2024年河南省开封市祥符区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年河南省开封市祥符区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“+50元”，那么亏损30元，记作( )
A. +30元B. −20元C. −30元D. +20元
2.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为( )
A. 2.01×10−8B. 0.201×10−7C. 2.01×10−6D. 20.1×10−5
4.如图，直线l1//l2，△ABC是等边三角形，∠1=50∘，则∠2的大小为( )
A. 60∘
B. 80∘
C. 70∘
D. 100∘
5.学校新开设了航模、足球、绘画三个社团，如果晓晓和洋洋两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么晓晓和洋洋选到一社团的概率为( )
A. 23B. 12C. 13D. 16
6.已知点(2,−6)在函数y=kx的图象上，则下列有关函数y=kx的说法正确的是( )
A. 该函数的图象经过点(−3,−4)B. 该函数的图象位于第一、三象限
C. 当x>0时，y的值随x的增大增大D. 当x>−1时，y>4
7.若方程x2−x+k=0没有实数根，则k值可以是( )
A. −2B. 2C. 15D. −1
8.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
9.如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(−2,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( )
A. (−1,2)
B. (1,−1)
C. (−1,1)
D. (2,1)
10.如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30∘.设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的( )
A. 线段CGB. 线段AGC. 线段AHD. 线段CH
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若代数式1 x−1有意义，则实数x的取值范围是__________.
12.小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放惜况，他随机调查了该校区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布的扇形图(如图所示)，根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾共约______千克．
13.请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：①当x>0时，y随着x的增大而增大；②该二次函数图象向上平移2个单位长度后经过原点.你写出的二次函数解析式为______.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积=______.
15.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠C=90∘，D为边AC的中点，E为边AB上的一个动点，连接DE，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A′，当A′E⊥AC时，BE的长度为______.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76∘，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45∘，已知斜坡长PA=26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC//PQ，BC⊥AC.请解答以下问题：
(1)求坡顶A到地面PQ的距离；
(2)求信号塔BC的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin76∘≈0.97，cs76∘≈0.24，tan76∘≈4.00)
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算或化简：
(1)3−8−( 27−1)0+ 64；
(2)1−a−1a÷a2−1a2+2a.
18.(本小题9分)
某中学举行了一次“消防知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了七年级、八年级两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩(得分取整数，满分为100分)分别进行了整理、描述和分析.下面给出部分信息.
a.七年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)；
b.七年级学生竞赛成绩在80≤x<90这一组的是：80 81 81 82 82 84 86 86 86 88 88 89
c.这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m=______；
(2)你认为在此次竞赛中哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由；
(3)该校七年级有学生800人，则七年级学生竞赛成绩超过85的人数约是多少？
19.(本小题9分)
如图，已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A(2,3)，B(6,1)，与两坐标轴分别交于C，D两点，连接OA，OB.
(1)求出一次函数的表达式和m的值；
(2)若点P在y轴上，且S△PAO=S△AOB，求点P的坐标.
20.(本小题9分)
如图，⊙O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切线交CD延长线于点F，且∠AED=∠EAD.
(1)求证：AD=FD；
(2)若AE=6，sin∠AFE=35，求⊙O半径的长.
21.(本小题9分)
端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量(个)比用3360元购买B种粽子的数量(个)多40个，且B种粽子的单价(元/个)是A种粽子单价(元/个)的1.2倍．
(1)求A、B两种粽子的单价各是多少？
(2)若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用w(元)与购买A种粽子数量m(个)之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
22.(本小题10分)
跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=−116x2+bx+c.已知OA=70m，OC=60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m.
(1)点A的坐标是______，点 P的坐标是______；
(2)求满足的函数关系式y=−116x2+bx+c；
(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离.
23.(本小题10分)
转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用.
如图1，已知在Rt△ABC中，∠B=90∘，BC=4，AB=3.请解答下面的问题：
(1)基础巩固：
如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60∘得到△NMC，连接BM，则BC与BM之间的数量关系是______；
(2)拓展探究：
如图2，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60∘得到△CMN.
①求证：△BCM∽△ACN；
②用等式表示AC与AN之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：
点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C旋转得到△CMN，请直接写出点A，M，N在同一直线上时BM的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵盈利50元，记作“+50元”，
∴亏损30元，记作“−30元”．
故选：C.
根据正负数来表示相反意义，盈利50元，记作“+50元”，亏损30元，则记作“−30元”即可求解．
本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正负数的意义的运用．
2.【答案】D
【解析】解：A.是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解：0.00000201=2.01×10−6.
故选：C.
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】C
【解析】解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60∘，
∵l1//l2，∠1=50∘，
∴∠1=∠3=50∘，
∴∠4=180∘−∠3−∠A=70∘，
∴∠2=70∘.
故选：C.
根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出∠2对顶角的度数，即可得到答案．
本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到∠A=60∘.
5.【答案】C
【解析】解：把航模、足球、绘画三个社团分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9个等可能的结果，晓晓和洋洋选到一社团的结果有3个，
∴晓晓和洋洋选到一社团的概率为39=13，
故选：C.
画树状图，共有9个等可能的结果，晓晓和洋洋选到一社团的结果有3个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
6.【答案】C
【解析】解：∵点(2,−6)在函数y=kx的图象上，
∴k=2×(−6)=−12<0，
∴函数y=kx位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的增大增大，
∵−3×(−4)=12≠−12，
∴该函数的图象不经过点(−3,−4)，
把x=−1代入y=−12x求得y=12，∴当x>−1时，y>12
故选：C.
由于点(2,−6)在函数y=kx的图象上，则k=−12<0，图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：∵方程x2−x+k=0没有实数根，
∴Δ=(−1)2−4k<0，
解得：k>14，
∵−2<14, 2>14,15<14,−1<14
∴k值可以是 2.
故选：B.
利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC=2EF=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24，
故选：A.
由三角形的中位线定理可得BC=2EF=6，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
9.【答案】C
【解析】【分析】
先利用点A的坐标画出直角坐标系，再根据垂径定理的推理，作弦AC和AB的垂直平分线，它们相交于点P，则P点为该圆弧所在圆的圆心，然后写出P点坐标即可．
本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了坐标与图形性质．
根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．
【解答】
解：画出直角坐标系，如图，
作弦AC和AB的垂直平分线，它们相交于点P，则P点为该圆弧所在圆的圆心，
P点坐标为(−1,1).
故选C.
10.【答案】D
【解析】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；
若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；
若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；
若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；
故选D.
根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
11.【答案】x>1
【解析】解：根据题意得：x−1>0，
∴x>1.
故答案为：x>1.
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
12.【答案】150
【解析】解：估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾共约50050×100×(1−60%−20%−5%)=1000×15%=150(千克)，
故答案为：150.
用投放垃圾总量乘以可回收垃圾所占的百分比求出样本中50户家庭投放的可回收垃圾的质量，再乘以50050可得答案．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．也考查了用样本估计总体．
13.【答案】y=x2−2(答案不唯一)
【解析】解：∵当x>0时，y随着x的增大而增大，
∴抛物线的顶点坐标在y轴左侧，抛物线开口向上，
∵二次函数图象向上平移2个单位长度后经过原点，
∴抛物线与y轴的交点为(0,−2)，
∴符合条件的二次函数解析式可以为y=x2−2.
故答案为：y=x2−2(答案不唯一).
根据当x>0时，y随着x的增大而增大可知顶点坐标在y轴左侧，抛物线开口向上，再由该二次函数图象向上平移2个单位长度后经过原点可知抛物线与y轴的交点为(0,−2)，据此可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
14.【答案】23π
【解析】解：连接OD，OF.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠C=90∘，
∴S△AFD=S△OFA，
∴S阴=S扇形OFA，
∵OD=OA=2，AB=6，
∴OB=4，
∴OB=2OD，
∴∠B=30∘，
∴∠A=60∘，
∵OF=OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60∘，
∴S阴=S扇形OFA=60⋅π⋅22360=2π3.
故答案为：2π3.
连接OD，OF.首先证明OD//AC，推出S阴=S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
15.【答案】2 2−2或2 2+2
【解析】解：设直线A′E交AC于F，
当F在D下方时，如图：
∵AC=BC=4，∠C=90∘，
∴AB=4 2，∠A=45∘，
∵将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A′，D为边AC的中点，
∴∠A′=∠A=45∘，AD=A′D=2，
∵A′E⊥AC，
∴△AEF，△A′DF是等腰直角三角形，
∴DF=A′D 2= 2，
∴AF=AD+DF=2+ 2，
∴AE= 2AF=2 2+2，
∴BE=AB−AE=4 2−(2 2+2)=2 2−2；
当F在D上方时，如图：
同理可得A′D=AD=2，
∴DF=A′D 2= 2，
∴AF=AD−DF=2− 2，
∴AE= 2AF=2 2−2，
∴BE=AB−AE=2 2+2；
故答案为：2 2−2或2 2+2.
设直线A′E交AC于F，当F在D下方时，由AC=BC=4，∠C=90∘，得AB=4 2，∠A=45∘，根据将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A′，D为边AC的中点，有∠A′=∠A=45∘，AD=A′D=2，而A′E⊥AC，故△AEF，△A′DF是等腰直角三角形，求出DF=A′D 2= 2，AF=AD+DF=2+ 2，可得AE= 2AF=2 2+2，从而BE=AB−AE=4 2−(2 2+2)=2 2−2；当F在D上方时，同理可得BE=AB−AE=2 2+2.
本题考查等腰直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折前后，对应边相等，对应角相等及等腰直角三角形三边的关系．
16.【答案】解：(1)如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴AHPH=12.4=512.
设AH=5k，则PH=12k，
在Rt△AHP中，由勾股定理，得
AP= AH2+PH2= (5k)2+(12k)2=13k.
∴13k=26，
解得k=2.
∴AH=10(m).
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m.；
(2)如图，延长BC交PQ于点D，
由题意可知四边形AHDC是矩形，
∴CD=AH=10m，AC=DH.
∵∠BPD=45∘，∠BDP=90∘，
∴PD=BD.
∵PH=12×2=24(m)，
设BC=x，则x+10=24+DH.
∴AC=DH=(x−14)m.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=tan76∘=BCAC，
即xx−14≈4.00.
解得x≈19(m).
答：信号塔BC的高度约为19m.
【解析】(1)过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结果；
(2)延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC=x，则x+10=24+DH.AC=DH=(x−14)m.利用正切列出方程即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
17.【答案】解：(1)3−8−( 27−1)0+ 64
=−2−1+8
=5；
(2)1−a−1a÷a2−1a2+2a
=1−a−1a⋅a(a+2)(a+1)(a−1)
=1−a+2a+1
=a+1−a−2a+1
=−1a+1.
【解析】(1)根据立方根、零指数幂和算术平方根可以解答本题；
(2)根据分式的除法和减法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18.【答案】83
【解析】解：(1)将七年级学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26位的为82和84，
∴m=(82+84)÷2=83.
故答案为：83.
(2)在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是八年级．
理由是：八年级的平均数和中位数高于七年级．
(3)从样本中可知，七年级学生竞赛成绩超过85的人数为6+18=24(人)，
800×2450=384(人)，
∴该校七年级学生竞赛成绩超过85的人数约为384人．
(1)根据中位数的定义可得答案．
(2)根据平均数、中位数、众数的意义可得答案．
(3)由题意可得，样本中七年级学生竞赛成绩超过85的人数为6+18=24(人)，根据用样本估计总体可得答案．
本题考查频数(率)分布直方图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数的意义是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵点A(2,3)，B(6,1)在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上，
∴2k+b=36k+b=1，解得k=−12b=4，
∴一次函数的解析式为y=−12x+4.
∵点A(2,3)在反比例函数y=mx(x>0)的图象上，
∴m=2×3=6；
(2)由直线y=−12x+4可知C(0,4)，
∴OC=4，
∵A(2,3)，B(6,1)，
∴S△AOB=S△BOC−S△AOC=12×4×6−12×4×2=8.
设P(0,y)，
∵B(−3,−2)
则S△PA0=12|y|×2=4，解得x=±4，
当P在y轴上时，设P(0,y)，
则S△OBP=|y|×2=8，
解得y=±8.
∴点P的坐标为(0,8)或(0,−8).
【解析】(1)把点A(2,3)，B(6,1)，代入一次函数y=kx+b(k≠0)求出k、b的值即可得出函数解析式，利用待定系数法即可得出m的值；
(2)先求出△AOB的面积，再根据三角形的面积公式求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AF与圆相切于A，
∴直径AB⊥AF，
∴∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90∘，
∵∠AED=∠EAD，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=FD；
(2)解：连接BD，
∵∠EAF=90∘，
∵sin∠AFE=35，
∴cs∠AEF=AEEF=45，
∵AE=6，
∴EF=7.5，
∵∠AED=∠EAD，
∴AD=ED，
∴AD=12EF=3.75，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠AED=∠EAD，
∵cs∠EAD=cs∠AEF=45，
∴ADAB=45，
∴AB=7516，
∴⊙O半径的长是7532.
【解析】(1)由切线的性质推出∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90∘，而∠AED=∠EAD，因此∠F=∠FAD，即可证明AD=FD；
(2)由锐角的余弦求出FE的长，即可得到AD的长，由cs∠EAD=cs∠AEF=35，求出AB长，即可求出圆的半径长．
本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：3000x−33601.2x=40，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，
∴1.2x=6；
答：A种粽子单价为5元/个，则B种粽子单价为6元/个；
(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2200−m)个，
依题意，得：5m≤6(2200−m)，
解得：m≤1200，
由题意得：w=5m+6(2200−m)=−m+13200，
当m=1200时，w最小=12000，
2200−1200=1000，
答：购进A种粽子1200个，购进B种粽子1000个，总费用最低，最低是12000元．
【解析】(1)设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，由“用3000元购买A种粽子的数量(个)比用3360元购买B种粽子的数量(个)多40个”列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2200−m)个，先由题意得不等式5m≤6(2200−m)，解得m≤1200，再由题意得w=−m+13200，然后由一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)(0,70)，(40,30)；
(2)把A(0,70)，P(40,30)代入y=−116x2+bx+c得：
c=70−116×1600+40b+c=30，
解得b=32c=70，
所以二次函数的表达式为y=−116x2+32x+70；
(3)运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m.
【解析】【分析】
(1)根据题意可直接求出A，P坐标；
(2)把A，P坐标代入y=−116x2+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
(3)作MN//y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
【解答】
解：(1)根据题意得，A(0,70)，P(40,30)，
故答案为：(0,70)，(40,30)；
(2)见答案；
(3)如图，作MN//y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC=60m，
∴C(0,60)，
设线段BC的关系式为y=kx+m，则m=6040k+m=30，
解得：k=−34m=60，
所以线段BC的关系式为y=−34x+60，
设M(a,−116a2+32a+70)，则N(a,−34a+60)，
则MN=−116a2+32a+70+34a−60=−116a2+94a+10=−116(a−18)2+30.25，
∵−116<0，
∴当a=18时，MN有最大值，最大值为30.25，
故答案为：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m.
23.【答案】BC=BM
【解析】(1)解：根据旋转的性质得CM=CB=4，∠BCM=60∘，
∴△BCM是等边三角形，
∴BC=BM；
故答案为：BC=BM；
(2)①证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，△CDE绕点C按顺时针方向旋转60∘得到△CMN，
∴CN=CE=12CA，CM=CD=12CB，
∠ACN=∠BCM=60∘.
∴CMCB=CNCA=12.
∴△BCM∽△ACN；
②解：AN= 32AC.理由如下：
如图2，连接MD，
∵BC=4，AB=3，
∴BD=DC=CM=2.
∵∠BCM=60∘，
∴△CMD是等边三角形．
∴CD=MD=BD=2，∠DMC=∠MDC=60∘.
∴∠DBM=∠DMB=12∠MDC=30∘.
∴∠BMC=30∘+60∘=90∘.
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
BM= BC2−CM2= 42−22=2 3.
∴BMBC=2 34= 32.
由①得，△BCM∽△ACN.
∴BMBC=ANAC= 32.
∴AN= 32AC；
(3)解：①如图所示，
∵∠B=90∘，BC=4，AB=3，
∴AC=5，CD=CM=2，CN=CE=52，MN=DE=32，∠CMN=∠CMA=90∘，∠MCN=∠BCA，
∴AM= AC2−CM2= 21，∠MCB=∠NCA，
∵BCAC=45，CMCN=252=45，
∴BCAC=CMCN=45，
∴△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM+MN)=4 21+65；
②如图所示，
同理，△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM−MN)=4 21−65；
综上所述，BM的长为4 21+65或4 21−65.
(1)证明△BCM是等边三角形，即可得到结论BC=BM；
(2)①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明△BCM∽△ACN；②证明△CMD是等边三角形，在Rt△BCM中，利用勾股定理求得BM的长，再利用相似三角形的性质求解即可；
(3)分两种情况分析，A、M、N三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案．
此题主要考查了几何变换综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．成绩
平均数
中位数
众数
七年级学生
82
m
86
八年级学生
83
85
84