陕西省宝鸡市长岭中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份陕西省宝鸡市长岭中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，在空间四边形中，，，则的值为，已知圆关于直线，已知是椭圆，已知两条平行直线，过点作直线与圆等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章1.1~1.2、第二章、第三章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.在空间四边形中，（ ）
A.B.C.D.
3.若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）
A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
4.在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（ ）
A.B.C.D.
5.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（ ）
A.B.或
C.D.或
6.在空间四边形中，，，则的值为（ ）
A.B.C.D.0
7.已知圆关于直线（，为大于0的数）对称，则的最小值为（ ）
A.B.C.1D.2
8.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数的值可能为（ ）
A.0B.1C.2D.-1
10.过点作直线与圆：相交于，两点，则（ ）
A.弦的长度的最小值为
B.当弦最短时弦所在的直线方程为
C.弦的长度的最小值为
D.当弦最短时弦所在的直线方程为
11.给出下列命题，其中正确的有（ ）
A.空间任意三个向量都可以作为一组基底
B.已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C.、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面
D.已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
12.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线的离心率
C.当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
D.为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.以抛物线的焦点为圆心，且与的渐近线相切的圆的标准方程为________.
14.直线与圆：交于，两点，若，则________.
15.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________.
16.已知抛物线：的焦点为，直线，均过点分别交抛物线于，，，四点，若直线，斜率乘积的绝对值为8，则当直线的斜率为________时，的值最小，最小值为________.（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知方程表示的图形是：
（1）双曲线；
（2）椭圆；
（3）圆.
试分别求出的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知抛物线：过点.
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，求线段的长度.
19.（本小题满分12分）
已知直线：.
（1）为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值；
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
20.（本小题满分12分）
已知点，，点关于直线的对称点为点.
（1）求点坐标；
（2）在中，，求面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线：，过点的直线与该双曲线的两支分别交于，两点，设，.
（1）若，点为坐标原点，当时，求的值；
（2）设直线与轴交于点，，，证明：为定值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，动直线过点与椭圆相交于，两点.
（1）当轴时，求的外接圆的方程；
（2）求内切圆半径的最大值.
长岭中学2023~2024学年第一学期质量检测・高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.B ∵，∴其倾斜角为.故选B.
2.A 根据向量的加法、减法法则得.
3.C 若，则，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故选C.
4.C 如图，.
5.D 当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，
由离心率为，可得.
∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，，，得，
可得椭圆的标准方程为，整理为.故选D.
6.D 如图所示， ∵，，
∴，∴，.
7.A 因为圆的圆心为，且圆关于直线（，为大于0的常数）对称，所以直线过圆心，所以，又，，所以.（当且仅当，时，取“=”）.故选A.
8.C 设椭圆右焦点为，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以，则，，由余弦定理可得，即，即.故椭圆离心率，故选C.
9.AC 直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求.故选AC.
10.CD 圆的圆心为，半径为.当时，弦最短，此时最短弦长为，即，此时弦所在的直线方程为.
11.BCD 对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误，
对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确，
对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面，又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确，
对于D项，若，，共面，则，则，，共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底.
12.ABC 由题意得，对于选项A：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，（舍去），又，，，故A正确；
则，离心率为，故B正确；
对于选项C：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C正确；
对于选项D：设，则，，渐近线方程是，则，，为常数，故D错误.故选ABC.
13. 由题意知，抛物线的焦点为，的渐近线为，圆的半径为，故圆的标准方程为.
14. 设、，线段的中点坐标为，则且∴，
即.
∵，两点在圆上，
∴，，
又∵，
∴.
∴.
15. ，，则的取值范围为.
16. 18 由题意，抛物线：的焦点坐标为，
设直线的方程为，
联立方程组整理得，
设，，，，
所以，
设直线的斜率为，同理可得，
可得，
又由，得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为18，此时，.
17.解：对于方程.
（1）若方程表示双曲线，则，解得或，
即当时，方程表示双曲线；
（2）根据题意得
即当时，方程表示椭圆；
（3）由，解得，即当时，方程为表示圆，
综上，（1）当时，方程表示双曲线；（2）当时，方程表示椭圆；
（3）当时，方程表示圆.
18.解：（1） ∵过点，
∴，解得，
∴抛物线：，准线方程为；
（2）由（1）知，抛物线焦点为，
设直线：，，，
由得，则，
则.
19.解：（1）已知直线：，
整理得，
由
故直线过定点，
点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即为最大值.
∵，
∴的斜率为，
可得，解得；
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，则可设直线的方程为，，
则，，
.
（当且仅当时，取“=”）
故面积的最小值为12，此时直线的方程为.
20.解：（1）设的坐标为，则
则的坐标为；
（2）设，
，.
.
21.（1）解：当时，双曲线：，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
与联立得，
则
由可得，，
，
可得，所以，
所以
（2）证明：由题意可知直线的斜率必存在，设直线的方程为，则，
由，，得
所以，，，.
又点在双曲线上，所以，
化简得，
同理.
故，是方程的两根，则，为定值.
22.解：（1）由椭圆：，可得，，
，，由已知直线：，
，不妨设，
经过，，三点的外接圆的半径为，
则由勾股定理可得，解得，
故圆的坐标为，
所求圆方程为；
（2）设内切圆半径为，面积为，，，
则，又，
所以，
设直线的方程为，
与椭圆：联立整理得，
则，，
由，得，
所以，
令，则，
当且仅当，即时取等号，
故内切圆半径的最大值为.