黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知函数满足，当时，，则，下列转化结果正确的是，《庄子·天下》中有等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，一元函数的导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何与空间向量，平面解析几何。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.已知集合，，则
A．B．C．D．
3.已知a，，为虚数单位，，则
A．1B．0C．D．
4.已知，，，则
A．B．C．D．
5.以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为
A．B．
C．D．
6.设D为△ABC所在平面内一点，，则
A．B．
C．D．
7.已知函数满足，当时，，则
A．B．C．D．
8.设椭圆）（）的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列转化结果正确的是
A．120°化成弧度是B．C．D．化成角度是18°
10.《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是
A．B．
C．D．
11.要得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
12.已知函数，则
A．的极值点为B．的极大值为
C．的最大值为D．只有1个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域为 .
14.函数的导函数满足关系式，则 .
15.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水位下降1m后，水面宽 m.
16.已知，，，，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若是等比数列，且，，求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的极值.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，，，E为CD的中点.
（1）求证：平面PAE；
（2）求平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，且过点.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若双曲线C的右焦点为F，点，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且，求直线l的方程.
22.（本小题满分12分）
已知函数（）.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，使得，求实数a的取值范围.
2023～2024学年度上学期高三期中考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A
，反之不成立，故选A．
2.B
∵A：，，∴，故选B．
3.D
因为，所以，，.
4.A
∵，，，∴b最小，，，又∵在上单调递增，∴，即，综上，，故选A．
5.B
∵平行线间的距离为，
∴，∴圆的方程为，故选B．
6.A
.
7.D
因为，所以，故选D．
8.C
∵，则，，即椭圆方程为，设，，，且，即，，∴.
9.AD
因为，所以选项A正确；
因为，所以选项B不正确；
因为，所以选项C不正确；
因为，所以选项D正确，故选AD．
10.ACD
根据题意可得（），，故A正确；，故B错误；，，则，故C正确；，故D正确.故选ACD．
11.BC
由，可知将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，又由函数的周期为，可知正确选项为BC，故选BC．
12.BCD
因为，且，所以当时，为增函数，
当时，为减函数，所以为函数的极大值点，
为的极大值，且为的最大值，所以A不正确，BC正确；
因为，且当时，，当时，，
所以D正确.故选：BCD．
13.
由，解得，所以函数的定义域为.
14.
由，得，令，则.故.
15.
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为（），则，将其坐标代入，得，
∴.当水面下降1m，得（），将其坐标代入得，∴，∴水面宽.
16.
，，当且仅当时取等号.
17.解：
（1）∵，，
∴，
即，解得首项，.
∴数列的通项公式，
（2）∵，，
∴公比，
.
数列的前n项和.
18.解：
（1）由正弦定理有
因为，，可得；
（2）由（1）知，，
故有.
19.解：
（1）的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，，
所以的极大值为，极小值为0.
20.
（1）证明：连AC
∵底面ABCD为菱形，，
∴
∵，，
∴
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴
∵，，AE，平面PAE，，
∴平面PAE；
（2）解：由（1）知，又由，可得，
可得AB、AE、AP两两垂直
令，可得，，
以A为坐标原点，向量，，方向分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
可得点A的坐标为，点P的坐标为，点B的坐标为，点E的坐标为，点C的坐标为
，，
由（1）可知为平面PAE的法向量
设平面BCP的法向量为，有，取，，
可得
由，，，有
故平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值为
21.解：
（1）由题意知，
解得，
所以双曲线C的方程是；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，不符合题意；
②当直线l的斜率为0时，符合题意，此时直线l的方程为；
③当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为，，，
记AB的中点为，
又因为，
所以．
由，得，
所以，
所以，.
所以，
解得或，
所以直线l的方程为或.
由上知直线l的方程为或或.
22.解：
（1）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，
又在上单调递减，所以，即实数a的取值范围是；
（2），使得，即，使得.
令，.
令，在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即实数a的取值范围是.