福建省长泰第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份福建省长泰第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了如图，在空间四边形中，，已知，则，已知，则在上的投影向量为，在正方体中，分别是的中点，则，已知函数，下列说法正确的是，当时，函数取得最大值-2，则等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在空间四边形中，（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中.
在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（ ）

4.有一道数学难题，学生解出的概率为，学生解出的概率为，学生解出的概率为.若三人独立去解答此题，则恰有1人解出的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.在正方体中，分别是的中点，则（ ）
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
7.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数在上递增 B.函数无极小值
C.函数只有一个极大值 D.函数在上最大值为3
8.当时，函数取得最大值-2，则（ ）
A.-1 B. C. D.1
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9.在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有1000名学生，某学科的期中考试成绩（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（ ）参考数据：若，则.
A.年级平均成绩为82.5分
B.成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等
C.成绩不超过77分的人数少于150
D.超过98分的人数为1
10.已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，则（ ）
A.是奇函数 B.在区间上单调递增
C.有四个极值点 D.恰有一个极大值点
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.设变量与的回归模型､模型模型相应的相关系数的值分别为，则拟合效果最好的是模型__________.
13.如图在平行六面体中，，则的长是__________.
14.已知和分别是函数且的极小值点和极大值点.若，则侧的取值范围是__________.
四､解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）甲､乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.
16.（15分）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
17.（15分）现有关于与的5组数据，如下表所示.
（1）依据表中的统计数据判断与是否具有较高的线性相关程度；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01）
（2）求关于的线性回归方程，请预测当时，的值.
参考数据：.附：样本相关系数.
18.（17分）.如图，四面体中，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.
19.（17分）某生物实验室用小白鼠进行新冠病毒实验，已知6只小白鼠中有1只感染新冠病毒且无患病症状，将它们分别单独封闭隔离到6个不同的操作间内，由于工作人员的疏忽，没有记录感染新冠病毒的小白鼠所在的操作间，需要通过化验血液来确定.血液化验结果呈阳性即为感染新冠病毒，呈阴性即没有感染新冠病毒.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止.方案乙：先任取4只，将它们的血液混在一起化验､若结果呈阳性，则表明感染新冠病毒的小白鼠为这4只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验
（1）求采用方案甲所需化验的次数为4次的概率；
（2）用表示采用方案乙所需化验的次数，求的分布列：
（3）求采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率.
参考答案：
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.B 9.ABD 10.ABCD 11.BC
12.B 13.
14.
解：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
函数的图象是单调递减的指数函数，
又的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的范围为.
15.（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
.
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
即的分布列为
期望.
16.（1）解：由题意得，，
因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以
解得.
（2）解：由（1）知，，
在时，有，所以函数在区间上单调递减，
所以.
17.（1）由表中数据可得，
所以.
又，
，
所以，
所以与具有较高的线性相关程度.
（2）由（1）知，，
所以，
则，
所以关于的线性回归方程为：，
当时，，
所以预测当时，的值为14.2.
18.（1）因为为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为为的中点，所以；
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
19.（1）记“采用方案甲所需化验的次数为4次”为事件A，则
.
（2）可能的取值为，
所以的分布列为
（3）设采用方案甲所需化验的次数为分别为事件，
设采用方案乙所需化验的次数为分别为事件，
由第（2）间可知，
设采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数为事件，
由题意可知与相互独立，与相互独立，与相互独立，则
所以采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率为.
体育课不及格
体育课及格
合计
文化课及格
57
221
278
文化课不及格
16
43
59
合计
73
264
337
-1
0
1
2
1
2
3
4
5
30
26
28
23
18
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
2
3
4