第十一章 三角形 单元复习（压轴精选20题）（原卷版+解析版）

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第1单元 三角形压轴精选20题一．选择题（共5小题）1．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．2．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【答案】A【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．故选：A．3．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（　　）A．5 B．6 C．7 D．10【答案】C【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：C．4．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（　　）A．140° B．130° C．110° D．70°【答案】A【解答】解：∵四边形ADA′E的内角和为（4﹣2）•180°＝360°，而由折叠可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′，∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE＝360°﹣∠A﹣∠A′＝360°﹣2×70°＝220°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）＝140°．故选：A．5．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16【答案】C【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，故选：C．二．填空题（共10小题）6．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝　36　度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．7．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝　　度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∴∠A1＝m°，∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…以此类推∠A2013＝∠A＝°．故答案为：．8．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝　20　度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，∴∠CBD＝∠1＝130°．∵∠BDC＝∠2，∴∠BDC＝30°．在△BCD中，∠CBD＝130°，∠BDC＝30°，∴∠C＝180°﹣130°﹣30°＝20°．9．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　50°　．【答案】见试题解答内容【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故答案为：50°．10．如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1＝　30　度．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠1＝∠2，∠AOB＝120°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣120°）÷2＝30°．故答案为：30°．11．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．故答案为：17.5°，．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有　①③④　．【答案】①③④．【解答】解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，∵∠DCF＝90°﹣∠ABC＝∠DBC+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案为：①③④．13．如图所示，O为△ABC的三条角平分线的交点，∠BOC＝120°，则∠BAC＝　60　度．【答案】见试题解答内容【解答】解：由已知可得∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠A＝60°．14．如图，∠ACD的平分线与∠ABD的平分线交于点E．∠A，∠CEB和∠D之间的数量关系是　∠A＝2∠CEB+∠D　．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长AC交BD于M．设∠ABE＝∠EBD＝x，∠ACE＝∠ECD＝y．∵∠AMD＝∠A+∠ABD＝∠A+2x，∠ECD＝∠CEB+∠EBD+∠D＝∠CEB+x+∠D，∴∠ACD＝2∠ECD＝2∠CEB+2x+2∠D，∵∠ACD＝∠AMD+∠D，∴∠AMD＝2∠CEB+2x+2∠D﹣∠D＝2∠CEB+2x+∠D∴∠A+2x＝2∠CEB+2x+∠D，∴∠A＝2∠CEB+∠D，故答案为：∠A＝2∠CEB+∠D．15．△DEF的两边为4和3，则第三边上的中线m的取值范围为　0.5＜m＜3.5　．【答案】0.5＜m＜3.5．【解答】解：如图，延长中线DG至H，使DG＝GH，连接EH，∵DG是△DEF的中线，∴EG＝FG，在△DFG和△HEG中，，∴△DFG≌△HEG（SAS），∴EH＝DF＝3，∵3+4＝7，4﹣3＝1，∴1＜HD＜7，∴0.5＜m＜3.5．故答案为：0.5＜m＜3.5．三．解答题（共5小题）16．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．17．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　∠A+∠D＝∠B+∠C　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　6　个；（3）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）交点有点M、O、N，以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，所以，“8字形”图形共有6个；（3）∵∠D＝40°，∠B＝36°，∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝×（﹣4°）+40°＝38°；（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，∴（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，整理得，2∠P＝∠B+∠D．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　140　°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，连接PC，由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°，∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故答案为：140°；（2）连接PC，由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．19．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．答：∠AEB的度数是135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．答：∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB的度数是135°．（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∠BOQ＝90°，∴由题意：①∠E＝∠EAF＝30°，或②∠E＝∠F．①∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∠E＝∠F，∵∠E+∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝22.5°，∴∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°．故答案为60°或45°．20．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）105°；（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正确）；（3）BE∥DF，理由见答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD的内角和为360°，∴α+β＝∠A+∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NDC＝180°﹣∠ADC，∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），＝α+β＝105°；（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正确）．理由：如图1，连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°．（3）BE∥DF．理由：如图2，过点C作CP∥BE，则∠EBC＝∠BCP，∴∠DCP＝∠BCD﹣∠BCP＝β﹣∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC＝α+β，∵α＝β，∴∠MBC+∠NDC＝2β，又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC＝（∠MBC+∠NDC）＝β，∴∠FDC＝β﹣∠EBC，又∵∠DCP＝β﹣∠EBC，∴∠FDC＝∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．