2024年福建省厦门一中中考数学质检试卷（3月份）（含详细答案解析）

这是一份2024年福建省厦门一中中考数学质检试卷（3月份）（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.目前代表华为手机最强芯片的麒麟990处理器采用0.0000007cm工艺制程，数0.0000007用科学记数法表示为( )
A. 7×10−6B. 7×10−7C. 0.7×10−6D. 0.7×10−7
2.如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列算式，能按照“底数不变，指数相乘”计算的是( )
A. a2+aB. a2⋅aC. (a3)2D. a3÷a
4.如图，在Rt△ABC中，AB=8，∠A=30∘，D、E分别为AB、AC的中点，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 3
5.下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是( )
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
6.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得对应△DEC，连接BE，则∠BED的大小为( )
A. 45∘
B. 30∘
C. 22.5∘
D. 15∘
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为4，∠D=120∘，则AC的长是( )
A. π
B. 43π
C. 83π
D. 4π
8.已知点M(6,a−3)，N(−2,a)，P(2,a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
10.抛物线y=−x2+2mx−m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(m−1,y1)，N(m+1,y2)为图形G上两点，若y1A. m<−1或m>0B. −12C. 0≤m< 2D. −1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：x2−2x+1=__________.
12.二次函数y=2(x−1)2+3的图象的的对称轴是直线______.
13.某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图(如图)，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有______名.
14.某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如表所示(单位：s)：
则这10只手表的平均日走时误差是______s.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于______.
16.以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E.若双曲线y=32x(x>0)经过点D，则OB⋅BE的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组：x−2≤4(x+1)x−12<1，并将解集在数轴上表示出来.
18.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF.
求证：△ADE≌△CBF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(−3a−1−1)÷a2+2aa2−1，其中a= 3.
20.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)过点O作OH⊥AD，交AD于点H，连接BD，若BD=6，AH=3 3，求⊙O的半径长.
21.(本小题10分)
如图，已知∠MON=90∘，A，B为射线ON上两点，且OB(1)求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接AC，OD，当△OAC∽△OCB时，求tan∠ODC的值.
22.(本小题10分)
一副扑克牌(大、小王除外)有四种花色，且每种花色皆有13种点数，分别为2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A，共52张.
某扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来评估尚未发出的牌值点数大小.“牌值”的计算方式为：未发牌时先设“牌值”为0；若发出的牌点数为2至10时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加2；若发出的牌点数为J、Q、K、A时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减2.
例如：从该副扑克牌发出了6张牌，点数依序为3、A、8、9、Q、5，则此时的“牌值”为0+2−2+2+2−2+2=4.
请根据上述信息回答下列问题：
(1)若该副扑克牌发出了1张牌，求此时的“牌值”为−2的概率；
(2)已知该副扑克牌已发出32张牌，且此时的“牌值”为24.若剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，求下一张发出的牌是点数大的牌的概率.
23.(本小题10分)
小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调.通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调.
小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：
①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；
②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；
③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为x(mm)和y(kHz)，对收集到的数据检查、整理；
④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的y与x对应关系的散点图.
(1)表1记录了收集到的四组(A、B、C、D)数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______(填写组别代号)，不必说明理由；
(表1)
(2)根据散点图，同学们猜想y与x的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数(精确到个位)作为y与x的对应关系中的系数.小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出la的音.
(表2)
你知道小明剪出的吸管长度是多少(精确到个位)？并说明你的理由.
24.(本小题10分)
抛物线y=−ax2+3ax+4a(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，CD平行于x轴交抛物线于另一点D，点M是x轴上一动点，连接MD，过点M作MK⊥MD交y于点K(点K在线段OC上，不与点O重合)，
(1)求A、B、D三点的坐标(D点坐标用含a的式子表示).
(2)若点K的坐标为(0,98)，则线段OB存在唯一一点M，
①求抛物线的解析式
②如图2，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接CP，是否存在点P使△PCQ中某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由.
25.(本小题10分)
在Rt△EBC中，∠EBC=90∘，点A在EB边上.以AC为斜边作Rt△DAC，使得B、D两点在直线AC的异侧，且∠DAC=∠BEC，AD与EC交于点F.
(1)求证：∠DCF=∠ACB；
(2)连接DE，若∠BEC=45∘，判断DE与AC的数量关系；
(3)若CA=BE，过点A作AH⊥EC，垂足为H.求证：EH=AF.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.0000007=7×10−7.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看，看到的图形分为上下两部分，下面一部分是一个长方形，上面一部分左上角有一个小长方形，即看到的图形如下：
，
故选：B.
根据左视图是从左面看到的图形求解即可．
本题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是具有一定的空间概念．
3.【答案】C
【解析】解：能按照“底数不变，指数相乘”计算的是(a3)2.
故选：C.
直接利用同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算法则判断得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=8，∠A=30∘，∠C=90∘，
∴BC=12BC=4，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=2，
故选：A.
根据含30度角的直角三角形的性质得到BC=12BC=4，再由三角形中位线定理可得DE=12BC=2.
本题主要考查了三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
5.【答案】C
【解析】解：由于13岁和14岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定，
因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：12+122=12，
所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数．
故选：C.
根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得对应△DEC，
∴CE=CB，∠BCE=90∘，∠DEC=∠ABC=30∘，
∴∠CEB=∠CBE=45∘，
∴∠BED=∠CEB−∠DEC=45∘−30∘=15∘，
故选：D.
由旋转得CE=CB，∠BCE=90∘，∠DEC=∠ABC=30∘，所以∠CEB=∠CBE=45∘，则∠BED=∠CEB−∠DEC=15∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明CE=CB，∠BCE=90∘是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120∘，
∴∠B=60∘，
∵AC=AC，
∴∠O=2∠B=120∘，
∴l=120∘π×4180∘=83π，
故选：C.
根据∠D=120∘得到∠B=60∘，从而得到∠O=2∠B=120∘，结合l=nπr180∘求解即可得到答案．
本题考查弧长的计算，关键是掌握圆内接四边形对角互补及扇形弧长公式．
8.【答案】A
【解析】解：由N(−2,a)，P(2,a)在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；
由M(6,a−3)，N(2,a)，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意；
故选：A.
由点N(−2,a)，P(2,a)关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据M(6,a−3)，N(2,a)，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，从而排除选项D.
此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵CM//DN//BE，
∴AC：CD：DE=AM：MN：NB，
∵AC=CD=DE，
∴AM=MN=NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D.
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在y=−x2+2mx−m2+2中，令x=m−1，得y=−(m−1)2+2m(m−1)−m2+2=1，
令x=m+1，得y=−(m+1)2+2m(m+1)−m2+2=1，
∴(m−1,1)和(m+1,1)是关于抛物线y=−x2+2mx−m2+2对称轴对称的两点，
①若m−1≥0，即(m−1,1)和(m+1,1)在y轴右侧(包括(m−1,1)在y轴上)，
则点(m−1,1)经过翻折得M(m−1,y1)，点(m+1,1)经过翻折的N(m+1,y2)，
如图：
由对称性可知，y1=y2，
∴此时不满足y1②当m+1≤0，即(m−1,1)和(m+1,1)在y轴左侧(包括(m+1,1)在y轴上)，
则点(m−1,1)即为M(m−1,y1)，点(m+1,1)即为N(m+1,y2)，
∴y1=y2，
∴此时不满足y1③当m−1<0此时(m−1,1)即为M点，(m+1,1)翻折后得N点，满足y1由m−1<0故选：D.
通过计算可知，(m−1,1)，(m+1,1)为抛物线y=−x2+2mx−m2+2上关于对称轴对称的两点，根据y轴与(m−1,1)，(m+1,1)的相对位置分三种情形：①若m−1≥0，即(m−1,1)和(m+1,1)在y轴右侧(包括(m−1,1)在y轴上)，②当m+1≤0，即(m−1,1)和(m+1,1)在y轴左侧(包括(m+1,1)在y轴上)，③当m−1<0本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
11.【答案】x−12.
【解析】【分析】
本题考查了公式法分解因式，根据完全平方公式分解，即可得到答案.
【解答】
解：原式=x−12.
故答案为x−12.
12.【答案】x=1
【解析】解：∵y=2(x−1)2+3，
∴抛物线对称轴为x=1，
故答案为：x=1.
由抛物线解析式可求得其对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k).
13.【答案】780
【解析】解：估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有1200×12+10+440=780(名)，
故答案为：780.
用总人数乘以样本中劳动时间不少于2小时的学生人数所占比例即可．
本题主要考查频数分布直方图和用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
14.【答案】1.1
【解析】解：这10只手表的平均日走时误差是：
4×1+2×2+1×33+4+2+1=1.1(s)；
故答案为：1.1.
利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
15.【答案】78
【解析】解：连接AE，
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，AB=5，
由勾股定理得BC=4，
设CE的长为x，则BE=AE=4−x，在Rt△ACE中，
由勾股定理得：x2+32=(4−x)2，
解得：x=78，
故答案为：78.
连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，利用勾股定理可得BC=4，设CE的长为x，则BE=4−x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得CE的长．
本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：如图，
∵双曲线y=32x(x>0)经过点D，
∴S△ODF=12k=34，
则S△AOB=2S△ODF=32，即12OA⋅BE=32，
∴OA⋅BE=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴OB⋅BE=3，
故答案为：3.
由双曲线y=32x(x>0)经过点D知S△ODF=12k=34，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=32，据此可得OA⋅BE=3，根据OA=OB可得答案．
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．
17.【答案】解：∵{x−2⩽4(x+1)①x−12<1②
∴解不等式①得：x≥−2
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为−2≤x<3，
在数轴上表示解集，如图所示：

【解析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，CD=AB，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，AD=BC∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
【解析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AD=BC，CD=AB，进而可得CF=AE，然后利用SAS定理判定△ADE≌△CBF.
此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
19.【答案】解：(−3a−1−1)÷a2+2aa2−1
=−3−a+1a−1÷a(a+2)(a+1)(a−1)
=−2−aa−1⋅(a+1)(a−1)a(a+2)
=−a+1a，
当a= 3时，原式=− 3+1 3=−3+ 33.
【解析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是关键．
20.【答案】(1)证明：连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90∘，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠EAD=∠ADO，
∴EA//DO，
∴∠E=∠ODF=90∘，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵OH⊥AD，AH=3 3，
∴AD=2AH=6 3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵BD=6，
∴AB= AD2+BD2= (6 3)2+62=12，
∴⊙O的半径长为6.
【解析】(1)连接OD，根据垂直定义可得∠E=90∘，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得EA//DO，然后利用平行线的性质可得∠E=∠ODF=90∘，即可解答；
(2)根据垂径定理可得AD=6 3，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90∘，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，菱形ABCD即为所求；
(2)∵△OAC∽△OCB，
∴∠OCB=∠OAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB//CD，
∴∠BAC=∠ACB，∠DCA=∠CAB，
∴∠BCO=∠ACB=∠ACD，
∵CD//OA，
∴∠DCO=90∘，
∴∠BCO=30∘，
设BC=CD=a.则OC= 32a，
∴tan∠ODC=OCCD= 32aa= 32.
【解析】(1)根据题目的要求作出图形即可；(2)根据相似三角形的性质得到∠OCB=∠OAC，根据菱形的性质得到BC=AB，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定和性质，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)因为该副扑克牌中，点数大的牌共有16张，且1652=413，
所以“牌值”为−2的概率是413；
(2)设该副扑克牌已发出的32张牌中点数大的张数为x张，依题意，得
2(32−x)−2x=24，
解得x=10，
∴已发出的32张牌中点数大的张数为10张，
∴剩余的20张牌中点数大的张数为6张，
∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，
∴下一张发出的牌是点数大的牌的概率是310.
【解析】(1)利用「牌值」的计算方式解答即可；
(2)利用方程组的思想求得已发出的28张牌中的点数大的张数与点数小的张数，从而得到剩余的牌中点数大的张数与点数小的张数，再利用计算概率的方法解答即可．
本题主要考查了概率公式，用样本估计总体的思想方法，事件概率的计算方法，本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
23.【答案】D
【解析】解：(1)A：x1⋅y1=60×1.43≈86，
B：x2⋅y2=80×1.08≈86，
C：x3⋅y3=100×0.86=86，
D：x4⋅y4=100×0.42=42，
所以，可能出错的为D组．
故答案为：D.
(2)根据给定图象可知，y与x的对应关系可以用反比例函数来确定，
所以可设y=kx(k≠0)，
依据表1中A、B、C三组数据求得：
k1=x1⋅y1=60×1.43≈86，
k2=x2⋅y2=80×1.08≈86，
k3=x3⋅y3=100×0.86=86，
∴k=86，
∴y=86x，
当y=0.44时，x=86y=860.44≈195(mm).
答：小明剪出的吸管长度是195mm.
(1)根据表中数据，可发现x与y的乘积为定值约等于86，从而可得答案；
(2)根据x与y都是正数，并观察图象可知，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据xy≈86，可得x与y的函数解析式；再将表2中la的音频率y代入即可解答．
本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出x与y的积为定值，从而得出函数关系式．
24.【答案】解：(1)当x=0时，y=4a，
∴C(0,4a)，
当y=0时，−ax2+3ax+4a=0，
解得：x1=4，x2=−1，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
又y=−ax2+3ax+4a=−a(x−32)2+254a
∵CD//y轴，
∴4a=−a(x−32)2+254a，
解得，x1=3，x2=0，
∴D(3,4a)；
(2)①∵点K(0,98)是线段OB存在唯一一点M，
如图2，过D作DE⊥x轴于E，

设OM=m，则EM=3−m，
∵∠OKM=∠DME，∠KOM=∠MED=90∘，
∴△KOM∽△MED，
∴OKOM=EMDE，
∴98=3−m4a，
∴2m2−6m+9a=0，
∵只有一个K点，所以方程只有一个解，
∴Δ=36−4×2×9a=0，
∴a=12，
∴y=−12x2+32x+2，
②(i)当∠PCB=2∠ABC时，延长PC交x轴于F，如图3，
∵CD//AB，
∴∠PCD=∠PFB，∠DCB=∠CBF，
∵∠PCB=2∠ABC，∠PCD=∠DCB，
∴∠PFB=∠CBA，
∴CB=CF，
∴F(−4,0)，
∵C(0,2)，
设FC的解析式为：y=kx+b，
则−4k+b=0b=2，
解得：k=12b=2，
∴FC的解析式为：y=12x+2，
联立y=12x+2y=−12x2+32x+2，
解得：x1=0(舍)，x2=2，
∴点P的横坐标为2；
(ii)当∠CPQ=2∠ABC时，如图4，作CF=FB，
设OF=n，
∴n2+22=(4−n)2，
解得，n=32，
∵CF=FB，
∴∠CBF=∠BCF，
∴∠CFO=2∠CBO，
∴∠CFO=∠CPQ，
∵∠COF=∠CQP=90∘，
∴△COF∽△CQP，
∴OCOF=CQPQ，即CQPQ=43，
过Q作x轴的平行线交y轴于G，同时过P作PH⊥GH于H，
∵∠CGQ=∠QHP=90∘，∠GCQ=∠PQH，
∴△CGQ∽△QHP，
∴CGQH=CQPQ=43，
设Q(x,−12x+2)，则CG=12x，QH=38x，
∴PH=34x，
∴P(118x,34x+2−12x)，
代入抛物线的解析式中得：34x+2−12x=−12×(118x)2+32×118x+2，
解得：x1=0(舍)，x2=232121，
∴P的横坐标为2911，
综上，存在两个点P，点P的横坐标是2或2911.
【解析】(1)分别令x=0和y=0可得A，B，C三点的坐标，将抛物线的解析式配方成顶点式可知对称轴是：x=32，根据对称性可得点D的坐标；
(2)①先作辅助线，构建相似三角形，证明△KOM∽△MED，则OKOM=EMDE，列方程，根据Δ=0，可得a的值，求出抛物线的解析式，
②当△PCQ中某个角恰好等于∠ABC的2倍时，存在两种情况：(i)当∠PCB=2∠ABC时，延长PC交x轴于F，确定点F的坐标，设FC的解析式为：y=kx+b，联立方程组可得P的横坐标；(ii)当∠CPQ=2∠ABC时，作CF=FB，证明△COF∽△CQP和△CGQ∽△QHP，表示P的坐标，代入抛物线的解析式中可得结论．
本题主要考查了抛物线的对称性，一次函数，根的判别式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，利用抛物线的性质来求解．
25.【答案】(1)证明：∵Rt△DAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ADC=∠EBC=90∘，
∴∠DAC+∠DCA=90∘，∠E+∠ECB=90∘，
∵∠DAC=∠E，
∴∠DCA=∠ECB，
即∠DCF+∠ECA=∠ACB+∠ECA，
∴∠DCF=∠ACB；
(2)解：取AC的中点M，连接DM，BM，
∵∠CBE=∠CDA=90∘，∠BEC=45∘，
∴∠DAC=∠DCA=∠BCE=∠BEC=45∘，
∴△ACD，△BCE，△CDM是等腰直角三角形，
∴DC=AD,BC=BE= 2CE，
∴DM=CM=AM=BM= 22CD，
∴DCCM=CECB= 2，
由(1)知∠DCF=∠ACB，
∴△EDC∽△BMC，
∴DEBM=CEBC= 2，
∴DE= 2BM= 2CM= 22AC.
(3)证明：作△ABC的外接圆⊙O，交CE于H，连接AH，BH，如下图所示：
∵∠EBC=90∘，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AHC=90∘，
即AH⊥EC，
∵点B，H都在⊙O上，
∵∠EBH=∠ACH，
在△EBH和△ACF中，∠EBH=∠ACH，CA=BE，∠DAC=∠E，
∴△EBH≌△ACF(ASA)，
∴EH=AF.
【解析】(1)根据∠EBC=90∘，∠ADC=90∘得∠，由于∠DAC=∠E，则∠DCA=∠ECB，由此可得出结论；
(2)取AC的中点M，连接DM，BM，证明△EDC∽△BMC，得出DE= 2BM= 2CM= 22AC即可．
(3)作△ABC的外接圆⊙O，交CE于H，连接AH，BH，则AC为⊙O的直径，由此得AH⊥EC，∠EBH=∠ACH，由此判定△EBH和△ACF全等，由全等三角形的性质可得出结论．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．画法
图形
(1)以A为端点画一条射线；
(2)用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
(3)过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N.M、N就是线段AB的三等分点.
日走时误差
0
1
2
3
只数
3
4
2
1
数据组别
A
B
C
D
吸管的长度x(mm)
60
80
100
100
空气振动的频率y(kHz)
1.43
1.08
0.86
0.42
音调
d
re
mi
fa
sl
la
si
频率y(kHz)
0.26
0.29
0.33
0.35
0.39
0.44
0.49