2024浙江省培优联盟高一下学期5月期中联考数学试题含解析

这是一份2024浙江省培优联盟高一下学期5月期中联考数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了考试内容，在中，，则“”是“”的，已知函数则函数的零点个数为，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第8章。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．2D．
3．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．1
4．正方体的平面展开图如图所示，，，，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
5．在中，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．B．在上只有1个零点
C．在上单调递增D．直线为图象的一条对称轴
11．如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（ ）
A．设，，若，则
B．设，，若，则
C．设，则
D．设，，若与的夹角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限．
13．已知函数，若，则________．
14．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求当时，的解析式；
（2）求在上的值域．
16．（15分）
如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上．
（1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值；
（2）求的取值范围．
17．（15分）
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，且是锐角三角形，求面积的最大值．
18．（17分）
如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与所成角的大小．
（3）求直线与平面所成角的正切值．
19．（17分）
当且时，对一切，恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究．
（1）若正数，满足，当时，求的值；
（2）除整数对，请再举出一个整数对满足；
（3）证明：当时，只有一对正整数对使得等式成立．
浙江培优联盟2024年5月联考
高一数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．解：，选C．
2．解：由题意得，选C．
3．解：由题意知，选A．
4．解：将展开图合成一个正方体，易知与垂直，与垂直，故有2对，选B．
5．解：因为，所以，又，所以，或，故选B．
6．解：的零点个数转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示，故选C．
7．解：，
令，，，．
因为，，要使存在最大值，只需，即，
所以，选B．
8．解：设，的中点分别为，，连接，取的中点．因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，，分别是，的外接圆圆心．连接，因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心．连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，所以，所以，选C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．解：如图，由题意易知在平面上，结合答案图分析，易知选ABC．
10．解：，故A正确；
当时，，则在上只有1个零点，故B正确；
当时，，不能保证单调递增，故C错误；
当时，，故D正确．
11．解：若，则，，故A错误；若，则，故B正确；，，故C错误；，即，解得，所以，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．二 解：，所以在复平面内对应的点为，在第二象限．
13．6 解：令，显然可得为奇函数，则，所以，所以．
14． 解：因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆雉的侧面上，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以点的轨迹如图所示，则点的轨迹长为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）∵当时，，
∴当时，，，…………………………………………2分
∴．…………………………………………5分
（2）∵当时，单调递增，∴．……………………7分
由奇函数性质可得，当时，．………………………………9分
又，……………………………………………………11分
∴在上的值域为．…………………………………………13分
16．解：（1）∵，………………………………2分
，…………………………………………4分
∴
．…………………………………………7分
（2）设，…………………………………………9分
∴，…………………………………………11分
∴
，…………………………………………13分
∴．…………………………………………15分
17．解：（1）∵，即，………………………………2分
∴，即或．…………………………………………6分（写出一个给2分）
（2）∵是锐角三角形，∴，，…………………………………………7分
则，…………………………………………9分
又，∴，当且仅当时，等号成立．………………12分
∵，
∴．…………………………………………15分
18．（1）证明：连接交于点，
∵，分别为，的中点，∴．…………………………………………2分
∵平面，且平面，
∴平面．…………………………………………4分
（2）解：∵且，
∴与所成角的大小等于．…………………………………………6分
∵，
∴，即与所成角的大小为．………………………………8分
（3）解：连接，过作于点．
∵平面，且平面，
∴，又且，
∴平面．…………………………………………10分
∵平面，∴，又，且，
∴平面，…………………………………………13分
∴直线与平面所成角的大小等于．………………………………15分
∵正方体的边长为1，∴，，
∴．…………………………………………17分
19．（1）解：∵，
∴，即，
∴．…………………………………………4分
（2）解：．………………………………6分
（3）证明：∵，
∴，且．
当时，，显然无解．…………………………………………8分
当时，，可得，无正整数解，
同理，当和时，也无正整数解．…………………………………………11分
当，时，，………………………………13分
∵，∴由复合函数单调性可得，……………………15分
又∵，∴当且仅当时，原等式成立．……………………17分1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
A
B
B
C
B
C
9
10
11
ABC
ABD
BD