2024届青海省西宁市大通县高考四模数学（理）试卷

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考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. 这6天员工的出勤率呈递增趋势
B. 这6天员工的出勤率呈递减趋势
C. 这6天员工的出勤率的极差大于0.15
D. 这6天员工的出勤率的中位数小于0.85
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C D.
6. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A. 140B. 70C. 160D. 80
7. 在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A. 2项B. 3项C. 4项D. 5项
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
10. 设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（ ）
A. B. C. D.
11. 在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是_________.
14. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为______，______.
15. 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.
16. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
18. 现统计了甲次投篮训练的投篮次数和乙次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
已知甲次投篮次数的平均数，乙次投篮次数的平均数.
（1）求这次投篮次数的平均数与方差.
（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了三次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.
19. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面.
（1）证明：.
（2）若，求二面角的大小.
（3）在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知，，是上三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.
21. 已知函数
（1）当时，求的零点；
（2）若恰有两个极值点，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 已知直线：（为参数），曲线：.
（1）求普通方程和曲线的参数方程；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最小值为，求的值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
甲
乙