山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题（含答案）

这是一份山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则x的值是( )
A. B. C. D. 6
3.在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A，B，C三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有( )
A. 9种B. 36种C. 38种D. 45种
4.如图，在正方体中，，，则下列结论中正确的是( )
A. 平面B. 平面平面
C. 平面D. 平面内存在与EF平行的直线
5.已知是等差数列，，，在数列中，，若是等比数列，则的值为( )
A. 6072B. C. D.
6.下列结论正确的是( )
A. 已知一组样本数据，，，，现有一组新的数据，，，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4
C. 50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人
D. 已知随机变量，若，则
7.已知，分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.已知函数，且，若在上有n个不同的根，，，，则的值是( )
A. 0B. C. D. 不存在
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列选项正确的有( )
A. 若是方程的一个根，则，
B. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为
C. 若复数z满足，则的最大值为
D. 若复数，，满足，，则
10.如图，已知二面角的平面角大小为，，，，，垂足分别为A，B，若，则下列结论正确的有( )
A. 直线CD与平面所成角的余弦值为
B. 点D到平面的距离为
C. 平面BCD与平面夹角的余弦值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
11.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，下列结论正确的有( )
A. 函数与函数无公共点
B. 若，则
C.
D. 所有满足的点组成区域的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，集合则集合C中所有元素之和为__________.
13.已知函数的图象与圆有两个交点，则r的取值范围为__________.
14.已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知在中，，的面积为
求角C的度数;
若，D、E是AB上的动点，且始终等于，记当DE取到最小值时，求的值.
16.本小题15分
已知函数的图象与x轴交于点P，且在P处的切线方程为，，记参考数据：
求的解析式;
求的单调区间和最大值.
17.本小题15分
甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为记甲乙两人的答题总次数为
求
当时，求甲得分X的分布列及数学期望;
若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为证明：
18.本小题17分
如图，已知F为抛物线的焦点，过F的弦AB交曲线于点与F不重合
求证：点M为弦AB的中点;
连OM并延长交抛物线于点C，求面积的最小值.
19.本小题17分
定义二元函数，同时满足：①②③三个条件.
求，的值;
求的解析式;
若，，比较与0的大小关系，并说明理由.
附：参考公式
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查利用函数的图像判断函数的单调性.
如果对函数的定义域、图象和性质掌握不好，本题很容易判断错误，如果对指数函数的图象不清楚，则可能错选 A，若不记得对数函数的定义域，则可能错选
【解答】
分别画出这四个函数的图象，如图所示．
C.因为对数函数的定义域不是R，所以排除选项C；
A.因为指数函数，即，在定义域内单调递减，所以排除选项A；
D.对于函数，当时，函数变为，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；
B.而函数在定义域R上为增函数．
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的模，属于基础题．
根据可得，进而利用向量的数量积的坐标表示可得结果.
【解答】
解：因为，即
化简，整理得，
则，解得
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列、组合的综合应用，属于基础题.
利用排列、组合数即可求解.
【解答】
解：由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定，属于中档题.
建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可.
【解答】
解：因为为正方体，设正方体边长为2，
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
同理解得平面的法向量，
，，故A不正确；
，故B不正确；
，，，
，，所以，，
又，所以平面，C正确；
平面的一个法向量为，
，故D不正确；
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差、等比数列的综合应用，属于基础题.
求出公差，得，求出公比，得，即可求
【解答】
解：设的公差为d，的公比为q，
则由题意可得，a41，即，解得，
所以
根据已知又有：b11，b44，
则，得
所以，进而
故
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平均数、方差、回归直线方程、正态分布和二项分布的期望，属于基础题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于A、新数据的总和为
与原数据总和相等，且数据个数都是n，因此平均数不变
原数据极差为：，新数据极差为：，
而，即极差变小了，
由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故 A错误；
对于B、因为回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得，故B错误；
对于C、期中考试数学成绩，，
，
，
的人数为，故C错误；
对于D、因为X∽，所以，
所以，解得，故D正确;
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的性质，属于一般题.
求出，令，，由即可求解.
【解答】
解：椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
则，
不妨令，，
若双曲线的渐近线的斜率不超过，即，
则，
此时即
则的最大值是3
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了的图象与性质，是中档题.
由题意可得，利用方程的根与函数图像交点的关系，得，从而可得的值.
【解答】
解：由，得，
又，所以，
即，
若，则，
当，，
所以在上有4个不同的根，，，，
且，
，
即，，
所以
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数模及其几何意义，复数乘除运算，复数范围内方程的根，属于中档题.
通过复数范围内方程的根判断A；通过复数的几何意义与平面向量的坐标运算判断B；由复数模的几何意义及点到圆上点的最值的求法判断C；根据复数的乘除运算及模的求法判断
【解答】
解：若是方程的一个根，
则方程的两个根分别，，
所以，，
所以，，A错误；
由题意可知，
所以，
所以向量表示的复数为，故B正确；
设，x，，
若复数z满足，
则在复平面内点在圆上，
圆C的圆心，半径，
则的几何意义为原点到圆C上点的距离，
又，
则的最大值为，C正确；
因为，，
所以，
，
所以 ，D正确.
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查二面角，直线与平面所成的角，点到面的距离，外接球问题，属于难题．
根据二面角，直线与平面所成的角，点到面的距离，外接球等知识对各个选项逐一分析即可.
【解答】
解：对于A，过点A作，使得，
过点B作，使得，连接CF，ED，
过点C作，垂足为点H，过点D作，垂足为点G，
由题意可知，，则，
所以即为的二面角，则，
同理可得，且四边形AEDB，ACFB为矩形，
又，CA，平面CAE，则平面CAE，
又平面CAE，所以，
又，AB，平面AEDB，则平面AEDB，
所以为直线CD与平面所成的角，
又，，，
，则
所以，所以，故A正确；
对于B；，DB，平面FBD，则平面FBD，
又平面FBD，所以，
又，AB，平面ABFC，则平面ABFC，
又由A可知，所以，即点D到平面的距离为，故B正确；
对于C；连接CB，过点D作，垂足为M，
由B可知平面ABFC，又平面ABFC，所以，
又，DG，平面DGM，则平面DGM，又平面DGM，所以，
所以为的二面角，又，，
由三角形相似可得：，，所以，故C错误；
对于D；设三棱锥的外接球球心为O，因为，，
取AD的中点为K，取CB的中点为L，AB的中点为N，
连接OK，OL，KN，LN，则平面ABD，平面CAB，
，，
又平面ABD，则，又，KN，平面KNO，则平面KNO，
同理可得平面NOL，则O，L，N，K四点共面，且，则，
，所以，又，
所以，
即外接球的半径为，则外接球的表面积为：，故D正确；
故选
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查命题真假的判断、函数的新定义，解题的关键是理解新符号的含义，考查学生数形结合的能力和作图能力，属于难题．
作出函数与函数的图像，即可判断A；根据x的取值范围，分别求出，的值，判断对k的取值分类讨论，即可判断C；对m，n的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断
【解答】
解：函数与函数的图像如图所示，
由图可得函数与函数无公共点，A正确；
若，则，则，
，
即，B正确；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，C错误；
当时，此时组成区域的面积为1，
当时，此时组成区域的面积为1，
当时，此时组成区域的面积为1，
当时，此时组成区域的面积为，
综上点组成区域的面积为，D正确.
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，属于基础题.
求出C，即可得集合C中所有元素之和.
【解答】
解：由题意，得，
则集合C中所有元素之和为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用导数函数的图象的交点个数问题，圆的方程，属于中档题.
利用导数判断出函数的单调性与极值，作出函数和圆的图象，结合图象可得r的取值范围.
【解答】
解：，则，
，当时，；当时，；
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
，当时，，当时，，
在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图：
可知函数在处的切线方程为，
圆在点处的切线方程为，
则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点，
当，即时，圆与函数的图象有两个交点，
可得r的取值范围为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了组合体的体积，棱柱、棱锥的体积公式，属于中档题.
结合图形可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，分别求得两个四棱柱的体积，再求得正四棱锥的体积，得到挖去部分的体积，即可求得结果.
【解答】
解：如图：
，
可知四棱锥为正四棱锥，
四边形为边长为2的正方形，棱锥的高为1，
可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，
四棱柱的底面EFGH是边长为的正方形，
则，
同理可得，
，
则挖去部分的体积为，
可得原正方体剩下部分的体积为
15.【答案】解：设，，则，，
所以，
由C为的内角，所以
，又，，
，，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，
，
，，
当时，DE取到最小值，此时，即
【解析】本题考查正弦定理，三角恒等变换，三角形面积公式，属于中档题.
设，，则，求解即可；
根据三角形面积公式结合正弦定理得到，根据角的范围求解即可.
16.【答案】解：由题意与x轴的交点，又，
在点P处的切线的斜率，
在点P处的切线方程为，，，即切线方程为；
由知，所以，
，
令得，，x，，的变化情况列表如下，
所以的单调增区间为，单调减区间为和，
，又，，，
的最大值为
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数单调性与最值，属于中档题.
根据已知函数求导得到斜率求解切线方程即可；
先求，利用导数求函数单调性，进而得到最值.
17.【答案】解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，
，，，
，则，解得；
由题意可知当时， X可能的取值为0，1，2，则由可知
，
，
，
X的分布列为：
随机变量X的数学期望为
由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，则
，且，所以甲晋级时n必为偶数，令，
当n为奇数时，，
则
0，
又时，随着m的增大而增大，

【解析】本题考查离散型随机变量及其分布列，以及数学期望，属于较难题.
根据独立事件概率公式直接计算即可；
先求出X的可能取值，并列分布列‘
结合等比数列前n项和公式求解并证明即可.
18.【答案】解：设直线AB：?， AB的中点为，，则A，B的坐标满足方程组，得：，所以，，
所以AB 中点的坐标为
解方程组 解得即 M与重合， M 为 AB 中点；
由知直线，解得，
由，所以 ，
所以
令，则，，
当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，面积取得最小值
【解析】本题主要考查了直线与抛物线的关系，还考查了利用导数求最值，属于较难题.
联立，得，再联立，得M为中点；
关键是求出，然后令，即得到，求导即可求出最小值.
19.【答案】解：由条件②可得，
由条件③可得，
由条件②可得：
，
，
将上述个等式相加，得
由条件③可得：
，
将上述个等式相加，得
由，所以
，
，
当且仅当时，，上式取得等号.
即时，均有，
所以当时，当时，
当时，，所以
【解析】本题考查函数的新定义问题，累加法求数列的通项公式的应用，属于较难题.
根据二元函数满足的条件计算即可；
根据累加法求解；
根据裂项相消求解即可.
x
0
2
-
+
-
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数