西藏自治区拉萨市2024届高三一模数学（理）试卷(含答案)

这是一份西藏自治区拉萨市2024届高三一模数学（理）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集,,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数为纯虚数,则实数a的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
3．双曲线的焦点坐标为( )
A.,B.,
C.,D.,
4．将函数（）的图象向左平移个单位长度,得到偶函数的图象,则( )
A.B.C.D.
5．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．已知抛物线的焦点为F,点M在抛物线C上,且,O为坐标原点,则( )
A.B.C.4D.5
7．二项式的展开式中的第3项为( )
A.160B.C.D.
8．若变量x,y满足约束条件,则的最小值为( )
A.B.C.D.
9．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为,底边上的高为1的等腰三角形,则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
10．的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
11．“不以规矩,不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺,用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板,首先用矩测量其直径,如图,矩的较长边为10cm,较短边为5cm,然后将这个圆形木板截出一块四边形木板,该四边形ABCD的顶点都在圆周上,如图,若,,则( )
A.B.C.D.
12．已知函数的定义域为R,,,且,,当时,,则不等式的解集为( )
A.或B.
C.或D.
二、填空题
13．已知x,,空间向量,.若,则________.
14．已知正数a,b满足,则的最小值为_______________.
15．如果两个球的表面积之比为,那么这两个球的体积之比为_______________.
三、双空题
16．已知函数,函数的图象与x轴的交点关于y轴对称,当时,函数___________;当函数有三个零点时,函数的极大值为____________.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为,,.
(1)求的通项公式;
(2)记数列的前n项和为,求.
18．如图,正方体的棱长为2.
(1)证明：平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．当前,以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破,全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC,我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道,某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》,先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访.
(1)求选取的3个科技企业中,BAT中至多有1个的概率;
(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X,求X的分布列与期望.
20．设椭圆的上顶点为B,左焦点为F.且B,F在直线上.
(1)求E的标准方程;
(2)若直线与E交于P,Q两点,且点为中点,求直线l的方程.
21．已知函数.
(1)若,求的最小值；
(2)若方程有解,求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的直角坐标方程以及曲线C的普通方程;
(2)过直线l上一点A作曲线C的切线,切点为B,求的最小值.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)证明：,,使得.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,,所以,
因为,所以.
故选：A.
2．答案：D
解析：因为为纯虚数,
所以,解得.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为,,所以,得,
所以焦点坐标为和.
故选：C.
4．答案：A
解析：将的图象向左平移个单位长度,得到的图象,
因为为偶函数,且,所以,得.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为,又函数的定义域为,故为奇函数,排除CD;
根据指数函数的性质,在R上单调递增,当时,,故,则,排除B.
故选：A.
6．答案：B
解析：设,由得,又,得,
所以,.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为,所以,故C项正确.
故选：C.
8．答案：C
解析：根据约束条件画出如图所示的可行区域,
再利用几何意义知表示点与点连线的斜率,
直线的斜率最小,由,得,
所以.
故选：C.
9．答案：B
解析：由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,腰长为,底边长为2,
所以圆锥的母线长,底面圆半径,
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B.
10．答案：D
解析：因为,
变形得,
所以.
故选：D.
11．答案：A
解析：因为,所以为圆的直径,
根据题意,可得,
又因为在以为直径的圆上,即以为直径的圆为的外接圆,
由正弦定理,可得.
故选：A.
12．答案：B
解析：因为函数的定义域为R,,所以函数图象关于对称,
又,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
记,
因为关于对称,且在上单调递增,在上单调递减,
所以关于对称,且在上单调递增,在上单调递减,
由得,等价于,所以,
所以,解得,
所以不等式的解集为.
故选：B.
13．答案：1
解析：因为,所以,即,得.
故答案为:.
14．答案：
解析：正数a,b满足,
,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为2.
故答案为：2.
15．答案：
解析：根据球的表面积公式,可求得两个球的半径之比为,
利用球的体积公式可得出两个球的体积比为
故答案为：.
16．答案：;或
解析：,
当时,函数有两个零点,其中一个为-1,另一个必为1,
于是,;
当有3个零点时,因为函数的图象与x轴的交点关于y轴对称,
所以0是函数的零点,
从而1也是函数的零点,
于是,,
由,得,
当或时,;当时,.
所以,当时,函数有极大值,极大值为.
故答案为：;.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）设的公差为d,
由已知得解得,.
故.
（2）,
所以
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）,平面,平面,
平面.
（2）如图,以D为原点,,,分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
由得,
令,得,
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1)
(2)分布列见解析,期望值为
解析：（1）选取的3个科技企业中,BAT中有1个的情况为种,
BAT中有0个的情况为种,
故BAT中至多有1个的概率为.
（2）由题意,X的所有取值为0,1,2,3,
,
,
所以X的分布列为
.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意,直线与x轴的交点为,与y轴的交点为,
所以,,,
因此的标准方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时,,
联立,解得或,
故,,不满足,即A不是的中点,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线,,.
联立可得,
即.
所以.
由于为的中点,所以,即,解得.
综上,直线l的方程为,即.
21．答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,,,
设,则,
在上单调递增,且,
时,,单调递减,时,,单调递增,
；
（2）即,即,
设,则,
,设,则,
所以时,,单调递减,时,,单调递增,
所以,即,在上单调递增,
所以方程有解即在上有解,有解,即有解,
设,则,
时,,单调递增,时,,单调递减,所以,
所以,即实数a的取值范围是.
22．答案：(1);
(2)
解析：（1）依题意,由,消去t,得直线l的直角坐标方程为;
因为,故,
即曲线C的普通方程为.
（2）由（1）知,曲线C表示以为圆心,1为半径的圆.
所以,要使得最小,只需最小,
又,
所以的最小值为.
23．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）因为,所以.
当时,原式化为,解得,则;
当时,原式化为,解得;
当时,原式化为,解得,则,
综述,原不等式的解集为.
（2）证明：依题意,,
当且仅当时取等号,
又,
当且仅当时取等号,
故,,使得.
X
0
1
2
3
P