2024年安徽省合肥市经开区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年安徽省合肥市经开区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在0，3，13，−3四个数中，最小的数是( )
A. −3B. 3C. −13D. 0
2.某物体如图所示，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.2023年合肥经开区GDP达到1409.9亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中1409.9亿用科学记数法表示为( )
A. 1.4099×103B. 14.099×1010C. 1.4099×1011D. 1.4099×1012
4.下列各式计算正确的是( )
A. x2⋅x4=x2B. (x−y)2=x2−y2
C. x7÷x4=x3D. 3x4−x4=2
5.将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF=60∘，∠MNP=45∘，AB//CD，则下列结论不正确的是( )
A. GE//MP
B. ∠EFN=150∘
C. ∠BEF=60∘
D. ∠AEG=∠PMN
6.某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( )
A. 12B. 14C. 16D. 112
7.2023年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了30.2元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是( )
A. 225(1−2x)=225−30.2B. 30.2(1+x)2=225
C. 225(1−x)2=30.2D. 225(1−x)2=225−30.2
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=60∘，∠ADC=40∘，则∠AED的度数为( )
A. 110∘
B. 115∘
C. 120∘
D. 105∘
9.如图，直线y= 3x−3与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为( )
A. (−3 3,0)
B. (−6,0)
C. (−2 3,0)
D. (− 3,0)
10.如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=60∘，BC=6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 3 6
B. 32 5
C. 32 6
D. 32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式：ax2−16a=______.
12.若一元二次方程x2+6x−m=0有两个实数根，则m的取值范围为______.
13.如图，▱OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(2,2)在对角线OB上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过C、D两点．已知▱OABC的面积是5，则点B的坐标为______.
14.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处.
(1)当点F落在矩形对角线AC上时，则BE的长为______；
(2)当△CDF是以DF为腰的等腰三角形时，则BE的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 12+(2− 3)0−(1−sin60∘).
16.(本小题8分)
某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求参加研学的学生人数.
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)均在小正方形网格的格点上.
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′(点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′)，并写出A′、B′、C′的坐标；
(2)在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D，使得∠A′DB′=45∘.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题8分)
某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设.图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块；….
(1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块；
(2)若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；
(3)当a=25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量.
19.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F交⊙O于点H，DB交AC于点G.
(1)求证：AF=DF；
(2)若AF=5，tan∠ABD=12，求⊙O的半径.
20.(本小题10分)
某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16∘，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45∘时，求阴影CD的长.(参考数据：sin16∘≈0.28，cs16∘≈0.96，tan16∘≈0.29).
21.(本小题12分)
在2024年4月23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对学生在2023年读课外书的数量进行了调查.所示图表是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题.
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；
(3)该校共有3600名学生，估计在2023年读课外书的数量超过20本的学生有多少名？
22.(本小题12分)
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，点D为AC上一点，连接BD，点E是AB的中点，连接CE，交BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G.
(1)求证：△CFG∽△BFE；
(2)如图②，连接GE，解决以下问题：
①求∠EGB的度数；
②求证：BG−CG= 2EG.
23.(本小题14分)
如图(1)是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形(杯体厚度不计)，点P是抛物线的顶点，杯底AB=2 3cm，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP=CD=6cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm.以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系(1个单位长度表示1cm).
(1)求杯体CPD所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图(2)，过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y=kx+b，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60∘，液面恰好到达点D处(DQ//l)，如图(3
①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标：
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−30)，
∴正方形OMBN的面积为是b2=S△CON+S△BAM+S▱OABC，
即b2=2+2+5，
解得b=3(负值舍去)，
∴点B的坐标为(3,3)，
故答案为：(3,3).
由点D(2,2)在反比例函数y=kx的图象上，可求出k的值，再利用反比例函数系数k的几何意义求出S△CON=2，再根据平行四边形的性质得出S△CON=2=S△BAM，根据对角线BO过点D(2,2)，可得点B的纵横坐标相等，设未知数表示正方形的面积，即可求出点B坐标．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质是解决问题的关键．
14.【答案】32 3或9−3 5
【解析】解：(1)矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90∘，
∴AC= AB2+BC2=10，
根据折叠的性质，得AB=AF=6，∠ABC=∠AFE=90∘
∴CF=AC−AF=4，
设BE=EF=x，则CE=BC−BE=(8−x)，
∴(8−x)2=x2+42
解得x=3.
故答案为：3.
(2)当DF=CF时，
如图，过点F作FM⊥DC于点M，FG⊥AD于点G，
∴四边形DMFG是矩形，DM=MC=12CD=3，
根据折叠的性质，得AB=AF=CD，∠BAE=∠FAE，
∴FG=DM=MC=12AF=3，
∴∠GAF=30∘，
∴∠BAE=∠FAE=∠GAF=30∘，
∴BE=ABtan∠BAE=6× 33=2 3；
当DF=DC时，
如图，过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，
∴DF=DC=AB=AF=6，
∴直线FM是矩形的对称轴，
∴AM=DM=BN=CN=12BC=4，四边形ABNM是矩形，
∴FM= AF2−AM2=2 5，AB=MN=6，
∴FN=MN−FM=6−2 5，
设BE=EF=x，则EN=BN−BE=(4−x)，
∴(4−x)2+(6−2 5)2=x2
解得x=9−3 5.
故答案为：2 3或9−3 5.
(1)根据勾股定理，得到AC= AB2+BC2=10，AB=AF=6，继而得到CF=AC−AF=4，设BE=EF=x，则CE=BC−BE=(8−x)，利用勾股定理解答即可．
(2)分DF=CF和DF=DC两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2 3+1−1+ 32
=5 32.
【解析】先计算二次根式的化简，零指数幂和特殊角的三角函数值，再计算加减法即可．
此题主要考查了实数运算，熟练掌握二次根式的化简，零指数幂和特殊角的三角函数值是解题关键．
16.【答案】解：设每辆车能乘坐x人，
根据题意，得4x+30=5x−10，
解得x=40，
故4x+30=190(人)，
答：参加研学的学生有190人．
【解析】设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x+30=5x−10，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，租车问题，正确找到等量关系是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)，得到关于x轴对称的△A′B′C′的三个顶点坐标分别为A′(0,−1)，B′(3,−2)，C′(1,−4)，画图如下：
则△A′B′C′即为所求．
(2)根据题意，画图如下：
则点D即为所求．
【解析】(1)根据A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)，得到关于x轴对称的△A′B′C′的三个顶点坐标分别为A′(0,−1)，B′(3,−2)，C′(1,−4)，画图即可．
(2)以AB为边构造正方形即可．
本题考查了坐标系中作图，对称作图，作已知角等于定角，熟练掌握作图的基本要领是解题的关键．
18.【答案】5 4
【解析】解：(1)由所给图形可知，
图1中三角形地砖块数为：6=1×4+2，正方形地砖块数为：6=1×5+1，六边形地砖块数为：1；
图2中三角形地砖块数为：10=2×4+2，正方形地砖块数为：11=2×5+1，六边形地砖块数为：2；
图3中三角形地砖块数为：14=3×4+2，正方形地砖块数为：16=3×5+1，六边形地砖块数为：3；
…，
所以图n中三角形地砖块数为(4n+2)块，正方形地砖块数为(5n+1)块，六边形地砖块数为n块；
由此可见，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块．
故答案为：5，4.
(2)由(1)发现的规律可知，
当铺设这条小路共用去a块六边形地砖时，
用去正方形地砖的块数为(5a+1)块，用去三角形地砖的块数为(4a+2)块．
(3)当a=25时，
5a+1=5×25+1=126(块)，
4a+2=4×25+2=102(块)，
所以126+102=228(块)，
即此时正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块．
(1)根据所给图形，依次求出图形中正方形和三角形地砖的块数，发现规律即可解决问题．
(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
(3)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形、正方形和六边形地砖块数变化的规律是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH=∠CAD，
∴AF=DF.
(2)∵DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，
∴∠ADE=90∘−∠DAE=∠ABD，
∵tan∠ABD=12，
∴tan∠ADE=AEDE=12，
设AE=x，DE=2x，
∵AF=DF=5，
∴EF=DE−DF=2x−5，
∴(2x−5)2+x2=52，
解得x=4或x=0(舍去)，
∴DE=2x=8，
∵tan∠ABD=12，
∴DEBE=12，
∴BE=16，
∴AB=AE+BE=20
∴⊙O的半径为10.
【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．
(2)根据tan∠ADE=AEDE=12，设AE=x，DE=2x，利用勾股定理求得x，再利用正切函数计算即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程的解法，正切函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正切函数是解题的关键．
20.【答案】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，
∴四边形AGCF是矩形，
∴AG=CF，GC=AF，
∵AB=5m，BC=4m，∠BAG=16∘，
∴AG=ABcs∠GAB=5×cs16∘≈5×0.96=4.8(m)，
BG=ABsin∠GAB=5×sin16∘≈5×0.28=1.4(m)，
∴CF=4.8(m)，CG=4−1.4=2.6(m)，
∴AF=2.6(m)，
∵∠ADF=45∘，
∴AF=DF=2.6(m)
∴CD=CF−DF=4.8−2.6=2.2(m).
【解析】过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，先求AG，再计算CG=AF，结合CD=CF−DF计算即可．
本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意，得样本容量20÷20%=100(人)，
∴C组的人数为100−5−15−20−35=25(人)，
补图如下：
(2)根据题意，中位数应是第50个数据，第51个数据的平均数，
∵A组数据为5个，B组数据为15个，C组数据为25个，
∴45