浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024届高三下学期第三次联考（三模）数学试卷(含答案)

这是一份浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024届高三下学期第三次联考（三模）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．集合，，则( )
A.B.C.D.
2．复数的虚部是( )
A.iB.1C.D.-2
3．已知单位向量a，b满足，则( )
A.0B.C.D.1
4．设为等比数列的前n项和，已知，则公比( )
A.2B.-2C.D.
5．已知，点P在圆上运动，则的最大值为( )
A.B.C.D.32
6．若函数的最大值为2，则常数ω的取值可以为
A.1B.C.D.
7．已知表示不超过x的最大整数，若为函数的极值点，则( )
A.B.C.D.
8．设O为原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3
B.已知随机变量X服从正态分布，越小，表示随机变量X分布越集中
C.已知一组数据，，……，的方差为3，则，，，…，的方差为3
D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点为，则
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是( )
A.
B.若，，则有两解
C.当时，为直角三角形
D.若为锐角三角形，则的取值范围是
11．在棱长为1的正方体中，已知E、F分别为线段，的中点，点P满足，，，则
A.当时，三棱锥的体积为定值
B.当，四棱锥的外接球的表面积是
C.周长的最小值为
D.若，则点P的轨迹长为
三、填空题
12．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为________.
13．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是种________.(用数字作答)
14．已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
15．已知等差数列的公差不为零，、、成等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
16．已知四面体，，.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天
他跑步的概率为，跳绳的概率为.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里.记寒假第n天不下雪的概率为.
（1）求、、的值，并求；
（2）设小王寒假第n天通过运动消耗的能量为X，求X的数学期望.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，离心率为，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y
轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面)垂直.
①若折叠后，求m的值；
②是否存在m，使折叠后、两点间的距离与折叠前A、B两点间的距离之比为？
折叠前
折叠后
19．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“α旋转函数”.
（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数是“α旋转函数”，求的最大值；
（3）若函数是“旋转函数”，求m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,
，
则.
故选：C.
2．答案：D
解析：，虚部是-2.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为单位向量a，b满足,
所以，
，
所以，
4．答案：A
解析：根据题意，等比数列中，，，
两式相减可得：，即
变形可得：，变形可得.
故选：A.
5．答案：C
解析：点P在圆上，
设，
又，，
.
当时，的最大值是.
故选：C.
6．答案：D
解析：
的最大值为2，
，且.
，且，
观察四个选项，只有时，
满足题意
故选：D.
7．答案：B
解析：对求导可得
令，，，
，
令，
，
又，，，
，
在上单调递增,
当，
,
当，
所以存在使得,即存在使得,
又为函数的极值点,
，
所以，
故选：B
8．答案：B
解析：设，，由双曲线的定义知（1），在中，由余弦定理得，
（2），
又，
（3），
由（1）（3）得(4)，
把（3）(4)代入（2）得，
化简得，
，
渐近线方程为.
9．答案：BC
解析：把数据7，5，3，10，2从小到大排列，得2，3，5，7，10，
该组数据的第40百分位数是，故A错误；
已知随机变量X服从正态分布，越小，正态分布曲线越高，表示随机变量X分布越集中，故B正确；
已知一组数据，，…，，的方差为3，则，，，…，的方差为，故C正确；
根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点为，散点不一定在回归直线上，则不一定成立，故D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ABD
解析：选项当时，点P在线段上，且，为定值，A正确.
B选项当时，点P为线段的中点，易求正四棱锥的外接球的半径为，则表面积是，B正确.
C选项点P在矩形及其内部，取线段的中点，由对称性知，，，，C错误.
D选项，又点P在矩形及其内部，点P的轨迹为点A为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形，为圆（部分），，该圆是以的中点为圆心，半径为1的圆的一部分(即圆周)，则轨迹长为，D正确.
12．答案：3
解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，高为h，则，，，所以，所以
13．答案：180
解析：
14．答案：
解析：不等式可化为，
即，数形结合得，
其中为过原点且与相切的直线，为过原点且与相切的直线，
易得，.故，.
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由题意①②
由①②可得，，
所以.
（2）
16．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）取的中点M，连，，
由，可得，，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以
（2）方法1:因为，所以，
又，所以，
由（1）可得平面，所以平面平面，
作交延长线于点H，则平面且，
设点B到平面的距离为h，
.
设直线与平面所成角为θ，，
所以直线与平面取成线面角的正弦值为，
方法2:因为，所以，又，
所以，
由（1）可得平面
所以平面平面，
作交延长线于点H，
则平面且，
如图，以为x轴，为y轴，z轴建立空间直角坐标系
，，，，
，，，
设面的一个法向量为
，则，
所以
设直线与平面所成角为θ，
所以直线与平面取成线面角的正弦值为.
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）依题意，，，，
依题意，
整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即
（2）
，
则他第n天通过运动锻炼消耗的能量X的期望为
18．答案：（1）；
（2）①；②不存在，理由见解析.
解析：（1）由题意，解得:，，
所以椭圆C的标准方程为
（2）折叠前设，，联立
直线与椭圆交于不同两点，所以，解得，从而
因为位于x轴两侧，则，从而
以为坐标原点，折叠后，分别以原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y
z轴建立空间直角坐标系，则折叠后，
①折叠后，则，即，所以，
②折叠前
折叠后
所以，解得，此时直线l与椭圆无交点
故不存在m，使折叠后的与折叠前的长度之比为
19．答案：（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）.
解析：（1）函数不是“旋转函数”，理由如下:
逆时针旋转后与y轴重合，
当时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”
（2）由题意可得函数与函数最多有1个交点，且
即最多有一个根，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，
因为，所以，所以，
即，，即的最大值为
（3）由题意可得函数与函数最多有1个交点，
即，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，
，当时，，
所以，
令，则，
因为在上单调减，且，
所以存在，使，即，
所以在，
所以，
即