2024年陕西省渭南市合阳县中考二模数学试题

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. 3B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立方根定义，掌握立方根的定义是解题关键．本题利用立方根定义开立方即可．
【详解】∵，
∴，
故选：B．
2. 下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是解题的关键，根据选项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 绕直线l旋转后得到的图形为一个球体；
B.选项中的图形旋转后为圆柱；
C.可得其旋转后的几何体为圆锥；
D.可知其绕直线l旋转后得到的图形为一个圆台；
故选C．
3. 将一个直角三角尺和直尺按如图所示的方式摆放，直尺的一边经过点A，已知，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，与三角板有关的计算，根据平行线的性质和平角的定义求出的度数，再利用角的和差关系求出的度数即可．
【详解】解：∵直尺的对边平行，
∴，
∴，
∴；
故选A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算．根据题意，逐项计算并判断即可．
【详解】解：A.，此项不符合题意；
B.，此项不符合题意；
C.，此项不符合题意；
D.，此项符合题意．
故选：D．
5. 已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据解析式可得y随x增大而减小，再由，即可得到．
【详解】解：∵在中，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
6. 如图，在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的面积是（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积，相似三角形判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
由勾股定理得，由平分的周长可得、，过作于，得，根据相似三角形的性质得到,根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过作于，
，
∴
，
，
在中，，，由勾股定理可得，
，
又平分的周长，，，，
，，
，
，
．
故选：A．
7. 如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好与相切于点，连接，若，，则的长为（ ）
A. 6B. 4.5C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，含角的直角三角形的性质．连接，则，先求出，再求，最后求，则即可．
【详解】解：如图，连接，则
，
．
故选：B．
8. 已知二次函数（a为常数）在时，y的最大值为10，则a的值是（ ）
A. B. C. 或D. 2或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，分两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最大为，解得：或（舍去）；
当时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最大为，解得：或（舍去）；
综上：或；
故选D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 比较大小：______5．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较．根据题意，，，然后即可比较．
【详解】解：，
且
．
故答案为：．
10. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量效有253000兆瓦，用科学记数法表示为___________兆瓦．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．分别确定和的值即可．
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定和的值是解题的关键．
11. 如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），、分别与交于点F，G，其中是黄金三角形（底边与腰的比为的等腰三角形）．若，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设．由正多边形性质可求由题意可知，由，可得，列出方程即可解决问题．
【详解】解：在正五边形中，，，
，
，，
∴，
同理可得：，
设，则，，
∴，
，
，
，
，
或不合题意舍弃，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图象与的边，分别交于点C、D，，点C是的中点，点B在x轴上，，，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数系数k的值，首先根据题意求出点A的坐标，再利用点C是的中点即可求出点C的坐标，进而可求出k的值．
【详解】解：在中，，，
，
，
点C是的中点，
，
又点C在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
13. 如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为______（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，利用三角函数求边长，过点B作于点G，由菱形的性质易得，，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．由可知，当最小时，最大，从而得到的最大值．
【详解】过点B作于点G，
由菱形的性质易得，，
则．
∵，
∴．
∵平分，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
∴的最大值为．
三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写过程．）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算．根据题意，先算乘方，特殊角的锐角三角函数，绝对值，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
15. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴不等式的解集是．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简．先算括号里的减法，通分，然后将除法改为乘法，同时将分母的多项式进行因式分解，最后约分即可．
【详解】解：原式
．
17. 如图，在中，是的中线，利用尺规作图法在上求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法和三角形中线平分三角形的面积．
由是的边上的中线知为中点，作的中点即可．
【详解】解：作边的垂直平分线交于，则点为边的中点，
∴，
如图：点即为所求．
18. 如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）．
【详解】解：添加的条件是：．
理由：∵，
∴，即．
在和中，，，，
∴．
注：答案不唯一，添加或均可．
19. 如图，的顶点坐标分别为，，．将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为、、．

（1）请在图中画出；
（2）点B，之间的距离是______．
【答案】（1）见详解 （2）5
【解析】
【分析】本题考查了平移作图以及网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意，找出、、．再依次连接，即可作答．
（2）根据勾股定理且结合，进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：依题意
∵
，
∴点B，之间的距离是5．
20. 如图，王刚和张倩两人玩转盘游戏，将一个带指针的转盘分成三个面积相等的扇形，三个扇形内的数字分别是，3，5，王刚先转动转盘一次，转盘停止后，指针所指区域的数字即为王刚转出的数字，张倩再转动转盘，转盘停止后，指针所指区域的数字即为张倩转出的数字（若指针指在分界线上，则重新转动）．

（1）“王刚转出的数字是2”是______事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）若将王刚转出的数字记为a，张倩转出的数字记为b，用列表或画树状图的方法求为负数的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】（1）根据事件的分类，解答即可；
（2）画树状图计算解．
本题考查了事件的分类，概率计算，画树状图计算概率，熟练掌握树状图计算是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，三个数中，没有数字2，
故这是一个不可能事件，
故答案为：不可能．
【小问2详解】
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中为负数的有3种等可能性．
∴为负数的概率为．
21. 灯塔有海上烽火台之说，它的基本作用是引导船舶航行．某校综合实践小组的同学把“某河岸灯塔的调研与计算”作为课题活动进行实践调查，并制作了如下活动报告．
请你根据活动报告计算的高度．（结果精确到m，参考数据：）
【答案】m
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形．延长交于点，易得四边形、四边形和四边形均为矩形，则，在中，，，，得，在中,，设，则,由得，解出，故．
【详解】解：延长交于点
易得四边形、四边形和四边形均为矩形，
∴
在中，，
∴，
∵，，
∴
在中，，设，则
∵，，，，
∴
解得
∴
∴的高度为m．
22. 最美人间四“阅”天，4月23日是“世界读书日”，某书店购进了甲、乙两类学生最喜欢的书籍共200套，设购进甲类书籍x套，销售完这两类书籍所获得的利润为y（元），已知这两类书籍的进价与售价如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进甲类书籍的套数不少于乙类书籍套数的3倍，求销售完这两类书籍该书店所获得的最大利润．
【答案】（1）
（2）销售完这两类书籍该书店所获得最大利润为1150元．
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设购进甲类书籍x套，则设购进乙类书籍套，再根据利润（甲的售价甲的进价）甲的销售量（乙的售价乙的进价）乙的销售量列出对应的函数关系式即可；
（2）根据购进甲类书籍的套数不少于乙类书籍套数的3倍列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设购进甲类书籍x套，则设购进乙类书籍套，
∴
；
【小问2详解】
解：∵购进甲类书籍的套数不少于乙类书籍套数的3倍，
∴，
解得，
∵，，
∴y随x增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为，
答：销售完这两类书籍该书店所获得的最大利润为1150元．
23. 某校数学兴趣小组的同学参加周末社会实践活动，来到了某蔬菜基地，在大棚中随机抽取了部分茄子秧，记录每株茄子秧上所结茄子的个数，将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，所抽取茄子秧上所结茄子个数的中位数是______个，众数是______个；
（2）求所抽取的茄子秧上平均每株所结茄子的个数；
（3）若该蔬菜基地共有茄子秧150株，请你估计这些茄子秧所结茄子的总数．
【答案】（1）补全图见详解，7，7
（2）7.4 （3）1110
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图．
（1）根据条形统计图，扇形统计图先求出总数，再求出茄子个数是8个的株树即可补充条形统计图，30个数中处于中间位置的数是第15，16个数，由条形统计图可知在茄子个数为7个那组，众数也再茄子个数是7个的那组；
（2）按照数据求其平均数即可；
（3）由求出的平均数去乘以150即可估算总数．
【小问1详解】
解：根据条形统计图和扇形统计图中茄子个数是9个的株树和百分比知总株树为（株）
茄子个数为8个的株树为（株）
补全条形图如下
一共30株，处于中间的是第15，16个数
由图知第15，16个数在茄子个数为7个那组
中位数为7个
由条形图知，众数为7个，
故答案为：7，7；
【小问2详解】
所抽取的茄子秧上平均每株所结茄子的个数为（个）；
【小问3详解】
若该蔬菜基地共有茄子秧150株，则估计这些茄子秧所结茄子的总数为
（个）．
24. 如图，四边形内接于，连接，，延长至点E，使得，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边对等角，得到，证明，推出，根据圆内接四边形的对角互补，推出，即可得证；
（2）连接，证明，得到，求出的长，由，得到，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
连接，则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作轴于点Q，交直线于点D，连接．在点P运动过程中，是否存在点P使为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）两点式写出函数解析式即可；
（2）设，求出直线的解析式，分三种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于，两点，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
存；
∵，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，分三种情况：
当时，则：，解得：或（舍去），
∴；
当时，则：，解得：或（舍去），
∴；
当时，则：，解得：，
∴；
综上：或或．
26. 定义新知】
如图1，在中，点D、E分别在直角边，上，连接，若，则称为的“勾股线”．
【初步探究】
（1）如图1，在中，若点D，E分别是，的中点，连接，则______的“勾股线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，已知是等腰直角三角形，，点D、E分别在直角边、上，若是的“勾股线”，，，求的长；
【问题解决】
（3）碳纤维板是将同一方向排列的碳素纤维使用树脂浸润硬化形成碳纤维板材，在多个领域都有应用，常用的有宇航、体育器材、工业、消防等．如图3，四边形是某机械厂的一块碳纤维板，，点E、F分别在边、上，且是的“勾股线”，，，足够长．工人王师傅想要以为直角边、点F为直角顶点在这块碳纤维板中裁出一块直角三角形的部件（点N在上）．
王师傅作法如下：在上确定一点M，使得，连接，并延长交于点N，连接，则即为所裁部件．判断王师傅裁出的部件是否符合要求（即是否是以点F为直角顶点的直角三角形），若符合要求，请你求出的值；若不符合要求，请说明理由，

【答案】（1）是；（2）；（3）王师傅裁出的部件符合要求，且．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和相似三角形的判定和性质，理解题中定义并用来求解线段关系是解题关键．
（1）根据勾股定理可得，结合点D，E分别是，的中点可得，根据定义即可判定为的“勾股线”；
（2）先根据勾股定理求出，再设，则，．根据是的“勾股线”，由列方程可求，进而可得，
（3）设，则，，可得由，进而求出，由此可得，所以，即可证明结论．
【详解】解：（1）解：∵，
∴，
∵点D，E分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴为的“勾股线”
故答案为：是，
（2）∵，，，
∴．
∵是等腰直角三角形、，
∴．
设，则，．
∵是的“勾股线”，
∴，即，
解得或（舍），
∴，
∴．
（3）王师傅裁出的部件符合要求．
理由：如图
设，则，，
∵是的“勾股线”，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴，则，
∴是以点F为直角顶点的直角三角形
故王师傅裁出的部件符合要求，且．
课题
某河岸灯塔的调研与计算
调查方式
查阅资料、相关部门了解、实地查看等
调查内容
功能
引导船舶航行方向、指示危险区等
灯塔构造
由灯具与塔身构成
测量示意图
相关数据及说明：图中所有点均在同一平面内，在同一水平线上，点在上，，，，从处测得G处的仰角为（即），从处测得处的仰角为（即），，．
计算结果
…
注意事项
在实地查看过程中注意安全
甲类书籍
乙类书籍
进价（元/套）
15
22
售价（元/套）
20
30