2023-2024学年上海市静安区育才初级中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区育才初级中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在π2、0.3、 2、−5、217、3.14、这六个数中，无理数的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列说法正确的是( )
A. 4的平方根是±2B. 8的立方根是±2C. −27没有立方根D. 9的平方根是3
3.下列计算正确的是( )
A. (− 8)2=64B. (−25)2=±25C. 9116=314D. − (−8)2=−8
4.下列说法正确的是( )
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 在平面内，过一点作已知直线的平行线有且只有一条
C. 在平面内，过一点作已知直线的垂线有且只有一条
D. 互补的角是邻补角
5.下列说法正确的是( )
A. 若∠A+∠B>∠C，则△ABC为锐角三角形
B. 若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC为锐角三角形
C. 若AB=BC=AC=2cm，则△ABC为锐角三角形
D. 若∠A<90°且∠B<90°，则△ABC为锐角三角形
6.如图所示的“箭头”图形中，AB/​/CD，∠B=∠D=80°，∠E=∠F=47°，则图中∠G的度数是( )
A. 80°B. 76°C. 66°D. 56°
二、填空题：本题共16小题，每小题2分，共32分。
7.计算： 9= ______．
8.计算：3−0.064=______．
9.计算：(823)−14= ______(结果表示为含幂的形式)．
10.比较大小：2 3______3 2.(填“>、<、或=”)
11.如果a< 1112.2021年5月第七次全国人口普查资料显示，我国人口总数为1443497378人，保留5个有效数字可以近似表示为______人.(用科学记数法表示)
13.将方根453写成幂的形式为______．
14.若8x3=−27，则x的值为______．
15.如图，直线AB、CD相交于点O，如果OE平分∠BOD，∠EOD=30°，那么∠AOC度数为______．
16.两直线AB、CD相交于点O，若2∠AOB=3∠BOC，则两直线的夹角为______度.
17.如图，AB/​/CD，△ACD的面积等于12cm2，CD=6cm，则点C到直线AB的距离为______cm．
18.若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是______．
19.直角△ABC中，∠ABC=90°，∠A=2∠C，则∠C的度数为______度.
20.如图所示，AD//BC，AC，BD相交于点O，若△AOD面积为2，△AOB面积为3，则△BOC的面积为______．
21.若实数x，y满足等式 x−2+ 3−x−4y=0，则化简|1−x|+|4−x|+|y|−y= ______．
22.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究.若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是______．
三、解答题：本题共9小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题6分)
计算：4 3−2(1+ 3)+ (−2)2．
24.(本小题6分)
计算：( 15)2÷ 3×1 3− 6× 24．
25.(本小题6分)
计算：(3 2−2 3)2+(3 2+2 3)2
26.(本小题6分)
利用幂的性质计算：642× 8÷216．
27.(本小题6分)
已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长．
28.(本小题6分)
公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形ABCD为绿化地，扇形EAF为所划区域，AF=4FD，求需要多长的篱笆.(π≈3.14, 10≈3.2，结果精确到十分位)
29.(本小题6分)
已知：如图，AB/​/CD，∠A=∠C，试说明AD//BC．
解：∵AB//CD(已知)，
∴∠A+∠D=180° (______)，
∵∠A=∠C(已知)，
∴ ______(等量代换)，
∴AD/​/BC(______).
30.(本小题8分)
如图，已知AB/​/CD，FE平分∠HFB，HF交CD于点G，若∠HGD=40°，求∠CEF的度数．
31.(本小题6分)
在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N.将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．

(1)如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2=°，∠3−∠1=°；
(2)如图2，猜想∠3−∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
(3)若∠BEC=α，∠BDC=β，用含α和β的代数式表示∠3−∠1的度数.(直接写出结果即可)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：在π2、0.3、 2、−5、217、3.14这六个数中，无理数有π2、 2，共2个．
故选：B．
根据无理数的定义进行解答即可．
本题考查的是无理数．涉及到算术平方根及立方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、4的平方根是±2，故A正确；
B、8的立方根是2，故B错误；
C、−27的立方根是−3，故C错误；
D、9的平方根是±3，故D错误；
故选：A．
根据平方根和立方根的定义进行选择即可．
本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、(− 8)2=8，原计算错误，不符合题意；
B、 (−25)2=25，原计算错误，不符合题意；
C、 9116= 14516= 1454，原计算错误，不符合题意；
D、− (−8)2=−8，正确，符合题意，
故选：D．
根据二次根式的性质逐项判断即可．
本题考查了利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意；
B、过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，故原说法错误，不符合题意；
C、在平面内，过一点作已知直线的垂线有且只有一条，故原说法正确，符合题意；
D、邻补角互补，但互补的角不一定是邻补角，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
根据邻补角的定义、平行线的性质、垂线的性质，逐项判断即可．
本题考查了邻补角的定义、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握邻补角的定义、平行线的性质、垂线的性质是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、当∠A=20°，∠B=100°，∠C=60°时，满足∠A+∠B>∠C，但△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=11+2+3×180°=30°，∠B=21+2+3×180°=60°，∠C=31+2+3×180°=90°，则△ABC为直角三角形，故原说法错误，不符合题意；
C、若AB=BC=AC=2cm，则△ABC为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意；
D、若∠A=20°，∠B=20°，满足∠A<90°且∠B<90°，则∠C=140°，故△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意．
故选：C．
根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案．
本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴GK//CD，
∴∠KGM=∠EMB，∠KGN=∠DNF，
∴∠KGM+∠KGN=∠EMB+∠DNF，
∴∠EGF=∠EMB+∠DNF，
∵∠ABE=80°，∠E=47°，
∴∠EMB=∠ABE−∠E=33°，
同理：∠DNF=33°，
∴∠EGF=∠EMB+∠DNF=33°+33°=66°．
故选：C．
延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK/​/AB，得到GK//CD，推出∠KGM=∠EMB，∠KGN=∠DNF，得到∠EGF=∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质得到∠EMB=33°，∠DNF=33°，即可求出∠EGF的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到∠EGF=∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质求出∠EMB、∠DNF的度数，即可解决问题．
7.【答案】3
【解析】解： 9=3．
故答案为：3．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
8.【答案】−0.4
【解析】解：∵(−0.4)3=−0.064，
∴3−0.064=−0.4，
故答案为：−0.4．
根据立方根的定义计算可得．
本题主要考查立方根，解题的关键是熟练掌握立方根的定义．
9.【答案】8−16
【解析】解：(823)−14=823×(−14)=8−16．
故答案为：8−16．
根据分数指数幂的运算法则计算即可得解．
本题考查了分数指数幂的运算，掌握分数指数幂的运算法则是关键．
10.【答案】<
【解析】解：∵(2 3)2=12，(3 2)2=18，
而12<18，
∴2 3<3 2．
故答案为：<．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
11.【答案】3
【解析】解：∵ 9< 11< 16，
∴3< 11<4，
∵a< 11∴整数a=3．
故答案为：3．
首先估算 11大小，再确定整数a的值即可．
本题考查了估算无理数的大小，其常见的思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
12.【答案】1.4435×109
【解析】解：我国人口总数为1443497378人，保留5个有效数字可以近似表示为1.4435×109，
故答案为：1.4435×109．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是非负数，当原数绝对值小于1时，n是负数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．据此解答．
本题考查了科学记数法的表示方法，近似数，解答本题的关键是要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】534
【解析】解：将方根453写成幂的形式为534．
故答案为：534．
将453写成幂的形式即可得解．
本题考查了分数指数幂，解题的关键是明确分数指数幂的含义．
14.【答案】−32
【解析】解：∵8x3=−27，
∴x3=−278，
∴x=3−278=−32，
故答案为：−32．
先将系数化为1，再利用立方根的定义解方程即可．
本题考查了利用立方根的定义解方程，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键．
15.【答案】60°
【解析】解：∵OE平分∠BOD，∠EOD=30°，
∴∠BOD=2∠EOD=60°，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
故答案为：60°．
先根据角平分线的定义，得出∠BOD=2∠EOD=60°，再根据对顶角相等，即可解答．
本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】60
【解析】解：如图，直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOB是平角，∠AOB=180°，
∵2∠AOB=3∠BOC，
∴2×180°=3∠BOC，
解得：∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−120°=60°，
∴两直线的夹角为60°，
故答案为：60．
根据题意，画出图形，由平角定义得出∠AOB=180°，根据2∠AOB=3∠BOC可求出∠BOC的度数，根据邻补角的定义得出∠AOC的度数即可得答案．
本题考查平角的定义、邻补角的定义及一元一次方程在几何图形中的应用，熟练掌握邻补角的和为180°是解题关键．
17.【答案】4
【解析】解：如图，作AE⊥CD于E，
∵△ACD的面积等于12cm2，CD=6cm，
∴12CD⋅AE=12，即12×6×AE=12，
∴AE=4cm，
∵AB/​/CD，
∴点C到直线AB的距离为4cm，
故答案为：4．
作AE⊥CD于E，先求出AE=4cm，再结合点到直线的距离的意义即可得解．
本题考查了与三角形的高有关的计算、点到直线的距离，掌握三角形的高是候关键．
18.【答案】5cm【解析】解：因为△ABC的两边长为3cm，8cm，
所以8cm−3cm即5cm故答案为：5cm根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出答案．
本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．
19.【答案】30
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠A=2∠C，
∴∠A+∠C=2∠C+∠C=90°，
解得：∠C=30°，
故答案为：30．
根据直角三角形两个锐角互余得出∠A+∠C=2∠C+∠C=90°，即可解答．
本题考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，直角三角形两个锐角互余．
20.【答案】92
【解析】解：∵△AOD面积为2，△AOB面积为3，
∴OD：OB=2：3，
∵AD/​/BC，
∴S△ABC=S△DBC，
∴S△AOB=S△COD=3，
∵S△COD：S△BOC=2：3，
∴3：S△BOC=2：3，
∴S△BOC=92．
故答案为：92．
根据△AOD面积为2，△AOB面积为3，可得OD：OB=2：3，利用平行线的等积变形，可知S△ABC=S△DBC，S△AOB=S△COD=3，进而利用S△COD：S△BOC=2：3，即可求的答案．
本题考查了平行线的等积变形，求三角形的面积，熟练掌握利用平行线的等积变形求三角形的面积的方法是解题的关键．
21.【答案】3
【解析】解：由题意得：x−2≥0，3−x≥0，
解得：2≤x≤3，
∴1−x<0，4−x>0，
∵ x−2+ 3−x−4y=0，
∴ x−2+ 3−x=4y，
∵ x−2≥0， 3−x≥0，
∴y≥0，
∴|1−x|+|4−x|+|y|−y
=x−1+4−x+y−y
=3．
故答案为：3．
先根据算术平方根的非负性得出2≤x≤3，从而得出1−x<0，4−x>0，由题意得出 x−2+ 3−x=4y，结合 x−2≥0， 3−x≥0，得出y≥0，再根据绝对值的性质化简绝对值即可．
本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，关键是四则混合运算的熟练运用．
22.【答案】28
【解析】解：∵m−n>1，m、n均为正整数，
∴m−n=2，m−n=3，m−n=4，m−n=5，…，
∴m=n+2，m=n+3，m=n+4，m=n+5，…，
∵m2−n2=(m+n)(m−n)，
∴当m=n+2时，m2−n2=(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=2(2n+2)，得到的“智慧优数”分别为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…，
当m=n+3时，m2−n2=(n+3)2−n2=(n+3+n)(n+3−n)=3(2n+3)，得到的“智慧优数”分别为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…，
当m=n+4时，m2−n2=(n+4)2−n2=(n+4+n)(n+4−n)=4(2n+4)，得到的“智慧优数”分别为：24，32，40，48，56，64，72，80，…，
当m=n+5时，m2−n2=(n+5)2−n2=(n+5+n)(n+5−n)=5(2n+5)，得到的“智慧优数”分别为：35，45，55，65，75，85，…，
当m=n+6时，m2−n2=(n+6)2−n2=(n+6+n)(n+6−n)=6(2n+6)，得到的“智慧优数”分别为：48，60，72，84，…，
当m=n+7时，m2−n2=(n+7)2−n2=(n+7+n)(n+7−n)=7(2n+7)，得到的“智慧优数”分别为：63，77，91，…，
当m=n+8时，m2−n2=(n+8)2−n2=(n+8+n)(n+8−n)=8(2n+8)，得到的“智慧优数”分别为：80，…，
∴把这些“智慧优数”从小到大排列为：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，…，
∴第9个智慧优数是28，
故答案为：28．
根据m−n>1，m、n均为正整数，得出m−n=2，m−n=3，m−n=4，m−n=5，…，从而得出m=n+2，m=n+3，m=n+4，m=n+5，…，把平方差公式中的换成和n相关的式子，得到新的式子，然后将n=1，2，3，…一次代入计算即可．
本题考查了因式分解的应用，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
23.【答案】解：4 3−2(1+ 3)+ (−2)2
=4 3−2−2 3+2
=(4 3−2 3)+(2−2)
=2 3
【解析】根据实数的运算顺序，首先计算小括号里面的，然后从左向右依次计算，求出算式4 3−2(1+ 3)+ (−2)2的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
24.【答案】解：原式=15×1 3×1 3− 6×2 6
=15×13−2×6
=5−12
=−7．
【解析】先利用二次根式的性质化简，再把除法运算化为乘法运算，然后计算二次根式的乘法运算，最后进行理数的混合运算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
25.【答案】解：(3 2−2 3)2+(3 2+2 3)2
=(18−12 6+12)+(18+12 6+12)
=18−12 6+12+18+12 6+12
=60．
【解析】先利用完全平方公式进行计算，再去括号，最后计算加减即可得出答案．
本题考查二次根式的混合运算，关键是解答前一定要仔细观察，看是否能运用公式，这样会使运算量大大减少．
26.【答案】解：642× 8÷216
=6(22)2× 23÷216
=624× 23÷216
=246×232÷216
=246+32−16
=22
=4．
【解析】先将各根式化为2的分数指数幂的形式，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算法则计算即可．
本题考查了分数指数幂、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，关键是四则混合运算的运用．
27.【答案】解：如果腰长为4cm，
则底边长为16−4−4=8cm．
三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．这样的三边不能围成三角形，
所以应该是底边长为4cm.所以腰长为(16−4)÷2=6cm.三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．
【解析】分4cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
28.【答案】解：∵公园里有一块面积为10平方米的正方形ABCD绿化地，
∴AD= 10米，
∵AF=4FD，AD+DF=AD，
∴AF=45AD=4 105米，
∵扇形EAF为所划区域，
∴AE=AF=4 105米，扇形的周长=90×2π×45 10360=2 105π(米)，
∴需要的篱笆长度=45 10+45 10+2 105π=8 105+2 105π≈9.1(米)，
∴需要9.1米的篱笆．
【解析】由算术平方根的定义得出AD= 10，结合AF=4FD得出AF=45AD=4 105，求出扇形的周长，即可得出答案．
本题考查了算术平方根的应用、求扇形的周长，解答本题的关键要熟练掌握扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=πR2或S扇形=lR(其中l为扇形的弧长)．
29.【答案】两直线平行，同旁内角互补 ∠C+∠D=180° 同旁内角互补，两直线平行
【解析】解：∵AB//CD(已知)，
∴∠A+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠A=∠C(已知)，
∴∠C+∠D=180°.(等量代换)
∴AD/​/BC(同旁内角互补，两直线平行)．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠C+∠D=180°；同旁内角互补，两直线平行．
利用平行线的判定与性质证明即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键．
30.【答案】解：∵∠HGD=40°，AB/​/CD，
∴∠AFH=∠HGD=40°，
∴∠BFH=180°−∠AFH=140°，
∵FE平分∠HFB，
∴∠BFE=12∠BFH=70°，
∵AB/​/CD，
∴∠BFE+∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°−∠BFE=110°．
【解析】利用邻补角求角度，由平行线的性质得出∠AFH=∠HGD=40°，利用邻补角得出∠BFH=140°，由角平分线的定义得出∠BFE=12∠BFH=70°，最后由平行线的性质求解即可．
本题考查了利用平行线的性质求角的度数、角平分线的计算，关键是平行线性质的应用．
31.【答案】(1)解：在△ACE中，∠ACE=∠BEC−∠A
=130°−110°
=20°，
∵CE平分∠ACE，
∴∠2=∠ACE=20°，
∠ACB=2∠2=2×20°=40°，
在△ABC中，∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−110°−40°=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=12∠ABC=12×30°=15°，
∵MN⊥BC，
∴∠3=90°−∠2=90°−20°=70°，
∴∠3−∠1=70°−15°=55°，
故答案为：20，55；
(2)∠3−∠1与∠A的数量关系是：∠3−∠1=12∠A．
证明：∵在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，
∵MN⊥BC于点N，
∴∠MNC=90°，
∴在△MNC中，∠3=90°−∠2，
∴∠3−∠1=90°−∠2−∠1，
=90°−12∠ACB−12∠ABC，
=90°−12(∠ACB+∠ABC)，
∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC=180°−∠A，
∴∠3−∠1=90°−12(180°−∠A)，
=12∠A；
(3)解：∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β=180°，
∠2+2∠1+α=180°，
∴∠1+∠2=120°−α+β3，
∵∠1+∠2=12(∠ACB+∠ABC)=12(180°−∠A)，
∴120°−α+β3=12(180°−∠A)，
整理得，12∠A=α+β3−30°，
∴∠3−∠1=α+β3−30°．
【解析】(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE=∠BEC−∠A，再根据角平分线的定义可得∠2=∠ACE；根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后相减即可得解；
(2)根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠3，然后表示出∠3−∠1=90°−12∠ACB−12∠ABC，再根据三角形的内角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°−∠A，然后代入整理即可得解；
(3)在△BCE和△BCD中，根据三角形内角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义用∠A表示出∠1+∠2，然后根据∠3−∠1=12∠A整理即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．