2024年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（探花卷）（含详细答案解析）

这是一份2024年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（探花卷）（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.春节期间冰雪旅游大热，杭州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询气温，结果如图所示，杭州的气温是19℃，哈尔滨的气温是−14℃，则此刻两地的温差是( )
A. 33℃B. 19℃C. 14℃D. 5℃
2.光年是天文学上的一种距离单位，一光年指光在一年内走过的路程，约等于9460000000000km，数9460000000000可以用科学记数法表示为( )
A. 9.46×1012B. 94.6×1012C. 0.946×1012D. 9.46×1013
3.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−a3b)2=−a6b2C. a6÷a3=a2D. (a2)3=a6
4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. b0D. −a>b
5.如图，已知l1//l2//l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF=3：5，AC=12，那么BC的长等于( )
A. 2B. 4C. 245D. 365
6.已知一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，得到一组新的数据，这组新的数据的统计量会发生变化的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
7.如图，已知直线l//AB，∠A=2∠B.若∠1=118∘，则∠2的度数为( )
A. 31∘
B. 36∘
C. 62∘
D. 72∘
8.如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC=26∘，则∠A的度数为( )
A. 32∘
B. 52∘
C. 64∘
D. 72∘
9.如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC<60∘，点P为△ABC的重心.若BC=6，当点A到BC的距离最大时，线段PO的长为( )
A. 1tan∠BAC−2sin∠BAC
B. 2tan∠BAC−1sin∠BAC
C. tan∠BAC−2sin∠BAC
D. 2tan∠BAC−sin∠BAC
10.如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，以点D为旋转中心将△ADC逆时针旋转90∘，得到△FDE，B，F，E三点恰好在同一条直线上，设AC与BE相交于点G，连结DG.有以下结论：①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③F是线段CD的黄金分割点；④CG+ 2DG=EG.其中正确的是( )
A. ①B. ①③C. ②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：mx2−my2=______.
12.已知二次根式 3x+1的值为4，则x=______.
13.不透明的袋子里有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.随机摸取两个球，恰好为一个红球一个白球的概率是______.
14.若2x2−x−7=0，则x(x−3)+(x+1)2=______.
15.已知二次函数y=x2−4tx+3t的图象与x轴交于A(a,0)，B(b,0)两点，且满足−6≤a+b≤−4.当−3≤x≤−1时，该函数的最大值M与t满足的关系式是______.
16.如图，矩形ABCD中，BC=9，点E为BC上一点，将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，连结CF.若∠FEC=2∠FCE，且CF=6，则BE的长为______， AB的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算6÷(−12+13)，方方同学的计算过程如下，原式=6÷(−12)+6÷13=−12+18=6.请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
18.(本小题6分)
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______，七年级活动成绩的众数为______分；
(2)a=______，b=______；
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由.
19.(本小题6分)
如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE=EF.
(1)求证：∠C=90∘；
(2)当BC=3，csA=45时，求AF的长.
20.(本小题8分)
已知反比例函数y=kx(k≠0)，点(3,a)，(1,2a+1)都在该反比例函数图象上.
(1)求k的值；
(2)若点A(x1,y1)B(x2,y2)都在该反比例函数图象上；
①当y2=y1+6，点A和点B关于原点中心对称时，求点B坐标；
②当x1=3，y1+y2<0时，求x2的取值范围.
21.(本小题8分)
《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁.直至近代，重差测量法仍有借鉴意义.
如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线.从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45∘；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30∘.(点F、G都在直线HB上)
(1)求FG的长(结果保留根号)；
(2)山峰高度AH的长(结果精确到0.1米).(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
22.(本小题10分)
某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的.其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE=BC，OF=DF=BD，这个大棚用了400根支架.
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米(接口忽略不计)，需要增加的经费不超过32000元.
(1)分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.
①求出改造前的函数解析式.
②当CC′=1米，求GG′的长度.
(2)只考虑经费情况下，求出CC′的最大值.
23.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的动点(与点B，D不重合)，连结AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F，G.请说明△ABE≌△FGE，并求EFAE的值.
数学思考：(1)请你解答老师提出的问题.
深入探究：(2)如图2，老师将图1中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变，并让同学们提出新的问题.
①“聪聪小组”提出问题：如图2，当AB=3，BC=4时，求EFAE的值；进一步，当AB=m⋅BC时，直接写出EFAE的值(用含m的代数式表示).
②“慧慧小组”提出问题：如图3，连结CE，当AB=2，BC=4，CE=CD时，求EF的长.
请解答这两个问题.
24.(本小题12分)
如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是BD上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG.
(1)若∠AFO=60∘，求∠CGO的度数.
(2)求证：AC2=AG⋅CF.
(3)设∠AFO=α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：S1S2=tanα−1.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：19−(14)=33(℃)，
故选：A.
根据有理数减法运算法则计算即可．
本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数减法运算法则是关键．
2.【答案】A
【解析】解：9460000000000=9.46×1012.
故选：A.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故选项不符合题意；
B.(−a3b)2=a6b2，故选项不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故选项不符合题意；
D.(a2)3=a6，故选项符合题意．
故选：D.
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由数轴可得−2则A，B均不符合题意，
∵|a|>|b|，
∴a+b<0，
即−a>b，
则C不符合题意，D符合题意，
故选：D.
由数轴可得−2|b|，再利用实数的加法法则进行判断即可．
本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE：DF=3：5，EF=DF−DE，
∴EF：DF=2：5.
∵l1//l2//l3，
∴BCAC=EFDF，
∴BC12=25，
∴BC=245.
故选：C.
由“DE：DF=3：5，EF=DF−DE”，可得出EF：DF=2：5，由l1//l2//l3，利用平行线分线段成比例，可得出BCAC=EFDF，代入AC=12，EF：DF=2：5，即可求出BC的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：原数据的3，4，4，5，的平均数为3+4+4+54=4，中位数为4，众数为4，方差为14×[(3−4)2+(4−4)2×2+(5−4)2]=0.5；
新数据3，4，4，4，5的平均数为3+4+4+4+55=4，中位数为4，众数为4，方差为15×[(3−4)2+(4−4)2×3+(5−4)2]=0.4；
故选：D.
依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵直线l//AB，
∴∠A=180∘−∠1=180∘−118∘=62∘，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=31∘，
∵直线l//AB，
∴∠2=∠B=31∘，
故选：A.
根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A，进而得出∠B，进而利用平行线的性质得出∠2即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A解答．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，
∴AB=AC，OB⊥AB，
∴∠OBA=90∘，
∵∠OBC=26∘，
∴∠ABC=90∘−26∘=64∘，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=64∘，
∴∠A=180∘−∠ABC−∠ACB=52∘.
故选：B.
先根据切线长定理和切线的性质得到AB=AC，∠OBA=90∘，则可计算出∠ABC=64∘，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
9.【答案】B
【解析】解：由题知，
当点A在BC的垂直平分线与⊙O的交点处时，点A到BC的距离最大，
∵AM⊥BC，
∴BM=12BC=3.
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOM=∠BAC.
在Rt△BOM中，
tan∠BOM=BMOM，sin∠BOM=BMOB，
∴OM=3tan∠BAC，OB=3sin∠BAC.
∴AM=AO+OM=BO+OM=3tan∠BAC+3sin∠BAC.
∵点P为△ABC的重心，
∴AP=23AM=2tan∠BAC+2sin∠BAC，
∴PO=AP−AO=2tan∠BAC+2sin∠BAC−3sin∠BAC=2tan∠BAC−1sin∠BAC.
故选：B.
先根据点A到BC的距离最大，得出点A在BC的垂直平分线上，再利用同弧所对圆心角与圆周角的关系得出∠BOC的度数，最后借助于三角函数表示出相关线段的长度结合重心的性质即可解决问题．
本题考查三角形的重心及解直角三角形，熟知点A到BC的距离最大时点A的位置及三角形重心的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90∘得到的，
∴△FDE≌△ADC，
∴AD=DF，DC=DE，∠DEF=∠DCA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90∘，
∴∠DAC+∠DCA=90∘，即∠DAG+DEF=90∘，
∴∠AGE=90∘，即AC⊥BE，故①正确；
∵AC⊥BE，
∴∠BGC=90∘，即△BGC是直角三角形，
而△AGD显然不是直角三角形，故②错误；
在Rt△FCB和Rt△FDE中，
∵∠BFC=∠EFC，
∴Rt△FCB∽Rt△FDE，
∴FCDF=BCDE，
∵BC=AD=DF，DE=DC，
∴FCDF=DFDC，即DF2=FC⋅DC，
∴点F是线段CD的黄金分割点，故③正确；
在线段EF上取EG′=CG，并连接DG′，如图，
∵DC=DE，∠DEF=∠DCA，
∴∠DEG′=∠DCG，
在△DCG和△DEG′中，
DC=DE∠DCG=∠DEG′CG=EG′，
∴△DCG≌△DEG′(SAS)，
∴DG=DG′，∠CDG=∠EDG′，
∵∠CDG=∠GDA=90∘，∠EDG′+∠GAD=90∘，
∴∠GDG′=90∘，
∴△GDG′是等腰直角三角形，
∴GG′= 2DG，
∵EG′=CG，
∴EG=EG′+GG′=CG+ 2DG，故④正确；
故答案为：①③④．
故选：D.
由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90∘得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAC+DEF=90∘从而判断①；由AC⊥BE可得∠BGC=90∘，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE及BC=AD=DF，DE=DC，得出FCDF=DFDC可判断③；在线段EF上作EG′=CG，如图所示，连接DG′，通过△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④．
本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．
11.【答案】m(x+y)(x−y)
【解析】解：mx2−my2=m(x2−y2)
=m(x+y)(x−y).
故答案为：m(x+y)(x−y).
直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵二次根式 3x+1的值为4，
∴3x+1=16，
∴x=5.
故答案为：5.
根据二次根式 3x+1的值为4得出3x+1=16，再求出x即可．
本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出3x+1=16是解此题的关键．
13.【答案】23
【解析】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好为一个红球一个白球的结果有4种，
∴恰好为一个红球一个白球的概率为46=23.
故答案为：23.
列表可得出所有等可能的结果数以及恰好为一个红球一个白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据2x2−x−7=0，可以得到2x2−x=7，然后将所求式子化简，再将2x2−x=7代入计算即可．
【解答】
解：∵2x2−x−7=0，
∴2x2−x=7，
x(x−3)+(x+1)2
=x2−3x+x2+2x+1
=2x2−x+1
=7+1
=8.
15.【答案】M=7t+1
【解析】解：∵二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a,0)，B(b,0)两点，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=12(a+b)，
∵−6≤a+b≤−4，
∴对称轴在−3和−2之间，
∴当−3≤x≤−1时，函数的最大值是x=−1时所对应的函数值，
∴M=1+4t+3t=7t+1，
故答案为：M=7t+1.
由二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a,0)，B(b,0)两点，得出对称轴为直线x=12(a+b)，即可得出对称轴在−3和−2之间，根据二次的性质即可得出函数的最大值是x=−1时所对应的函数值．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，判断对称轴在−3和−2之间是解题的关键．
16.【答案】412 77
【解析】解：连接BF，作FG⊥BC于G，
∵将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，
∴BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB，
∴∠FEC=2∠FBC，
∵∠FEC=2∠FCE，
∴∠FBC=∠FCB，
∴BF=CF=6，
∵FG⊥BC，
∴BG=92，
在Rt△BGF中，由勾股定理得，FG= 62−(92)2=3 72，
设BE=EF=x，则EG=92−x，
在Rt△EFG中，由勾股定理得，x2=(92−x)2=(3 72)2，
解得x=4，
∴BE=4，
∵∠EBC+∠ABF=∠ABF+∠BAE=90∘，
∴∠EBC=∠BAE，
∴tan∠BAE=tan∠GBF，
∴4AB=3 7292，
解得，AB=12 77.
故答案为：4，12 77.
连接BF，作FG⊥BC于G，首先导角说明∠FBC=∠FCB，得BF=CF=6，利用勾股定理求出FG的长，设BE=EF=x，则EG=92−x，在Rt△EFG中，由勾股定理得，x2=(92−x)2=(3 72)2，求出BE，再根据∠EBC=∠BAE，得tan∠BAE=tan∠GBF，进而解决问题．
本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，说明BF=CF是解题的关键．
17.【答案】解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式=6÷(−36+26)
=6÷(−16)
=6×(−6)
=−36.
【解析】本题考查了有理数的除法，用到的知识点是有理数的除法、通分、有理数的加法，关键是掌握运算顺序．
根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可．
18.【答案】1 8 2 3
【解析】解：(1)根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1−50%−20%−20%=10%
∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%=1，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8.
(2)∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，
∴a=5−1−2=2，
b=10−1−2−2−2=3，
故答案为：2，3.
(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%=40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5，
八年级优秀率为3+210×100%=50%>40%，平均成绩为：110×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=8.3<8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高．
(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
(2)根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；
(3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接OE，BE，
∵DE=EF，
∴DE=EF，
∴∠OBE=∠DBE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE//BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90∘；
(2)解：在△ABC，∠C=90∘，BC=3，csA=45，
∴sinA=35，
∴AB=5，
设⊙O的半径为r，则AO=5−r，
在Rt△AOE中，sinA=OEOA=r5−r=35，
∴r=158，
∴AF=5−2×158=54.
【解析】(1)连接OE，BE，因为DE=EF，所以DE=EF，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE//BC，从可证明BC⊥AC；
(2)设⊙O的半径为r，则AO=5−r，在Rt△AOE中，由csA求得sinA=35，sinA=OEOA=r5−r=35，从而可求出r的值．
本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
20.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)，点(3,a)，(1,2a+1)都在该反比例函数图象上，
∴k=3a=2a+1，
∴a=1，
∴k=3a=3；
(2)①∵点A(x1,y1)B(x2,y2)都在该反比例函数图象上，且点A和点B关于原点中心对称，
∴y1+y2=0，
∵y2=y1+6，
∴y1+y1+6=0，
∴y1=−3，
∴y2=3，
代入y=3x得，3=3x2，解得x2=1，
∴B(1,3)；
②∵x1=3，
∴y1=33=1，
∵y1+y2<0，
∴y2<−1，
∴3x2<−1，
∴−3【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
(1)由反比例函数图象上点的坐标特征得到k=3a=2a+1，解得k=3；
(2)①由题意y1+y2=0，结合y2=y1+6，求得y2=3，代入y=3x，即可求得B(1,3)；
②求得y1=3，由y1+y2<0得到y2<−1，即3x2<−1，解得−321.【答案】解：(1)由题意得：CB⊥FH，ED⊥HG，
在Rt△FBC中，∠BFC=45∘，BC=2，
∴BF=BCtan45∘=2(米)，
在Rt△DEG中，∠G=30∘，DE=2，
∴DG=DEtan30∘=2 33=2 3(米)，
∵BD=6米，
∴FG=BD+DG−BF=6+2 3−2=(4+2 3)米，
∴FG的长为(4+2 3)米；
(2)设AH=x米，
在Rt△AHF中，∠AFH=45∘，
∴FH=AHtan45∘=x(米)，
∵FG=(4+2 3)米，
∴HG=HF+FG=(x+4+2 3)米，
在Rt△AHG中，∠G=30∘，
∴HG=AHtan30∘=AH 33= 3AH，
∴x+4+2 3= 3x，
解得：x=5+3 3≈10.2，
∴AH=10.2米，
∴山峰高度AH的长约为10.2米．
【解析】(1)根据题意可得：CB⊥FH，ED⊥HG，然后分别在Rt△FBC和Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义求出BF和DG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)设AH=x米，在Rt△AHF中，利用锐角三角函数的定义求出HF的长，从而求出HG的长，再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义可得HG= 3AH，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：A(0,1)，E(4,3.4)，C(6,3.4)，
设改造前的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∴c=116a+4b+c=3.436a+6b+c=3.4，
解得：a=−110b=1c=1，
∴改造前的抛物线的函数表达式为y=−110x2+x+1；

②如图，建立与(1)相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为y=−110x2+x+1，
∴对称轴为直线x=−12×(−110)=5，
设改造后抛物线解析式为：y2=cx2+dx+1，
∵调整后C与E上升相同的高度，且CC′=1，
∴对称轴为直线x=5，则有−d2c=5，
当x=6时，y=4.4，
∴36c+6d+1=4.4，
∴c=−17120，d=1712，
∴改造后抛物线解析式为：y2=−17120x2+1712x+1，
当x=2时，
改造前：y1=−110×22+2+1=135，
改造后：y2=−17120×22+1712×2+1=4915，
∴GG′=y2−y1=4915−135=23(米)，
∴GG′的长度为23米；
(2)如(2)题图，设改造后抛物线解析式为y=ax2−10ax+1，
∵当x=2时，y=a×22−10a×2+1=−16a+1，
当x=4时，y=a×42−10a×4+1=−24a+1，
∴G′(2,−16a+1)，E′(4,−24a+1)，
∴EE′+GG′=−24a+1−16a+1−(3.4+135)=−40a−4，
由题意可列不等式：(−40a−4)×200×60≤32000，
解得：a≥−16，
∵CC′=EE′=−24a+1−3.4，
要使最大，需a最小，
∴当a=−16时，CC′的值最大，最大值为1.6米．
【解析】(1)①设改造前的函数解析式为y=ax2+bx+c，根据所建立的平面直角坐标系得到A(0,1)，E(4,3.4)，C(6,3.4)，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C′、E′的坐标即可得到结论；
(2)根据已知条件表示出G′、E′的坐标得到a的不等式，进而得到CC′的最大值．
本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，∠ABE=∠GBE=45∘.
∵EF⊥AE，EG⊥BD，
∴∠AEF=∠BEG=90∘，
∴∠AEF−∠BEF=∠BEG−∠BEF，∠G=90∘−∠EBG=45∘，
∴∠AEB=∠FEG，∠ABE=∠EBG=∠G，
∴BE=EG.
在△ABE和△FGE中，∵∠ABE=∠G，BE=GE，∠AEB=∠FEG，
∴△ABE≌△FGE(ASA)，
∴AE=EF，
∴EFAE=1.
(2)①∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠C=90∘，
由(1)，得∠AEB=∠FEG.
∵∠ABC=∠AEF=90∘，
∴∠ABC+∠AEF=90∘+90∘=180∘，
∴∠BAE+∠BFE=180∘.
∵∠BFE+∠EFG=180∘，
∴∠EFG=∠BAE，
∴△ABE∽△FGE，
∴EFAE=EGBE.
∵∠BEG=∠C=90∘，∠CBD=∠EBG，
∴△BEG∽△BCD，
∴EGCD=BEBC，
∴EGBE=CDBC=ABBC=34，
∴EFAE=EGBE=34，
当AB=m⋅BC时，EFAE=EGBE=ABBC=m.
②如图，过点C作CH⊥BD于点H，过点E作EQ⊥AB于点Q.
∵AB=CD=2，BC=4，
∴BD= BC2+CD2= 4+16=2 5.
又∵sin∠DBC=CHBC=CDBD，
∴CH4=22 5，
∴CH=4 55，
∴DH= CD2−CH2= 4−165=2 55.
∵CE=CD，CH⊥BD，
∴DE=2DH=4 55，
∴BE=6 55.
∵QE⊥AB，
∴∠BQE=∠BAD=90∘.
又∵∠ABD=∠QBE，
∴△BQE∽△BAD，
∴BEBD=QEAD=BQAB，
∴6 52 5=QE4=BQ2，
∴QE=125BQ=65，
∴AQ=45，
∴AE= AQ2+QE2= 1625+14425=4 105.
由(2)可知，EFAE=ABBC=12，
∴EF=2 105.
【解析】(1)证明△ABE≌△FGE(ASA)，得出AE=EF，则可得出答案；
(2)①证明△ABE∽△FGE，得出EFAE=EGBE.证明△BEG∽△BCD，得出EGCD=BEBC，则可得出答案；
②过点C作CH⊥BD于点H，过点E作EQ⊥AB于点Q.由勾股定理求出BD，DH，证明△BQE∽△BAD，得出BEBD=QEAD=BQAB，由勾股定理求出AE的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了掌握正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，
∴AC=AD=AD=90∘，
∴∠D=∠E=∠ACD=∠BAC=45∘，
又∵∠AFO=∠D+∠DAE=60∘，
∴∠DAE=15∘，
∴∠DCE=∠DAE=15∘，
∴∠AGC=90∘−∠DCE=75∘；
(2)证明：∵∠ACG=∠ACD+∠CDE=45∘+∠CDE，∠AFC=∠D+∠DAE=45∘+∠DAE，
∴∠ACG=∠AFC，
又∵∠ACF=∠CAG=45∘，
∴△ACF∽△GAC，
∴ACAG=CFAC，
∴AC2=AG⋅CF.
(3)证明：∵S△ACD=12AC2，S四边形ACGF=12AG⋅CF，
由(2)知AC2=AG⋅CF，
∴S△ACD=S四边形ACGF，
∴S△ACD−S△ACO=S四边形ACGF−S△ACO，
∴S△AFD=S△CGF，
∴S1S2=S△AFDS△AOF=DFOF=OD−OFOF=ODOF−1=OAOF−1=tanα−1.
【解析】(1)证出∠D=∠E=∠ACD=∠BAC=45∘，由圆周角定理得出∠DCE=∠DAE=15∘，则可得出答案；
(2)证明△ACF∽△GAC，由相似三角形的性质得出ACAG=CFAC，则可得出结论；
(3)由三角形面积公式证出S△ACD=S四边形ACGF，则S△ACD−S△ACO=S四边形ACGF−S△ACO，证出S△AFD=S△CGF，则可得出结论．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
红
红
白
红
(红，红)
(红，白)
红
(红，红)
(红，白)
白
(白，红)
(白，红)