2024届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三模拟预测数学试题（含答案）

这是一份2024届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三模拟预测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和，若，则，若，则，下列基本事实叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是
A．B．C．D．
3．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为
A．内含B．相切C．相交D．外离
4．函数图象的对称中心为
A．B．C．D．
5．记为等差数列的前项和，若，则
A．30B．40C．50D．60
6．若，则
A．B．C．D．
7．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是
A．4B．5C．6D．9
8．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是
A．B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列基本事实叙述正确的是
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则下列选项一定正确的是
A．B．C．D．
11．已知正数a，b，c满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设复数满足（其中为虚数单位），则______．
13．在中，已知，当边BC的中线时，的面积为______．
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
己知函数，其中．
（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）是否存在实数，使得在（为自然对数的底数）上的最大值是-2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16．（本题满分15分）
某单位招聘大学应届毕业生，已知共有6名学生进入最后面试环节，分别是来自A校的3人，校的2人和校的1人．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟．
（1）分别求面试号码为6号的学生来自校、校、校的概率；
（2）记随机变量表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名校学生完成面试所用的时间），求的分布列与数学期望．
17．（本题满分15分）
在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，直线PA与BC所成的角的正切值等于分别是PB、PC的中点．
（1）判断直线AM和DN的位置关系（不必说明理由，直接写出结论即可）；
（2）证明：平面平面ABCD；
（3）求平面MPD与平面APD夹角的余弦值．
18．（本题满分17分）
己知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点B，C是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线文于点M，N，且以线段MN为直径的圆恰过双曲线的右焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求面积的最小值．
19．（本题满分17分）
记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设．
定义运算若，则，且．
（1）设，用表示；
（2）若，证明：：
（3）若数列满足
数列满足设，证明：．
高三年级第六次模拟考试
数学试题答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分．
12．；13．；14．．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
解：（1），则，
故曲线在处的切线为，即．
当时，此时切线为，不符合要求；当时，令，有．
令，有，故，即．
（2），因为，所以．
①当时，即时，在上单调递增，
所以的最大值是，解得，舍去；
②当时，即时，
令时，则；令时，则．
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
所以，所以符合题意．
综上，存在符合题意，此时．
16．（本题满分15分）
解：（1）记“面试号码为6号的学生来自校、B校、校”分别为事件A、B、C．将A校3名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为，
事件表示校有1名学生的面试号码为6，则事件包含的样本点数为，
故．同理，．
（2）随机变量的取值为15，20，25，30．
所以的分布列为：
17．（本题满分15分）
解:（1）直线AM与DN相交.
（2）取AD的中点为，连接PO，BO．因为，所以．
因为，所以就是当线PA与BC所成的角，所以，
又底面ABCD是边长为2的正方形，所以，
由得，．
又，则有．所以．
又平面．所以平面ABCD．
而平面PAD．所以平面平面ABCD.
（3）因为M是PB的中点，所以平面MPD即为平面BPD．
在正方形ABCD中，取BC的中点，连接OQ，则，
又由（2）知平面ABCD，故以O为原点，OQ、OA、OP所在直线分别为x轴、y轴、轴、建如图所示的空间直角坐标系．
则．依．
则，取，则，故，
而平面APD的法向量为．
所以平而MPD与平而APD夹角的余弦作为．
18．（本题满分17分）
解：（1）由题意可知，解得，双曲线的标准方程为；
（2）由（1）知，，则直线是线段AF的垂直半分线．
因为以线段MN为直径的圆恰过点，所以以线段MN为直径的圆恰过点．
所以，故．设直线，
由双曲线的对称性可得B，C必在轴两侧，则，故．
将代入，得，
则①，②，
由B，C必在轴两侧，可得，
因为，所以，所以，所以，
③，
将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或，
所以直线过定点
所以
令，则，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，，
所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最小值为400．
19．（本题满分17分）
解：（1）因为，所以，
所以，
所以．
（2）因为，
所以．
又，
所以，
所以．
（3）对于，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
所以．
所以．
所以
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
B
D
C
C
C
题号
9
10
11
答案
AB
AC
BCD
15
20
25
30