2023-2024学年甘肃省兰州二中志果班高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州二中志果班高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x−y+1=0，则
( )
A. a=1，b=1B. a=−1，b=1
C. a=1，b=−1D. a=−1，b=−1
2.已知空间向量a=(1,2,3)，b=(1,x,−3)，若a⊥b，则|b|=( )
A. 4B. 5C. 26D. 74
3.现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )
A. 25B. 35C. 12D. 23
4.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
5.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 若a，b与α所成的角相等，则α//bB. 若a/​/α，b/​/β，α/​/β，则a/​/b
C. 若a⊂α，b⊂β，α//b，则α/​/βD. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
6.已知直线l的方向向量a=(1,1,0)，平面α的一个法向量为n=(1,1,− 6)，则直线l与平面α所成的角为( )
A. 120°B. 60°C. 30°D. 150°
7.若函数f(x)=x(x−a)2在x=2处取得极小值，则a=( )
A. 2或6B. 3或4C. 3D. 2
8.函数f(x)=12x−sinx在区间[0,π]上的最小值是( )
A. 5π12− 32B. π6− 32C. π6−12D. π12−12
9.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则下列说法正确的是( )
A. AB与AC是共线向量
B. 与向量AB方向相同的单位向量是(2 55,− 55,0)
C. AB与BC夹角的余弦值是− 5511
D. 平面ABC的一个法向量是(−1,−2,5)
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的有( )
A. f(x)在x=e处取得极大值1e
B. f(x)有两不同零点
C. f(2)D. 若f(x)1
11.如图，AB是圆柱底面圆的直径，AF是圆柱的母线，点C为底面圆上一点，D为线段BC的中点，DE/​/AF，且AC=AF=CD=2DE，点G在直线AB上，则下列说法正确的是( )
A. 当G为AB的中点时，平面FAC//平面EDG
B. 当G为AB的中点时，直线GE与平面BEC所成角为π4
C. 不存在点G，使得EG⊥平面CEF
D. 当BG=13BA时，使得EG⊥平面CEF
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知P(B|A)=13,P(A)=25，则P(AB)= ______．
13.已知向量OA=(0,1,1),OB=(−2,1,2)，则点A到直线OB的距离为______．
14.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间直角坐标系中的三点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)．
(1)若|c|=3，且c//BC，求向量c的坐标；
(2)已知向量kAB+AC与AC互相垂直，求k的值．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
(1)求证：MN/​/平面BDE；
(2)求二面角C−EM−N的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=axex，其中a>0，且函数f(x)的最大值1e．
(1)求实数a的值；
(2)若函数g(x)=lnf(x)−b有两个零点，求实数b的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，DE/​/BF，AD=DE=2，BF=12．
(1)求证：AC⊥EF；
(2)在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23；若存在，求出点G到平面ACF的距离，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx+12x2−(a+1)x(a>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)=(3−a)x−f(x)有两个极值点x1，x2(x1①求实数a的取值范围；
②证明：g(x1)+g(x2)<10−lna．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的运用，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，属于基础题．
求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a=1，b=1．
【解答】
解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，
可得在点(0,b)处的切线斜率为a，
由点(0,b)处的切线方程为x−y+1=0，
可得a=1，b=1．
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：∵a⊥b，∴a⋅b=1+2x−9=0，解得x=4．
则|b|= 12+42+(−3)2= 26，
故选：C．
由a⊥b，可得a⋅b=−0，解得x，利用数量积运算性质即可得出结论．
本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本颞主要考查条件概率的问题，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型．
事件A表示男生甲被选中，事件B表示女生乙被选中，分别求出P(A)，P(AB)，然后由条件概率的计算公式即可．
【解答】
解：事件A表示男生甲被选中，事件B表示女生乙被选中，
则P(A)=C52C63=12，P(AB)=C41C63=15，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=25．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的判断，属于基础题．
分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
【解答】
解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，
两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=56×6=536，P(丁)=66×6=16，
A：P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，
B：P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)，
C：P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙)，
D：P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．
根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a/​/β，再由b⊥β得到结论．
【解答】
解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；
B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a/​/α，b/​/β，α/​/β，但得不到a/​/b，不正确；
C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α/​/β，不正确；
D、∵a⊥α，α⊥β，
∴a⊂β或a/​/β，
又∵b⊥β，
∴a⊥b，
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：直线l的方向向量a=(1,1,0)，平面α的一个法向量为n=(1,1,− 6)，
直线l与平面α所成的角的正弦值=|cs|=|a⋅n|a||n||=|2 2⋅ 1+1+6|=12．
直线l与平面α所成的角为：30°．
故选：C．
利用面积向量的数量积，直接求解直线l与平面α所成的角的正弦值即可得出结果．
本题考查了线面几角的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=x(x−a)2，x∈R，
f′(x)=(x−a)2+2x(x−a)=(x−a)(3x−a)，
令f′(x)=0，解得x=a或a3，
若a=2，则f′(x)=(x−2)(3x−2)，
则函数f(x)在(−∞,23)上单调递增；在(23,2)上单调递减；在(2,+∞)上单调递增，
∴函数f(x)x=2处取得极小值，满足题意．
若a3=2，即a=6，则f′(x)=(x−6)(3x−6)，
则函数f(x)在(−∞,2)上单调递增；在(2,6)上单调递减；在(6,+∞)上单调递增，
∴函数f(x)x=2处取得极大值，函数f(x)x=6处取得极小值，不满足题意，舍去．
综上可得a=2．
故选：D．
函数f(x)=x(x−a)2，x∈R，f′(x)=(x−a)2+2x(x−a)=(x−a)(3x−a)，令f′(x)=0，解得x=a或a3，通过分类讨论，研究其单调性与极值点即可得出结论．
本题考查了利用导函数的图象研究函数的单调性与极值及最值、分类讨论方法、数形结合法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=12x−sinx，x∈[0,π]，
则f′(x)=12−csx，
所以当00，
所以f(x)在(0,π3)上单调递减，在(π3,π)上单调递增，
所以f(x)min=f(π3)=π6−sinπ3=π6− 32．
故选：B．
求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值．
本题主要考查导数知识的综合应用，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：AB=(2,1,0),AC=(−1,2,1)，不存在实数，使AB=λAC，所以AB与AC不共线，A选项错误．
向量AB方向相同的单位向量是AB|AB|=(2 55, 55,0)，B选项错误．
BC=(−3,1,1)，所以AB与BC夹角的余弦值是AB⋅BC|AB|⋅|BC|=−5 5× 11=− 5511，C选项正确．
(2,1,0)⋅(−1,−2,5)=−4≠0，所以(−1,−2,5)不是平面ABC的法向量，D选项错误．
故选：C．
根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了空间向量的法向量、单位向量、共线向量以及向量夹角计算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了导数的综合应用，涉及了利用导数研究函数单调性、极值、最值问题，利用导数研究函数的图象，函数零点的应用，不等式恒成立问题的求解，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力．
利用导数研究函数的单调性，由极值的定义即可判断选项A，利用f(x)的图象结合零点的定义即可判断选项B，由f(x)的图象即可判断选项C，将不等式恒成立转化为k>lnxx+1x在(0,+∞)上恒成立，构造函数h(x)=lnxx+1x，利用导数求解h(x)的最值，即可得到k的取值范围，从而判断选项D．
【解答】
解：函数f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)=0，则x=e，
当00，则f(x)单调递增，
当x>e时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，
所以当x=e时，函数f(x)取得极大值f(e)=1e，
故选项A正确；
当x→0时，f(x)→−∞，
当x→+∞时，f(x)→0，
作出f(x)的图象如图所示，
由f(x)=0，可得lnx=0，即x=1，
所以函数f(x)只有一个零点，
故选项B错误；
由图象可知，f(2)=ln22，f(4)=ln44=ln22，则f2=f4，则f(3)>f(4)，
所以f(2)故选项C正确；
若f(x)即k>lnxx+1x在(0,+∞)上恒成立，
令h(x)=lnxx+1x，则h′(x)=−lnxx2，
令h′(x)=0，则x=1，
当00，则h(x)单调递增，
当x>1时，h′(x)<0，则h(x)单调递减，
所以当x=1时，函数h(x)取得唯一的极大值，即最大值h(1)=1，
则k>1，故选项D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABC
【解析】解：A中，当G为AB的中点时，因为D为线段BC的中点，所以DG/​/AC，
DG⊄平面FAC，AC⊂平面FAC，所以DG/​/平面FAC，
又DE/​/AF，同理可证DE/​/平面FAC，又DE∩DG=D，DE，DG⊂平面DEG，
所以平面FAC//平面EDG，故A正确；
B中，因为AF是圆柱的母线，所以AF⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，DG⊂平面ABC，
所以DE⊥DG，又AC⊥CB，所以DG⊥BC，
又BC∩DE=D，BC，DE⊂平面BEC，所以DG⊥平面BEC，
所以∠GED为直线GE与平面BEC所成角，
又AC=AF=CD=2DE，所以DG=DE，所以∠GED=π4，
所以直线GE与平面BEC所成角为π4，故B正确；
C中，如图建立空间直角坐标系，不妨设AC=AF=CD=2DE=1，
则C(0,0,0)，A(1,0,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，E(0,1,12)，B(0,2,0)，
所以CF=(1,0,1)，CE=(0,1,12)，AB=(−1,2,0)，EA=(1,−1,−12)，
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CF=0n⋅CE=0，即x+z=0y+12z=0，
令x=2，可得n=(2,1,−2)，
又点G在直线AB上，设AG=λAB=(−λ,2λ,0)，
所以EG=EA+AG=(1−λ,−1+2λ,−12)，
假设EG⊥平面CEF，所以AE//n，
则1−λ2=−1+2λ1=−122，显然方程组无解，故不存在点G，使得EG⊥平面CEF，故C正确，D错误．
故选：ABC．
根据证明DG/​/平面FAC，DE/​/平面FAC即可判断出A的真假，证明DG⊥平面BEC，即可得到∠GED为直线GE与平面BEC所成角，即可判断出B的真假，建立空间直角坐标系，求出平面CEF的法向量，设AG=λAB，表示出EG，利用向量法推出矛盾，即可判断出C、D的真假．
本题考查直线与平面平行的证法及直线平面所成的角的求法，用空间向量的方法证明线面是否垂直，属于中档题．
12.【答案】215
【解析】解：∵事件A与B相互独立，
∴P(AB)
=P(A)⋅P(A|B)
=13×25=215．
故答案为：215．
本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P(A∩B)=P(A)⋅P(B)，将P(A)=P(B)=12代入即可得到答案．
本题考查相互独立事件同时发生的概率，相互独立事件的概率计算公式：P(AB)=P(A)⋅P(A|B)，属基础题．
13.【答案】1
【解析】解：OA在OB方向上的投影向量的模为|OA⋅OB||OB|=|1+2|3=1，
所以点A到直线OB的距离为 |OA|2−12= 2−1=1．
故答案为：1．
先求出OA在OB方向上的投影向量的模，再利用勾股定理，即可得解．
本题考查空间中点到线距离的求法，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】2：1
【解析】解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，
则圆柱底面周长即长方形的长为12−2x2=6−x，
∴圆柱底面半径：R=6−x2π
∴圆柱的体积V=πR2h=π(6−x2π)2x=x3−12x2+36x4π，
∴V′=3x2−24x+364π=3(x−2)(x−6)4π，
当x<2或x>6时，V′>0，函数单调递增；
当2当x>6时，函数无实际意义
∴x=2时体积最大
此时底面周长=6−2=4，
该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：1
故答案为：2：1．
设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为6−x，圆柱底面半径：R=6−x2π，圆柱的体积V，利用导数法分析出函数取最大值时的x值，进而可得答案．
本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征，其中将圆柱的体积表示为x的函数，进而转化为函数最值问题，是解答的关键．
15.【答案】解：(1)因为B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，
所以BC=(3,0,−4)−(1,−1,−2)=(2,1,−2)，
因为c//BC，所以设c=λBC=(2λ,λ,−2λ)(λ∈R)，
又|c|=3，即|c|= (2λ)2+λ2+(−2λ)2=3，解得λ=±1，
所以c=(2,1,−2)或c=(−2,−1,2)；
(2)因为A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，
所以AB=(1,−1,−2)−(2,0,−2)=(−1,−1,0)，
AC=(3,0,−4)−(2,0,−2)=(1,0,−2)，
所以kAB+AC=k(−1,−1,0)+(1,0,−2)=(1−k,−k,−2)，
又向量kAB+AC与AC互相垂直，
故(kAB+AC)⋅AC=1−k+4=0，
解得k=5．
【解析】(1)首先求出BC，设c=λBC=(2λ,λ,−2λ)，根据向量模的坐标表示得到方程，解得λ，再代入即可得解；
(2)首先求出AB，AC的坐标，依题意(kAB+AC)⋅AC=0，根据数量积的坐标表示计算可得．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线和向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵M为AD中点，∴MF/​/BD，
∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF//平面BDE．
∵N为BC中点，∴NF/​/AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE/​/AC，则NF/​/DE．
∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF/​/平面BDE．
又MF、NF为平面MFN内两条相交直线，
∴平面MFN/​/平面BDE，
又MN在平面MFN中，
则MN/​/平面BDE；
(2)解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，M(0,0,1)，N(1,2,0)，E(0,2,2)，
则MN=(1,2,−1)，ME=(0,2,1)，
设平面MEN的一个法向量为m=(x,y,z)，
由m⋅MN=0m⋅ME=0，得x+2y−z=02y+z=0，取z=2，得m=(4,−1,2)．
由图可得平面CME的一个法向量为n=(1,0,0)．
∴cs=m⋅n|m||n|=4 21×1=4 2121．
∴二面角C−EM−N的余弦值为4 2121，则正弦值为 10521．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．
(1)取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF/​/平面BDE，NF/​/平面BDE.得到平面MFN/​/平面BDE，则MN/​/平面BDE；
(2)由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C−EM−N的余弦值，进一步求得正弦值．
17.【答案】解：(1)函数f(x)=axex的定义域为R，又f′(x)=a(1−x)ex，
因为a>0，所以当x∈(−∞,1)时，f′(x)>0，即f(x)在(−∞,1)上单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，即f(x)在(1,+∞)上单调递减；
所以f(x)在x=1处取得极大值即最大值，
即f(x)max=f(1)=ae=1e，解得a=1．
(2)由(1)知f(x)=xex，则g(x)=lnf(x)−b=lnxex−b=lnx−x−b，
则g(x)的定义域为(0,+∞)，
所以g′(x)=1x−1=1−xx，
所以当00，当x>1时g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=−1−b，
因为函数g(x)=lnf(x)−b有两个零点，
又当x→0时g(x)→−∞，当x→+∞时g(x)→−∞，
所以g(x)max=g(1)=−1−b>0，解得b<−1，
所以实数b的取值范围是(−∞,−1)．
【解析】(1)求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而由函数的最大值求出a的值
(2)依题意可得g(x)=lnx−x−b，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需g(x)max>0，即可求出b的取值范围．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了由函数零点个数求解参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：依题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,2,12)，
(1)证明：因为AC=(−2,0,0)，EF=(2,2,−32)，
所以AC⋅EF=(−2)×2+2×2+0=0，
所以AC⊥EF，所以AC⊥EF；
(2)设线段DE上存在一点G(0,0,h)，使得BG与AD所成角的余弦值为23，
则BG=(−2,−2,h)，又因为AD=(−2,0,0)，
所以cs|=|BG⋅AD||BG||AD|=|4 8+h2×2|=23，解得h=1，
所以存在G(0,0,1)满足条件，所以AG=(−2,0,1)，
因为AC=(−2,2,0)，AF=(0,2,12)，
设n=(x,y,Z)为平面ACF的法向量，
则n⋅AC=−2x+2y=0n⋅AF=2y+12z=0，
设x=1，可得n=(1,1,−4)，
所以点G到平面ACF的距离为|AG⋅n||n|=63 2= 2．
【解析】(1)依题意，以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，计算AC⋅EF，即可得出答案；
(2)设线段DE上存在一点G(0,0,h)，使得BG与AD所成角的余弦值为23，则|cs|=|4 8+h2×2|=23，解得h，进而可得点G到平间ACF的距离为|AG⋅n||n|．
本题考查直线与直线的位置关系，点到平面的距离，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=alnx+12x2−(a+1)x(a>0)，则f′(x)=ax+x−(a+1)=x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x，x>0，
令f′(x)=0，得x=1或x=a，
①当00，f(x)单调递增，x∈(a,1)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
②当a=1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
③当a>1时，x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(1,a)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(a,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上可知，当0当a=1时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；
当a>1时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，(a,+∞)，f(x)的单调递减区间为(1,a)；
(2)①由已知，g(x)=4x−alnx−12x2，则g′(x)=4−ax−x=−x2−4x+ax，由函数g(x)有两个极值点x1，x2，(x1即方程x2−4x+a=0在(0,+∞)上有两个不等实根，
令h(x)=x2−4x+a，因此只需h(0)>0h(2)<0，即a>0a−4<0，故0所以实数a的取值范围(0,4)；
②证明：由①可知，x1+x2=4，x1x2=a，且0所以g(x1)+g(x2)=(4x1−alnx1−12x12)−(4x2−alnx2−12x22)=4(x1+x2)−a(lnx1+lnx2)−12(x12+x22)=a−alna+8，
要证明g(x1)+g(x2)<10−lna，即证明a−alna+a<10−lna，
只需证明(1−a)lna+a−2<0，令m(a)=(1−a)lna+a−2，a∈(0,4)，
所以m′(a)=−lna+1−aa+1=1a−lna，m″(a)=−1a2−1a<0，所以m′(a)在a∈(0,4)上单调递减，
又m′(1)=1>0，m′(2)=12−ln2<0，由函数零点存在定理可知存在，a0∈(1,2)，使得m′(a0)=0，即lna0=1a0，
所以a∈(0,a0)时，m′(a)>0，m(a)单调递增，当a∈(a0,4)时，m′(a)<0，m(a)单调递减，
所以m(a)的最大值，m(a0)=(1−a0)lna0+a0−2=(1−a0)×1a0+a0−2=a0+1a0−3，
因为y=a0+1a0−3在a0∈(1,2)上显然单调递增，
所以a0+1a0−3<2+12−3=−12<0，所以m(a)<0，
所以g(x1)+g(x2)<10−lna．
【解析】(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得函数f(x)的单调性；
(2)①由题意可知，g(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程x2−4x+a=0在(0,+∞)上有两个不等实根，即h(0)>0h(2)<0，即可求得a的取值范围；
②由①利用韦达定理，原不等式可变为(1−a)lna+a−2<0，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系及函数零点存在定理，即可证明不等式成立．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值(最值)的关系，考查分类讨论思想与函数思想，考查计算能力，属于难题．