∵∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q，
∴∠AEQ=12∠AEP，∠CFQ=12∠PFC．
∴∠AEQ+∠QFC=12∠AEP+∠PFC=60∘，
∵QG∥AB∥CD，
同理可得∠EQF=∠AEQ+∠QFC=60∘；
②如图2，过点P，Q分别作PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴QG∥PH∥AB∥CD．
∴∠AEP+∠EPH=180∘，∠HPF+∠CFP=180∘．
∵∠EPH+∠HPF=∠EPF=120∘，
∴∠AEP+∠CFP=180∘+180∘−120∘=240∘．
∵∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q，
∴∠AEQ=12∠AEP，∠CFQ=12∠PFC．
∴∠AEQ+∠QFC=12∠AEP+∠PFC=120∘．
∵QG∥AB∥CD，同①可得∠EQF=∠AEQ+∠QFC=120∘．

综上所述，∠EQF的度数为60∘或120∘．
故答案为：60∘或120∘
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，利用分类讨论的思想求解问题．
【题型2 平行线中的旋转、平移问题】
【例2】（2024七年级·福建龙岩·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD= ．
【答案】15°或30°或90°
【分析】根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥DE，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
【详解】第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作CG∥AB，
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴AB∥DE，
∵CG∥AB，AB∥DE，
∴CG∥DE，
①当∠ACD=2∠CDE时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=15°，
∴∠ACD=2x=30°，
②当∠CDE=2∠ACD时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=12x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG-∠DCG，
∴2x+12x=45°，解得：x=30°，
∴∠ACD=12x=15°，
第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作CG∥AB
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴AB∥DE，
∵CG∥AB，AB∥DE，
∴CG∥DE，
①当∠ACD=2∠CDE时，
设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x=x+45°，解得：x=45°，
∴∠ACD=2x=90°，
②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE2t+4时，t=3，②当t2t+4时，t=3，解得t=3或t=−3，
当t=3时，2t+4=10，此时t