2024年山东省青岛二十六中中考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年山东省青岛二十六中中考数学二模试卷（含详细答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一个数的倒数是114，这个数是( )
A. 54B. 45C. 1.25D. 0.75
2.民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.
4.如图是一个几何体的三视图，则该几何体是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−1)−1+(−1)0=0
C. 35x3y2÷5x2y2=7xyD. a2m=(−a2)m
6.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x−(单位：环)及方差S2(单位：环 2)如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.如图，把平面直角坐标系xOy中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，若△ABC内有一点P的坐标为(a,b)，那么它的对应点P′的坐标为( )
A. (a−2,b)
B. (a+2,b)
C. (a+2,−b)
D. (−a−2,−b)
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.若AC=20，BD=10，则EF的最小值为( )
A. 2 2B. 2 3C. 4D. 2 5
9.如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为( )
A. 25
B. 45
C. 55
D. 2 55
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，其中正确的结论为( )
①abc<0；
②a+b+c≥ax2+bx+c；
③若M(n2+1,y1)N(n2+2,y2)为函数图象上的两点，则y1>y2；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有整数根，则p的值有2个.
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.(x 2x−3 2x3)÷8 x4=______.
12.如图，正比例函数y1=−3x的图象与反比例函数y2=kx的图象交于A、B两点.点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12，则k=______.
13.如图，已知AB//CD，直线EF分别与AB，CD相交于E，F两点，∠EFD的平分线交AB于点G.如果∠GEF=40∘，则∠EGF等于______.
14.如图，在扇形ABD中，∠BAD=60∘，AC平分∠BAD交弧BD于点C，点P为半径AB上一动点，若AB=4，则阴影部分周长的最小值为______.
15.老师用10个1cm×1cm×1cm的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示，且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱(1cm)共享，或有一面(1cm×1cm)共享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸(如图②)，请小亮将此10个小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何体表面积最大为______cm2.(小正方体摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水平线垂直或平行)
16.边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论正确的有______.(填写序号)
①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=32 2
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM，ON的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？
18.(本小题6分)
计算
(1)化简：(4−4x)÷x2−1x；
(2)解不等式组−3≤1−3x−12<5，并求出所有非负整数解．
19.(本小题6分)
在四张编号为A，B，C，D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．
(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A，B，C，D表示)；
(2)我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
20.(本小题6分)
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22∘，长为3米的真空管AB的坡度为1：43，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
(1)真空管上端B到水平线AD的距离．
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度(结果精确到0.1米).
(参考数据：sin22∘≈38，cs22∘≈1516，tan22∘≈0.4)
21.(本小题6分)
青岛二十六中某年级共有600名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，对数据(成绩)进行整理，描述和分析.下面给出了部分信息.
a.A课程成绩的数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100，每组对应的人数如表：
b.A课程成绩在70≤x<80这一组的是：
c.A，B两门课程成绩的平均数中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分.这名学生成绩排名更靠前的课程是______(填“A”或“B”)，理由是______；
(3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数.
22.(本小题8分)
某工程队承接一铁路工程，在挖掘一条500米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了25天完成了其中300米的隧道挖掘任务．
(1)求实际每天挖掘多少米？
(2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过70天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？
23.(本小题8分)
【问题背景】
如图1，△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90∘，AC=BC=2.取AC、BC、AB中点进行第1次剪取，记所得正方形面积为S1，如图2，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，
【问题探究】
(1)S2=______；
(2)如图3，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3继续操作下去…，则第10次剪取时，S10=______；第 n次剪取时，Sn=______.
【拓展延伸】
在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______.
24.(本小题8分)
已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF.
(1)求证：BE=DF；
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
25.(本小题10分)
某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式1：只购买景点A，30元/人；
方式2：只购买景点B，50元/人；
方式3：景点A和B联票，70元/人.
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万.为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票.
(1)若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有______万人，购买方式2门票的人数有______万人，购买方式3门票的人数有______万人；并计算门票总收入有多少万元？
(2)当联票价格下降x(元)时，请求出四月份的门票总收入w(万元)与x(元)之间的函数关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？
26.(本小题10分)
如图，已知Rt△OAB，∠OAB=90∘，∠ABO=30∘，斜边OB=8cm，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60∘，得到△ODC，连接BC.点M从点D出发，沿DB方向匀速行动，速度为1cm/s；同时，点N从点O出发，沿OC方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.连接AM，MN，MN交CD于点P.设运动时间为t(s)(0(1)当t为何值时，OM平分∠AMN？
(2)设四边形AMNO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P为线段CD的中点？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵一个数的倒数是114=54，
∴这个数是45，
故选：B.
乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案．
本题考查倒数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B.
3.【答案】

【解析】
4.【答案】C
【解析】解：A、主视图是，故选项错误；
B、主视图是，故选项错误；
C、主视图是，故选项正确；
D、主视图是， 故选项错误．
故选：C.
由于主视图是从物体的正面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的主视图，再与题目图形进行比较即可．
本题考查由三视图判断几何体，掌握三视图定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵a2⋅a3=a2+3=a5，
∴A选项的运算不正确；
∵(−1)−1+(−1)0=−1+1=0，
∴B选项的运算正确；
∵35x3y2÷5x2y2=7x，
∴C选项的运算不正确；
∵当m为偶数时，a2m=(−a2)m，当m为奇数时，a2m=−(−a2)m，
∴D选项的运算不正确．
综上，运算正确的选项为B，
故选：B.
利用同底数幂的乘法法则，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义，单项式除以单项式的法则，幂的乘方的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义，单项式除以单项式，幂的乘方，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
∴从甲、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴丁发挥稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：D.
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】D
【解析】解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点(−1,0)成中心对称，
设点P′的坐标为(x,y)，
所以，a+x2=−1，b+y2=0，
解得x=−a−2，y=−b，
所以，P′(−a−2,−b).
故选：D.
先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解．
本题考查了坐标与图形变化-旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是(−1,0)是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接OP，由菱形的性质得AC⊥BD，AO=10，BD=5，则AB=5 5，再由矩形的性质得EF=OP，然后由三角形的面积求出OP的长，即可得到结论．
【解答】
解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC=20，BD=10，
∴AC⊥BD，AO=12AC=10，BO=12BD=5，
∴∠AOB=90∘，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB= AO2+BO2= 102+52=5 5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠OEP=∠OFP=90∘，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
此时，S△ABO=12OA⋅OB=12AB⋅OP，
∴OP=10×55 5=2 5，
∴EF的最小值为2 5，
故选D.
9.【答案】A
【解析】解：连接AE，则AE⊥BC.
又∵AB=AC，
∴E是BC的中点，即BE=EC=1.
Rt△ABE中，AB= 5，BE=1，
由勾股定理得：AE=2.
∴S△ABC=12BC⋅AE=2.
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE=∠CBA，∠CED=∠CAB，
∴△CDE∽△CBA，
∴S△CDE：S△ABC=CE2：AC2=1：5.
∴S△CDE=15S△ABC=25.
故选：A.
连接AE.根据圆周角定理易知AE⊥BC；
由于△ABC是等腰△，根据等腰三角形三线合一的性质知E是BC的中点，即CE=BE=1.
在Rt△ABE中，根据勾股定理即可求出AE的长，进而可求出△ABC的面积．
根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得出△CDE和△CBA的两组对应角相等，由此可判定两个三角形相似，已知了CE、AC的长，也就知道了两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得△CDE的面积．
此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用．
10.【答案】A
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0.
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1>0，
∴b=−2a>0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0.
∴abc<0，故①正确．
由图象可得，当x=1时，y=a+b+c最大，
∴a+b+c≥ax2+bx+c，故②正确．
∵M(n2+1,y1)，N(n2+2,y2)在对称轴右侧，n2+1∴y1>y2，故③正确．
∵抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的交点是(3,0)，(−1,0)，
∴把(3,0)代入y=ax2+bx+c得，0=9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a.
∴9a−6a+c=0，
∴c=−3a.
∴y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a(a<0)，
∴顶点坐标为(1,−4a).
由图象得当0又∵x=0与x=2时，关于直线x=1轴对称，
当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确．
综上，正确的有：①②③④．
故选：A.
依据题意，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．
11.【答案】− 22x
【解析】解：由题可知，x≥0，
∴(x 2x−3 2x3)÷8 x4
=(x 2x−3x 2x)÷8× x2
=−2x 2x×14 x
=− 22x.
故答案为：− 22x.
将−3 2x3化为最简得−3x 2x，进而可合并括号内的同类二次根次，将8 x4化为最简得4 x，再将除法化为乘法，最后约分即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
12.【答案】−12
【解析】解：由题意，过点A作AH⊥x轴，
∵AC=AO，
∴△AOC为等腰三角形．
∴CH=HO.
∴S△AOH=S△ACH=12S△AOC=12×12=6=12|k|.
又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k<0，
∴k=−12.
故答案为：−12.
依据题意，过点A作AH⊥x轴，结合△ACO的面积得出|k|=12，进而可得k的值．
本题主要考查反比例函数与一次函数交点坐标以及反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
13.【答案】70∘
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠EFD+∠GEF=180∘，∠EGF=∠DFG，
∵∠GEF=40∘，
∴∠EFD=180∘−∠GEF=180∘−40∘=140∘，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG=∠DFG=12∠EFD=12×140∘=70∘，
∴∠EGF=70∘，
故答案为：70∘.
根据平行线的性质推出∠EGF=∠DFG，求出∠EFD=140∘，由角平分线的定义求出∠DFG=70∘，即可求出∠EGF.
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
14.【答案】4 2+2π3
【解析】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，连接DC′交OB于点P，连接PC′、OC′，
此时PC+PD最小，即：PD+PC′=DC′，
由题意得，∠CAD=∠CAB=∠BAC′=30∘，
∴∠DOC′=90∘，
∴CD′= OD2+OC′2= 42+42=4 2，
∴CD的长l=30π×4180=23π，
∴阴影部分周长的最小值为4 2+2π3.
故答案为：4 2+2π3.
作点C关于OB的对称点C′，连接DC′交OB于点P，连接PC′、OC′，此时阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与DC′的长度和，分别进行计算即可．
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
15.【答案】52
【解析】解：如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大，
最大值=3×6+2×10+14=52(cm2)，
故答案为：52.
如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大．
本题考查三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】①②③④
【解析】解：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90∘，∠ABD=∠CBD=45∘，
∵EM⊥AB，EN⊥BC，
∴EM=EN，四边形EMBN为矩形，
∴四边形EMBN为正方形，
∴∠MEN=90∘，
∵EF⊥CE，
∴∠MEN=∠FEC=90∘，
∴∠MEF=∠NEC.
在△MEF和△NEC中，
∠FME=∠CNE=90∘EM=EN∠MEF=∠NEC，
∴△MEF≌△NEC(ASA)，
∴EF=EC.
∴①的结论正确；
∵EF=EC，EF⊥CE，
∴∠ECF=45∘，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB=45∘，
∴∠CAB=∠CFE，
∵ACF=∠FCG，
∴△CFA∽△CGF，
∴CACF=CFCG.
∴CF2=CG⋅CA，
∴②的结论正确；
∵EF=EC，EF⊥CE，
∴∠ECF=45∘，
∴∠ECB=∠ECF+∠BCH=45∘+∠BCH.
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45∘+∠BCH，
∴∠ECB=∠DHC.
∵∠CBD=∠BDC=45∘，
∴△BCE∽△DHC，
∴BCBE=DHCD，
∴4BE=DH4，
∴BE⋅DH=16.
∴③的结论正确；
∵BF=1，
∴AF=AB−BF=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC= 2AB=4 2.
∵∠ACD=∠ECF=45∘，
∴∠ECD=∠ACF，
∵∠BAC=∠CDB=45∘，
∴△ACF∽△DCE.
∴AFAC=DECD，
∴34 2=DE4，
∴DE=3 22.
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可：①过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；②利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；③利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；④利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：如图，作AB的垂直平分线与∠MON或∠QON的平分线，交点P1，P2即为所求发射塔应修建的位置．
.
【解析】连接AB，作线段AB的垂直平分线，它上面的点到A，B的距离相等，再作出∠MON或其邻补角∠QON的平分线，它上面的点到OM、ON的距离相等，即可得出它们的交点P就是所求的发射塔应修建的位置．
本题主要考查了线段垂直平分线以及角平分线的性质，解题的关键是运用垂直平分线和角平分线的作法来确定点P的位置．
18.【答案】解：(1)(4−4x)÷x2−1x
=4x−4x⋅x(x+1)(x−1)
=4(x−1)(x+1)(x−1)
=4x+1；
(2){−3⩽1−3x−12①1−3x−12<5②，
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x>−73，
∴该不等式组的解集是−73∴该不等式组的非负整数解是0，1，2，3.
【解析】(1)先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法；
(2)先求出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，从而可以得到所有非负整数解．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握分式混合运算的运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)画树状图如下：
则共有12种等可能的结果；
(2)∵共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果为6种，
即：同时抽到B和C、B和D，C和B、C和D，D和B、D和C。
∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率=612=12.
【解析】(1)根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果；
(2)根据勾股数可判定只有A卡片上的三个数不是勾股数，则可从12种等可能的结果中找出抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果，然后根据概率公式求解
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
20.【答案】解：(1)过点B作BF⊥AD于点F，如图：
在Rt△ABF中，BF：AF=1：43=3：4，AB=3米，
设BF=3x米，则AF=4x米
∴(3x)2+(4x)2=32，
解得x=0.6，
∴BF=3×0.6=1.8(米).
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
(2)在Rt△ABF中，cs∠BAF=AFAB，
则AF=AB⋅cs∠BAF=3×cs37∘≈2.4(米)，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC//FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF=CD，BC=FD，
∵EC=0.5米，
∴DE=CD−CE=1.3米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD=DEAD，
则AD=DEtan∠EAD≈(米)，
∴BC=DF=AD−AF=3.25−2.4≈0.9(米)，
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【解析】(1)过点B作BF⊥AD于点F，根据AB的坡度计算，得到答案；
(2)根据余弦的定义求出AF，再根据正切的定义求出AD，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】B 该学生A课程成绩为76分，小于A课程的中位数，而B课程成绩为71分．大于B课程的中位数
【解析】解：(1)∵随机抽取60名学生进行测试，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x<80这一组，
∴中位数在70≤x<80这一组，
∵70≤x<80这一组的是：，
∴A课程的中位数为78.5+792=78.75，即m=78.75；
(2)∵该学生A课程成绩为76分，小于A课程的中位数，而B课程成绩为71分．大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B；该学生A课程成绩为76分，小于A课程的中位数，而B课程成绩为71分．大于B课程的中位数；
(3)估计A课程成绩超过75.8分的人数为600×10+18+860=360(人).
答：估计A课程成绩超过75.8分的人数为360人．
(1)先确定A课程的中位数落在70≤x<80这一组，再由此分析具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；
(2)根据两个课程的中位数定义解答可得；
(3)用总人数乘以样本中A课程成绩超过75.8分的人数所占比例可得．
本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
22.【答案】解：(1)设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘1.5x米，
根据题意得：300x−3001.5x=25，
解得x=4.
经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x=6
答：实际每天挖掘6米．
(2)设每天还应多挖掘y米，
由题意，得(70−3006)(6+y)≥500−300，
解得y≥4.
答：每天还应多挖掘4米．
【解析】(1)设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘1.5x米，根据结果提前了25天完成了其中300米的隧道挖掘任务，列方程求解；
(2)设每天还应多挖掘y米．根据完成该项工程的工期不超过70天，列不等式进行分析．
此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验．
23.【答案】12 129 12n−1 129
【解析】解：(1)∵四边形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90∘，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45∘，
∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，
∵AC=BC=2，
∴DE=DF=1，
∴S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=1，
同理：S2等于第二次剪取后剩余三角形面积和，
∴S1−S2=1−12=12=S2，
故答案为：12；
(2)Sn等于第n次剪取后剩余三角形面积和，
∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2−S1=1=S1，
第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1−S2=1−12=12=S2，
第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2−S3=12−14=14=S3，
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为：S9−S10=S10=129，
第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn−1−Sn=Sn−1=12n−1，
故答案为：129，12n−1；
(3)在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为S9−S10=S10=129，
故答案为：129.
(1)根据题意，可求得S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=1，第一次剪取后剩余三角形面积和为：2−S1=1=S1，第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1−S2=1−12=12=S2；
(2)同理可得规律：Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案；
(3)依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90∘，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)
∴BE=DF；
(2)解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45∘(正方形的对角线平分一组对角)，
BC=DC(正方形四条边相等)，
∵BE=DF(已证)，
∴BC−BE=DC−DF(等式的性质)，
即CE=CF，
在△COE和△COF中，
CE=CF∠OCE=∠OCFOC=OC，
∴△COE≌△COF(SAS)，
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
【解析】(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；
(2)由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45∘，BC=CD；联立(1)的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
25.【答案】
【解析】解：(1)当联票价格下降5元，购买方式1门票的人数有2−0.04×5=1.8(万人)，
购买方式2门票的人数有1−0.06×5=0.7(万人)，
购买方式3门票的人数有1+0.04×5+0.06×5=1.5(万人)，
∵1.8×30+0.7×50+(70−5)×1.5=186.5(万元)；
∴门票总收入有186.5万元；
故答案为：1.8，0.7，1.5；
(2)根据题意得：w=30(2−0.04x)+50(1−0.06x)+(70−x)(1+0.04x+0.06x)=−0.1x2+1.8x+180=−0.1(x−9)2+188.1，
∵−0.1<0，
∴当x=9时，w取最大值，最大值为188.1，
此时70−9=61(元)，
∴w=−0.1x2+1.8x+180，联票价格为61元时，四月份的门票总收入最大，最大值是188.1万元．
(1)根据联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票，可得联票价格下降5元时，购买方式1门票的人数，购买方式2门票的人数和购买方式3门票的人数，再列式计算可得门票总收入；
(2)列出w=30(2−0.04x)+50(1−0.06x)+(70−x)(1+0.04x+0.06x)=−0.1(x−9)2+188.1，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】解：(1)∵Rt△OAB，∠OAB=90∘，∠ABO=30∘，OB=8cm，
∴NO=AO=12OB=4cm，∠AOB=90∘−30∘=60∘，
当OM平分∠AMN时，
∵∠AMO=∠NMO，MO=MO，∠AOB=∠COD=60∘，
∴△AMO≌△NMO(ASA)，
∴AO=NO=4cm，
∴2t=4，
∴t=2.
(2)如图，h1，h2分别为△AMO，△NMO的边OM，ON上的高，
∵∠AOM=∠NOM=60∘，
∴h1=sin60∘⋅OA= 32×4=2 3(cm)，h2=OM⋅sin60∘=(4+t)× 32cm，
根据旋转可知：OD=OA=4cm，
∴OM=4+t，ON=2t，
∴S=S△AOM+S△OMN
=12×OM×h1+12×ON×h2
=12(4+t)⋅2 3+12(4+t)⋅ 3t
= 32t2+3 3t+4 3(0(3)存在，理由如下：
如图过点C作CG//OB，交MN的延长线于点G，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，PD=PC，
∴△PDM≌△PCG，
∴MD=CG=t，
∵CG//OB，
∴△CGN∽△OMN，
∴CGOM=CNON，
∵ON=2t，CN=8−2t，OM=OD+DM=4+t，
∴t4+t=8−2t2t，
解得：t=2 2，
经检验，t=2 2是原方程的解，
故存在某一时刻t=2 2，使点P为线段CD的中点．
【解析】(1)当OM平分∠AMN时，证明△AMO≌△NMO(ASA)，得到AO=NO，继而问题得解；
(2)由S=S△AOM+S△OMN=12×OM×h1+12×ON×h2，进而求解；
(3)过点C作CG//OB，得到△CGN∽△OMN，有CGOM=CNON，建立关于t的方程求解即可．
本题是几何旋转变换综合题，考查了全等三角形的判定，30度的直角三角形的性质、解直角三角形、三角形的面积及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用数形结合的思想思考问题，本题综合性较强，但难度不大．甲
乙
丙
丁
x−
9
8
8
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
组别
40≤x<50
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
人数
2
6
12
14
18
8
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83