云南省昆明市第一中学联考2023-2024学年高三下学期第十次月考数学

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命题、审题组教师 杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
一、选择题
1．解析：在两个变量与 QUOTE x 的回归模型中，它们的决定系数 QUOTE R2 越接近，模型拟合效果越好，在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型，选A．
2．解析：由二项展开式，知其通项为， QUOTE Tk+1=C10k1x10-k-xk=-1kC10kx2k-10 ，令 QUOTE 2k-10=4 ，解得，所以的系数为，选B．
3．解析：因为函数是奇函数，所以，即，，即，所以，选C．
4．解析：对于A，由且，则是平面和平面的公共点，又，由基本事实3可得，故A正确；
对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又，且，，，则，故B正确；
对于C，由于平面和平面位置不确定，则直线与直线位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；
对于D，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确.
选C．
5．解析：，选D．
6．解析：已知圆 QUOTE ⊙C:x-12+y-22=2 的圆心为 QUOTE C1,2 ，半径 QUOTE R=1 ，若直线 QUOTE l:x-y-3=0 上存在两点 QUOTE A ， QUOTE B ，使得 QUOTE ?APB??2 恒成立，则以为直径的圆要内含或内切圆 QUOTE x-12+y-22=1 ，点 QUOTE C1,2 到直线 QUOTE l 的距离 QUOTE d=1-2-312+-12=22 ，所以 QUOTE AB 长度的最小值为 QUOTE 2d+1=42+2 ，选B．
7．解析：设 QUOTE BF2=x ，因为，所以,由椭圆的定义可得 QUOTE AF1=2a-2x ，，因为 QUOTE ∵AF1⋅AF2=0 ，所以，在△中，有，解得，在△中，有 QUOTE 4a32+2a32=2c2 ，整理得，选B.
8．解析：先将卡片分为符合条件的三份，由题意知，三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号.相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共 QUOTE C42=6 种情况，再对应到三个人有 QUOTE A33=6 种情况，则共有 QUOTE 6×6=36 种分法，选A．
二、多选题
9．解析：由题意，，可知A，B错误；C，D正确，选CD．
10．解析：对于A，因为，且是的一个复数根，所以，A正确
对于B，因为，即，所以，解得，所以，，B错误
对于C，因为，而，即，，则复数对应的点位于第二象限，C正确；
对于D，因为，，所以复数（）在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，D正确
选ACD．
11．解析：如图所示，令，则，若方程有五个不相等的实数根，设有两个零点分别为，，则，即得，则，则实数的取值范围是，选A B．
三、填空题
12．解析：．
13．解析：设点 QUOTE Px,y ，由已知得 QUOTE yx+3⋅yx-3=13 ，整理得 QUOTE x23-y2=1 ，所以点 QUOTE P 的轨迹方程为，（如果方程为，给3分）．
14．解析：因为，所以，
所以，所以，由正弦定理得：．
由余弦定理得：，又由得：，
所以（当且仅当，即△为正三角形时，取“”），
因为，所以的最大值为．
四、解答题
15．解：（1）记 “甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件.
则
．
所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为. ………7分
（2）．
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为. ………13分
16．解：（1）如图2，取的中点，的中点，的中点，
连接，，，，，则，
因为△是等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，同理平面，
所以，显然，所以四边形是矩形，
所以，
所以，则，，，四点共面. ………7分
（2）由（1）同理知平面，如图建立空间直角坐标系，
由题知，，，，
所以，，设平面的法向量为，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
所以， 设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的正弦值为. ………15分
17．解：（1）的定义域为，，
令解得，又因为当时，为增函数，
故当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故，故． …………7分
（2），，则，
故当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
故．
又因为，所以（当且仅当时，取“”）
所以． …………15分
18．解：（1）依题意可得：表示所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，
因为与互质的数为，所以；
因为与互质的数为，，所以；
因为与互质的数为，，所以. ………6分
（2）（i）因为中与互质的正整数只有奇数，所以中与互质的正整数个数为，所以，所以. ………10分
（ii）因为， ………15分
所以，
，
所以. ………17分
19.解：由题意知，左焦点，设直线的方程为，设，
联立为，所以，
所以，
所以△的面积
,当且仅当，即当取等成立，所以△的面积最大值为 ………9分
设则直线的方程为，
由，得，
所以
所以，又 ………9分
同理， ………10分
因为三点共线，则，所以，
直线的方程为，由对称性可知，直线的定点在轴上，所以令得，
，所以直线过定点 ………17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
D
B
B
A
题号
9
10
11
答案
CD
ACD
AB